考研高数习题集(上).doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流考研高数习题集(上).精品文档. 上 册 目 录 第一讲: 极限与连续2单元一: 未定型极限(1)2单元二: 未定型极限(2)3单元三: 未定型极限(3)4单元四: 未定型极限(4)(含)6单元五: 特殊求极限法.7单元六: 无穷小比较.9单元七: 函数连续性.10单元八: 渐近线讨论.12单元九: 介值定理.13 第二讲: 导数及应用.14单元一: 定义求导.14单元二: 公式与法则.16单元三: 特殊求导法.18单元四: 斜率与切线.20单元五: 单调性与极值.20单元六: 单调性应用.23单元七: 二阶导应用.26单元八: 中值定理.2

2、8单元九: 泰勒公式.30 第三讲: 一元积分学32单元一: 原函数与不定积分.32单元二: 定积分性质.35单元三: 定积分计算.36单元四: 定积分几何应用.39单元五: 定积分物理应用.41 第四讲: 微分方程43单元一: 一阶方程.43单元二: 可降阶方程.44单元三: 高阶线性方程.45单元四: 应用方程.46 第一讲: 极限与连续单元一: 未定型极限(1)1. 若 , 则: ; ; 时; 时,2. (1) (2); 3. (1); (2) (3) 4. 设是多项式, 且, 求.5. ,求与的关系.6. , 其中: (1); (2); (3) (1); (2); (3)7. ,求:.

3、 8. , 求: 单元二: 未定型极限(2)1. 求极限: (1). (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2. , 求: 3. 求极限(对比) (1) (2) 4. 求极限 (1); (2) (3) (4) 单元三: 未定型极限(3)1. 2. 求极限: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3. 求极限(洛必达法则): (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 4. 求极限(对比) (1); (2) 5. 6. 求极限(泰勒公式) (1) (2) (3) (4)

4、 7. 已知: , 求: 单元四: 未定型极限(4)(含)1. 求极限: (1) (2) (3) 2. 设, 求.3. 在上连续, , 证明: .4. 设,其中为连续函数,则 ; ; ; 不存在5. 连续, 求.6. 连续,证明:单元五: 特殊求极限法1. 求: (1) (2); (3) (4) (5) (6) 2. 设, 求: 3. 非负不增, 发散, 证明: 4. 为单调递增正数列, 证明: .5. ,且非负,求:6. 设非负连续函数在上单调递减, , 证明数列的极限存在 ,7. 设, 证明数列极限存在,并求此极限. , 且, 8. 设, 证明: 收敛. 法(1)收敛; 法(2)9. ,

5、求: . 法(1):准则; 法(2):10. 设, 证明: 存在, 并求出其极限.11. 设, 证明: 存在, 并求出其极限, 其中: (1)若 (2)若 12. (1) (2) 13. (1) (2) 14. .单元六: 无穷小比较1. 当 时, 变量 是 的( )无穷小. 高阶; 同阶不等价; 等价; 低价.2. 当时,是的什么无穷小？ 同阶不等价3. 当时, 是的什么无穷小? , 高阶4. 当时, 是的什么无穷小？ ,低价5. 当时, 是的什么无穷小? ,同阶不等价6. 当时, , 求: 7. 当时,比较无穷小:的阶8. 当时, 是的几阶无穷小?9. 当时,是的几阶无穷小?10. 当时,

6、 , 其中: (1) (2) (3)? (4); (5) (6) 11. 有连续导数,且,当时,?12. 在 的某邻域内具有一阶连续导数, 且 , 若: 在时是比高阶的无穷小, 求: .13. 设为无穷小, 且, (1)证明:; (2)问:? , 否单元七: 函数连续性1. 设和在内有定义,为连续函数,且有间断点, 则 必有间断点的函数是: 2. 考察函数连续性: (1); (1)无穷; (2)跳跃 (2) (1)可去; (2)跳跃3. 设. (1)写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型. (1); (2)可去4. 求在内的间断点, 并判别类型 (1)可去; (2)第二类5. ,确定,

7、使在处连续.6. 考察在处为何种间断点, 其中: (1) 跳跃 (2) 跳跃 (3) 可去7. 设, 考察的连续性. 连续, 时, 为跳跃间断点8. 求的间断点, 并判别类型. 无穷单元八: 渐近线讨论1. 求曲线的渐近线.2. 求曲线的渐近线方程.3. 考察下列函数曲线的渐近线. (1) (2) (3) (4) (5) 4. 已知, 求: .单元九: 介值定理1. 在上连续, 且, 证明: , 使: ,(1), (2),2. 在上非负连续,(1)证明:,使在上以为高的矩形面 积等于在上以为曲边的梯形面积 (2)又若在内可导,且, 则证明(1)中的是唯一的 (1), (2)3. 在上连续, 非

8、负, 且, 证明: ,使得: 异号4. 若在上连续, , 证明: , 使得: 第二讲: 导数及应用单元一: 定义求导1. 设, 求: 2. 设可导, , 求: 3. 设, 求: .4. 设, 求: .5. 设, 并且可导, 求. 6. 满足:, 求:.7. 若在处有:, 则在处有:8. 求,其中分别为: (1),连续; (2),连续,; (3),有界. 9. , 求: . 不存在10. 在上满足: (1) (2), 证明: .11. 问在处是否连续?可导? (1) (2),其中有界 (3) (4), 且. 12. 奇函数在处可导, 问: 在处是否连续? 可导? 13. 设且在处可导,令,求14

9、. 设函数在上连续, 又, 证明: 对满 足的一切, .15. 考察函数在处的连续性,可导性,以及的连续性.16. 若有连续的导数,且,设,确定常数,使 连续,并问此时是否连续?单元二: 公式与法则1. 设,且,求:. 2. 在处具有连续导数, 且, 求.3. 可导,求:4. 求:(1) (2) (3) (4) 5. 求:(1) (2) (3) (4),求 6. ,求.使存在.7. 选定参数, 使立方抛物线:,与曲线 光滑连接起来. 8. , 问为何值时,可导, 并求9. (1),求. (2),求. (3), 求; (4), 求:. 10. (1), 求 (2),求 (3), 求: .11.

10、设, 证明: .单元三: 特殊求导法1. 确定, 证明: 单调,并求2. 设, 求其反函数的导数3. 由方程 确定, 求 . 4. ,求:. 5. , 求: . 6. 由方程 确定, 求 7. , :可导, 求. 8. 已知, 而 是由方程 所确定的的函数, 求: .9. 可导单调,由,求10. 设函数 由等式 所确定, 求: 。11. 由确定的隐函数为, 求: 。12. 单调可导,其反函数为,且已知求13. ,求 14. 求: (1); (2). 15. 设由:确定,考察在相应于处的可微性单元四: 斜率与切线1. 求对数螺线: 在点处的切线方程.2. 求与的公切线方程.3. 问: 曲线与曲线

11、在哪些点相切, 哪些点直交. 相切:; 直交:4. 为周期为 的连续函数, 它在 的某个邻域内满足: 其中是当时比高阶的无穷小量, 且在处可导, 求曲线 在点处的切线方程. ,单元五: 单调性与极值1. 设 试考察:(1)定义域内连续性; (2)单调性; (3) ,连续; (2)递减; (3)2. 设为已知的连续函数,令,其中, 则的值: 依赖于,不依赖于; 依赖于和; 依赖于和,不依赖于; 依赖于和. 3. 函数的单调减少区间为? 连续!, 递减4. 由:所确定, 求的单调区间.5. 上二阶可导,且,证明在内递增.6. 设在内连续,且, 求证:当时单调增加.7. 三数: 中哪个最大? 8.

12、设, 判断: 与 的大小.9. 设可导函数,大于零, , 且, 则: 10. 考察的单调性. 11. 讨论函数 在区间 内的单调性与极值. 12. 设三次函数有两个极值点及其对应的两个极值均为相反数,则函 数图形关于什么对称? 奇函数13. 满足: , 求的极值14. 求的极值15. 在上连续,求驻点和极值点. 驻点: 极小值点:; 极大值点:16. 在处连续, , 问:是什么点? 极大值点17. 已知在点的某邻域内连续,且,则处必: 不可导; 可导,但; 取到极小值; 取到极大值18. 求,使仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点19. 求的极值点. 极小值点；极大值点单元六: 单调性应用1.

13、 设, (为自然数), (1)求; (2)证明: . ;(2)2. 在上正值连续,求的最小值. 最小值:3. 求的最大值.4. 设连续, 且, 令, (1)证明:递增; (2)求的最小值; (3)若的最小值为:,求5. 设, 又设是它的最大实根, 则满足: 6. , 设, 证明:7. (1)证明方程在内有且仅有两个不同实根. (2)考察在内根的个数. 偶, 单调异号, :二根 (3)考察方程: 根的个数. (一个根) (4)考察方程根的个数. :二根 (5)证明: 恰有两个根. 为唯一驻点, (6)对的不同取值, 确定方程在内根的个数, 并加以证明 (1):无根; (2):一根; (3):二根

14、8. (1)直线经过,且使的值最小,求之值. (2)在和之间求值,使得所围的面积最小. (3)过点引直线, 若它在两个坐标轴上截矩为正, 求使截矩之和最小的直线. 设:9. (1)是上定点, 是该曲线另一分支上的动点,求线段长度最短 的点的坐标. (2)设曲线与直线相交于两点, 又为曲线弧上任一点, 求面积的最大值. (3)求点到曲线上的最近距离.10. 证明不等式: (1); (2); (3). (4) (5),. (6). 11. 证明: 当时, (1). , (2). ,12. 在上可导, 且, 证明: .13. 设在上连续, 内可导, , 证明:14. 确定函数的单调区间,并证明:,有

15、.15. 可导, 恒正, , 且, 则: 16. 设, 证明: (1); (2) (1) (2)17. 证明: 当时, .单元七: 二阶导应用1. 若,问是什么点? 极小2. 为满足的通解, 问为何种点? ,极大3. 任意阶可导, 且, 则 是什么点? ,极小4. 在上满足:, 比较:的大小顺序.5. 二阶可导,若的一个拐点是,求.6. 问在内极值与拐点个数. 连续, :极大; :极小 , :拐点. 共计:2个极值,3个拐点7. 证明:由所确定的隐函数在的某邻域内是递增 的.并说明点是否为曲线的拐点? , 为拐点8. 设函数由确定, 求曲线的凸区间.9. 作图: (1). 图略 (2) 10.

16、 求:的 (1)单调性; (2)凹凸性; (3)曲率 (1); (2): 凹; (3)11. 设 在 内满足: , 且, 证明: 单元八: 中值定理1. :上可导,且,证明,使2. 在上连续,内可导, 且, 证明:,在内至少存 在一点, 使得 . ,罗尔定理3. 可导, 则任意两个零点之间, 必有 的零点 ,令,罗尔定理4. 设, 证明:在内至少有一个零点. ,罗尔定理5. 设在上二阶可导,证明:,使得: 6. 上连续,证明:,使:. , 罗尔定理7. ,上二阶可导,证: ;罗尔定理8. 设函数在上具有二阶导数, 且, 证明: , 使得: 和 使得9. 设在上可导, 证明: , 使得: 左式=

17、10. 设函数在上可导,证明:,使得:11. 设在上连续,在内三阶可导,且, 证明: 存在, 使得.12. 设, 证明: 中值或不等式 (1); (2)13. 在上连续,内有二阶导数,且曲线与直线 在内有交点, 证明在内至少有一点, 使14. 设在内取得最大值, 在上具有二阶导数, 且, 证明: . 15. 设在上连续,在内可导, 证明, 使: 单元九: 泰勒公式1. , (1)写出带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; (2)证明:,使 令2. 在上二阶可导,且,证明:3. 设存在, , 证明:使: 4. 在上有连续导数, , 证明: 5. 在上有二阶导数, , 证明: 6. 设 在 上有三阶

18、连续导数, 且 , 证明: , 使 7. 设在上有一阶连续导数, 在内有二阶导数, 且 证明: , 使得.8. 设在上二阶可导, 且, 证明: (2) 第三讲: 一元积分学单元一: 原函数与不定积分1. 设函数连续, 且, 求:. 2. 设, 求: 3. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7). (8) (9) 4. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5. (1) (2) (3) (4) (5) (6). 6. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 7. (1) (2) (3) (4) (5) 8. (1) (2) 9.

19、已知是的一个原函数, 求: .单元二: 定积分性质1. 若 , 试比较:的大小, 其中:2. 设，求证: .3. 为连续的偶函数, 证明: 也是偶函数4. 为连续的奇函数,考察的奇偶性. , 奇5. ,(1)当,且时, 证明: (1); (2)求: (1) (2), 6. 设在的某邻域内连续, , 求: .7. 满足: , 且, 求;单元三: 定积分计算1. 计算下列定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)2. 设, 求: . 记3. 求:, 其中: (1). (2) 4. 若是的一个原函数, 求: 5. 证明:6. 7. 证明: . 8. 设

20、在上有二阶连续导数 (1)若, 证明: ; (2)若, 证明: . (1)9. 设单调增加有连续导数, 且, 是的反函数, 证明: 10. 确定积分的符号11. .12. 计算广义积分: (1) (2) (3) (4) (5). , (6) 13. 计算广义积分: (1) (2) (3) (4) (5) :发散单元四: 定积分几何应用1. (1)求由与所围成图形的公共部分面积. (2)求曲线与轴及过曲线的两个极值点,平行于轴的直线所围图 形的面积. (3)求与轴所围图形的面积.2. 二阶可导,且, 直线是曲线 上任一点处的切线 , 记直线与曲线以及直线所围成的图形面积为, 证明: 3. 已知抛

21、物线在第一象限内与直线相切,且此抛物线 与轴所围图形的面积为,问为何值时,达到最大,并求出最大值.4. 求曲线,及所围图形的和,并求和5. 已知曲线与曲线在点处有公切线,求:(1)常数及切点 ; (2)两曲线与轴围成的平面图形的面积及绕轴旋转所得旋转体的体积6. (1)求由所围图形绕直线旋转而成立体的体积. (2)求由所围图形, 绕直线旋转而成立体的体积. (3)设平面图形由:和所确定,求图形绕旋转一周所得旋转体体积7. (1)求在点的切线方程;(2)求与及轴所围图形的, (1); (2)8. 设在时是连续的非负函数,且,表示曲线与直线 所围成平面图形绕直线旋转得到旋转体的体积,证明: .9. 已知一抛物线通过轴上的两点 (1)求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于轴与该抛物线所围图形的面积 抛物线: , (2)计算上述两个平面图形绕轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.