高考数学二轮复习讲义专题五直线与圆.docx

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1、专题五解析几何第1讲直线与圆全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019直线与圆的位置关系T21(1)双曲线的性质、圆与圆的位置关系T12直线与圆及抛物线的位置关系T21(2)2018直线与圆的弦长问题T15直线方程、圆的方程、点到直线的距离T82017直线与圆相切、椭圆的离心率T11(1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注.此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现.(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.直线的方程例1(1)已知0

2、k4，直线l1：kx2y2k80和直线l2：2xk2y4k240与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为()A.B.C. D.2(2)若直线l1：ykxk2与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点()A.(3，1) B.(3，0)C.(0，1) D.(2，1)解析(1)直线l1，l2恒过点P(2，4)，直线l1在y轴上的截距为4k，直线l2在x轴上的截距为2k22，因为0k4，所以4k0，2k220，所以四边形的面积S2(4k)4(2k22)4k2k84，故当k时，面积最小.(2)ykxk2k(x1)2，l1：ykxk2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)

3、对称的点的坐标为(x，y)，则得直线l2过定点(3，0).故选B.答案(1)A(2)B解题方略1.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.2.轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：AxByC0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x

4、1x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行.一般转化为点关于直线的对称来解决跟踪训练1.若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A.B.4C. D.2解析：选C因为l1l2，所以，解得a1，所以l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，所以l1与l2的距离d.2.在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：axy10与过定点Q的直线m：xay30相交于点M，则|MP|2|MQ|2()A. B.C.5 D.10解析：选D由题意知P(0，1)，Q(3，0)，过定点P的直线axy10与过定点Q的直线xay3

5、0垂直，MPMQ，|MP|2|MQ|2|PQ|29110，故选D.圆的方程例2(1)已知点A是直角三角形ABC的直角顶点，且A(2a，2)，B(4，a)，C(2a2，2)，则三角形ABC外接圆的方程是()A.x2(y3)25 B.x2(y3)25C.(x3)2y25 D.(x3)2y25(2)圆心在直线y4x上，并且与直线l：xy10相切于点P(3，2)的圆的方程为_.解析(1)(42a，a2)，(2，0)，84a0，解得a2.A(4，2)，B(4，2)，C(2，2)，|BC|2，又BC的中点坐标为(3，0)，三角形ABC外接圆的圆心为(3，0)，半径为，三角形ABC外接圆的方程为(x3)2y

6、25.(2)设圆心M为(x，4x)，kMP，kl1，所以kMPkl1，所以x1，所以M(1，4)，所以r|MP|2所以所求圆的方程为(x1)2(y4)28.答案(1)D(2)(x1)2(y4)28解题方略求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程跟踪训练1.已知圆C1：(x2)2(y3)25与圆C2相交于A(0，2)，B(1，1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为()A.(x1)2y25B.(x1)2y2C.5D.解析：选A法一：(常规求解法)设圆C

7、2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(2，3)，A(0，2)，B(1，1)，所以|AC1|BC1|，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2AB且|AC2|.可得解得或则圆心C2的坐标为(1，0)或(2，3)(舍去).因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为(x1)2y25.故选A.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|C1A| ，即圆C2的半径为，排除B、D；将点A(0，2)代入选项A、C，显然选项A符合.故选A.2.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3b，3a)，则线段PQ的垂直平分线l的斜率为_，圆(x2)2(y3)21关

8、于直线l对称的圆的方程为_.解析：kPQ1，故直线l的斜率为1，由点斜式可知l的方程为yx3，圆心(2，3)关于直线yx3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x2(y1)21.答案：1x2(y1)21 直线与圆的位置关系题型一圆的切线问题例3(1)过点P(2，4)作圆(x1)2(y1)21的切线，则切线方程为()A.3x4y40 B.4x3y40C.x2或4x3y40 D.y4或3x4y40(2)设点M(x0，y0)为直线3x4y25上一动点，过点M作圆x2y22的两条切线，切点为B，C，则四边形OBMC面积的最小值为_.解析(1)当斜率不存在时，x2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y4

9、k(x2)，即kxy42k0，则1，解得k，则切线方程为4x3y40，故切线方程为x2或4x3y40.(2)圆心O到直线3x4y25的距离d5，则|OM|d5，所以切线长|MB| ，所以S四边形OBMC2SOBM2.答案(1)C(2)变式1本例(2)变为：过点A(1，3)，作圆x2y22的两条切线，切点为B，C，则四边形OBAC的面积为_.解析：由相切可得S四边形OBAC2SOBA，因为OAB为直角三角形，且|OA|，|OB|，所以|AB|2，即SOBA22，所以S四边形OBAC2SOBA4.答案：4变式2本例(2)变为：设点M(x0，y0)为直线3x4y25上一动点，过点M作圆x2y22的两

10、条切线l1，l2，则l1与l2的最大夹角的正切值是_.解析：设一个切点为B，圆心O到直线3x4y25的距离为d5，则tanOMB，所以tan 2OMB.故所求最大夹角的正切值为.答案：解题方略直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.题型二圆的弦长问题例4已知圆C经过点A(2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线yx上，又直线l：ykx1与圆C相交于P，Q两点.(1)求圆C的方程；(2)过点(0，1)作

11、直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值.解(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(2，0)，B(0，2)，所以|AC|BC|r，即 r，解得a0，r2，故所求圆C的方程为x2y24.(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1l，根据勾股定理，有dd21.又|PQ|2，|MN|2，所以S|PQ|MN|，即S22222 2 7，当且仅当d1d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.解题方略求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构

12、成三者间的关系r2d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l|x1x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解跟踪训练1.已知过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C：(x2)2(y3)21交于M，N两点，若|MN|，则直线l的方程为_.解析：直线l的方程为ykx1，圆心C(2，3)到直线l的距离d，由r2d2，得1，解得k2或，故所求直线l的方程为y2x1或yx1.答案：y2x1或yx12.(2019山东枣庄期末改编)若点P(1，1)为圆x2y26x0中

13、弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为_，|AB|_.解析：圆x2y26x0的标准方程为(x3)2y29.又因为点P(1，1)为圆中弦AB的中点，所以圆心与点P所在直线的斜率为，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10.圆心(3，0)与点P(1，1)之间的距离d，圆的半径r3，则|AB|24.答案：2xy1043.已知从圆C：(x1)2(y2)22外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为_.解析：如图所示，连接CM，CP.由题意知圆心C(1，2)，半径r.因为|PM|PO|，所以|

14、PO|2r2|PC|2，所以xy2(x11)2(y12)2，即2x14y130.要使|PM|的值最小，只需|PO|的值最小即可.当PO垂直于直线2x4y30时，即PO所在直线的方程为2xy0时，|PM|的值最小，此时点P为两直线的交点，则解得故当|PM|取最小值时点P的坐标为.答案：数学建模直线与圆最值问题的求解典例已知圆O：x2y29，过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则当OPQ的面积最大时，直线l的方程为()A.xy30或7xy150B.xy30或7xy150C.xy30或7xy150D.xy30或7xy150解析当直线l的斜率不存在时，l的方程为x2，则P(2，)，Q(2，)

15、，所以SOPQ222，当直线l的斜率存在时，设l的方程为y1k(x2)，则圆心到直线l的距离d，所以|PQ|2，SOPQ|PQ|d2d ，当且仅当9d2d2，即d2时，SOPQ取得最大值，因为2，所以SOPQ的最大值为，此时，解得k1或k7，此时直线l的方程为xy30或7xy150，故选D.答案D素养通路本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题.考查了数学建模这一核心素养.专题过关检测 A组“633”考点落实练一、选择题1.“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不

16、充分条件 D.既不充分也不必要条件解析：选C因为两直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选C.2.圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A.相离 B.相交C.外切 D.内切解析：选B圆O1：x2y22x0，即(x1)2y21，圆心是O1(1，0)，半径是r11，圆O2：x2y24y0，即x2(y2)24，圆心是O2(0，2)，半径是r22，因为|O1O2|，故|r1r2|O1O2|r1r2|所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l1过点(2，0)且倾斜角为30，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2

17、的交点坐标为()A.(3，) B.(2，)C.(1，) D.解析：选C直线l1的斜率k1tan 30，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2，所以直线l1的方程为y(x2)，直线l2的方程为y(x2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).4.(2019江苏徐州期末)若圆(x1)2y2m与圆x2y24x8y160内切，则实数m的值为()A.1 B.11C.121 D.1或121解析：选D圆(x1)2y2m的圆心坐标为(1，0)，半径为；圆x2y24x8y160，即(x2)2(y4)236，故圆心坐标为(2，4)，半径为6.由两圆内切得 |6|，解得m1或m121.故选D

18、.5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k的值为()A.2 B.1C.0 D.1解析：选C法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k21)y22ky30，则4k212(k21)0，y1y2，x1x2k(y1y2)2，因为，故M，又点M在圆C上，故4，解得k0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线xky10的距离为半径的一半，为1，即d1，解得k0.6.(2019广东省广州市高三测试)已知圆C：x2y21，点A(2，0)及点B(2，a)，若直线AB与圆C没有公共点，则a的取值范

19、围是()A.(，1)(1，)B.(，2)(2，)C.D.(，4)(4，)解析：选C由点A(2，0)及点B(2，a)，得kAB，所以直线AB的方程为y(x2)，即ax4y2a0.因为直线AB与圆C没有公共点，所以1，解得a或a，所以a的取值范围是，故选C.二、填空题7.(2019贵阳市第一学期监测)已知直线l1：y2x，则过圆x2y22x4y10的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为_.解析：由题意，圆的标准方程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，所以所求直线的方程为y2(x1)，即x2y30.答案：x2y308.已知直线l过直线l1：x2y30与直线l2：2x3y80的交

20、点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_.解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2).显然直线x1不满足P(0，4)到直线l的距离为2.设直线l的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以2，所以k0或k.所以直线l的方程为y2或4x3y20.答案：y2或4x3y209.(2019广东六校第一次联考)已知点P(1，2)及圆(x3)2(y4)24，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|QT|的值为_.解析：点P关于x轴的对称点为P(1，2)，如图，连接PP，PQ，由对称性可知，PQ与圆相切于点T，则|PQ|QT|

21、PT|.圆(x3)2(y4)24的圆心为A(3，4)，半径r2，连接AP，AT，则|AP|2(13)2(24)252，|AT|r2，所以|PQ|QT|PT|4.答案：4三、解答题10.已知圆(x1)2y225，直线axy50与圆相交于不同的两点A，B.(1)求实数a的取值范围；(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(2，4)，求实数a的值.解：(1)把直线axy50代入圆的方程，消去y整理，得(a21)x22(5a1)x10，由于直线axy50交圆于A，B两点，故4(5a1)24(a21)0，即12a25a0，解得a或a0，b0)，即bxayab0，由直线l与圆O相切，得，即，则|DE|2a2b2

22、2(a2b2)48，当且仅当ab2时取等号，此时直线l的方程为xy20.12.已知A(2，0)，直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.(1)求|PA|的最大值与最小值；(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)直线4x3y10被圆C：(x3)2(ym)213(m3)所截得的弦长为4，圆心到直线的距离d1.m3，m2，|AC|，|PA|的最大值与最小值分别为，.(2)由(1)可得圆C的方程为(x3)2(y2)213，令x0，得y0或4；令y0，得x0或6，圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，

23、0)，N(6，0)，MON为直角三角形，斜边|MN|2，MON内切圆的半径为5.B组大题专攻强化练1.已知点M(1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.(1)求曲线E的方程；(2)已知m0，设直线l1：xmy10交曲线E于A，C两点，直线l2：mxym0交曲线E于B，D两点.当CD的斜率为1时，求直线CD的方程.解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得 ，整理得x2y24x10，即(x2)2y23为所求.(2)由题意知l1l2，且两条直线均恒过点N(1，0).设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线

24、EP：yx2.设直线CD：yxt，由解得点P，由圆的几何性质，知|NP|CD| ，而|NP|2，|ED|23，|EP|2，所以3，整理得t23t0，解得t0或t3，所以直线CD的方程为yx或yx3.2.已知点A(1，a)，圆x2y24.(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值.解：(1)由过点A的圆的切线只有一条，得点A在圆上，故12a24，解得a.当a时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40；当a时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为xy40.综上所述，当a时，切

25、线方程为xy40；当a时，切线方程为xy40.(2)设直线方程为xyb，由于直线过点A，则1ab，即ab1，又圆心(0，0)到直线xyb的距离d.所以4，则b，因此ab11.3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l：y2x4上，也在直线yx1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x3)2(y2)21，又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切

26、线的斜率存在，设所求的切线方程为ykx3，即kxy30，所以1，解得k0或k，所以所求切线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.(2)因为圆C的圆心在直线l：y2x4上，所以设圆心C为(a，2a4)，又因为圆C的半径为1，则圆C的方程为(xa)2(y2a4)21.设M(x，y)，又因为|MA|2|MO|，则有2，整理得x2(y1)24，其表示圆心为(0，1)，半径为2的圆，设为圆D，所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以21 21，解得0a，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.4.在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解：(1)不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为2 3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.