2022年二次函数压轴 .pdf

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1、精品资料欢迎下载二次函数压轴之面积重叠问题1(20XX 年四川资阳 ) 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为A（3，0） ，与 y 轴的交点为B（0，3） ，其顶点为C，对称轴为x=1（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为 y 轴上的一个动点，当ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将 AOB沿 x 轴向右平移m个单位长度（0m 3）得到另一个三角形，将所得的三角形与ABC重叠部分的面积记为S，用 m的代数式表示S解： （1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为（ 1，0） ，则，解得故抛物线的解析式为y= x2+2x+3 （2）当 M

2、A=MB 时， M（ 0，0） ；当 AB=AM 时， M（0， 3） ；当 AB=BM 时， M（0，3+3）或 M（0，3 3） 所以点 M 的坐标为：（0，0） 、 （0， 3） 、 （0，3+3） 、 （0，3 3） （3）平移后的三角形记为PEF 设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，则，解得则直线 AB 的解析式为y=x+3 AOB 沿 x 轴向右平移m 个单位长度（0m3）得到PEF，易得直线 EF 的解析式为y= x+3+m 设直线AC 的解析式为y=k x+b ，则，解得则直线 AC 的解析式为y= 2x+6 连结 BE，直线 BE 交 AC 于 G，则 G（，3） 在AO

3、B 沿 x 轴向右平移的过程中当 0m 时，如图 1 所示设 PE 交 AB 于 K， EF 交 AC 于 M 则 BE=EK=m ， PK=PA=3 m， 联立，解得，即点 M（3 m，2m ） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载故 S=S PEFS PAKS AFM=PE2PK2AF? h=（3 m）2m?2m= m2+3m 示设 PE 交 AB 于 K，交 AC 于 H因为 BE=m ，所当 m3 时，如图2 所以 PK=PA=3 m，又因为直线AC 的解析式为y=2x+6 ，所以当 x=m 时

4、，得 y=6 2m，所以点 H（m，6 2m） 故 S=S PAH S PAK=PA? PH PA2=（3m） ? （ 62m ）（3m）2=m23m+综上所述，当0m 时， S=m2+3m ；当m3 时， S=m2 3m+2. （2014?湖北黄冈）已知：如图，在四边形OABC 中， AB OC ，BC x 轴于点 C，A（1， 1） ，B（3， 1） ，动点P从点 O出发，沿着x 轴正方向以每秒2 个单位长度的速度移动过点P作 PQ垂直于直线OA ，垂足为点Q ，设点 P移动的时间t 秒（ 0t 2） ， OPQ 与四边形OABC 重叠部分的面积为S（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析

5、式，并确定顶点M的坐标（2）用含 t 的代数式表示点P、点 Q的坐标；（3）如果将 OPQ 绕着点 P按逆时针方向旋转90，是否存在t ，使得 OPQ 的顶点 O或顶点 Q在抛物线上？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）求出 S与 t 的函数关系式解： （1）设抛物线解析式为y=ax2+bx（ a 0） ，把点 A（1， 1） ，B（3， 1）代入得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载解得，抛物线解析式为y=x2x， y=x2 x=（x2）2，顶点 M 的坐标为（ 2，）；（2）点 P

6、 从点 O 出发速度是每秒2 个单位长度， OP=2t ，点P 的坐标为（ 2t， 0） ，A（1， 1） ， AOC=45 ，点Q 到 x 轴、 y 轴的距离都是OP= 2t=t ，点 Q 的坐标为（ t， t） ；（3） OPQ 绕着点 P 按逆时针方向旋转90，旋转后点 O、Q 的对应点的坐标分别为（2t， 2t） ， （3t， t） ，若顶点 O 在抛物线上，则（ 2t）2（2t）=2t，解得 t=，若顶点 Q 在抛物线上，则（ 3t）2（3t）=t，解得 t=1 ，综上所述，存在t=或 1，使得OPQ 的顶点 O 或顶点 Q 在抛物线上；（4）点 Q 与点 A 重合时， OP=1 2

7、=2 ，t=2 2=1 ，点 P 与点 C 重合时， OP=3 ，t=3 2=1.5 ，t=2 时， OP=2 2=4 ，PC=4 3=1 ，此时 PQ 经过点 B，所以，分三种情况讨论：0 t 1 时， S=（ 2t）=t2，1 t 1.5 时， S=（ 2t）（ t）2=2t1；1.5t2 时， S= （ 2+3） 11（ 2t3）2= 2（t2）2+；所以， S 与 t 的关系式为S=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载3. （2014?攀枝花）如图，抛物线y=ax28ax+12a（a0）与 x

8、轴交于 A、B两点（ A在 B的左侧），与 y 轴交于点C，点 D的坐标为（ 6，0） ，且 ACD=90 （1）请直接写出A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m从点 D 出发沿 x 轴向右平行移动，到点A 停止设直线m与折线 DCA的交点为G ，与 x轴的交点为H（t ，0） 记 ACD在直线 m左侧部分的面积为s，求 s 关于 t 的函数关系式及自变量t 的取值范围解： （1）抛物线的解析式为：y=ax2 8ax+12a （a0） ，令 y=0

9、 ，即 ax2 8ax+12a=0 ，解得 x1=2 ，x2=6 ， A（2，0） ，B（6， 0） （2）抛物线的解析式为：y=ax2 8ax+12a （a0） ，令 x=0 ，得 y=12a ， C（0，12a ） ，OC=12a 在 Rt COD 中，由勾股定理得：CD2=OC2+OD2=（12a）2+62=144a2+36；在 Rt COD 中，由勾股定理得：AC2=OC2+OA2=（12a）2+22=144a2+4；在 Rt COD 中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2；即： （144a2+36 ）+（144a2+4 ）=82 ，解得： a=或 a=（舍去），精选学习资料 - -

10、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载抛物线的解析式为：y=x2x+（3）存在对称轴为直线：x= =4由（ 2）知 C（0，） ，则点 C 关于对称轴x=4 的对称点为C（ 8，） ，连接 AC，与对称轴交于点P， 则点 P 为所求此时PAC 周长最小，最小值为 AC+AC 设直线 AC 的解析式为y=kx+b ，则有：，解得， y=x当 x=4 时， y=， P（4，） 过点 C作 CE x 轴于点 E，则 CE=，AE=6 ，在 Rt AC E 中，由勾股定理得：AC =4；在 Rt AOC 中，由勾股定理得：AC=4

11、AC+AC =4+4存在满足条件的点P，点 P 坐标为（ 4，） ，PAC 周长的最小值为4+4（4）当 6 t 0 时，如答图41 所示直线 m 平行于 y 轴，即，解得： GH=（ 6+t） S=S DGH=DH ?GH=（ 6+t） ?（6+t ）=t2+2t+6；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载当 0t 2 时，如答图42 所示直线 m 平行于 y 轴，即，解得： GH= t+2 S=S COD+S 梯形 OCGH=OD ?OC+ （GH+OC ） ?OH = 6 2+（t+2+2） ?t =t2+2t+6 S=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页