椭圆总结(全).doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date椭圆总结(全)椭圆总结(全)椭圆一知识清单1.椭圆的两种定义：平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长的动点P的轨迹，即点集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（时为线段，无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M=P| ，0e1的常数。（为抛物线；为

2、双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一个三角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）；焦点F1（0，c），F2（0，c）。其中注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），当AB时，椭圆的焦点在x轴上，AB时焦点在y轴上。3 参数方程：焦点在x轴， （为参数）4 一般方程：5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：（ab0）有以

3、下性质：坐标系下的性质： 范围：|x|a，|y|b； 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）； 顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（半长轴长，半短轴长）；椭圆的准线方程：对于，左准线；右准线 对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0 ，左加右减，上减下加通径：过椭圆的焦点与椭

4、圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=平面几何性质：离心率：e=（焦距与长轴长之比）；越大越扁，是圆。焦准距；准线间距两个最大角焦点在y轴上，中心在原点：（ab0）的性质可类似的给出。6焦点三角形应注意以下关系：(1) 定义：r1r22a(2) 余弦定理：2r1r2cos(2c)2(3) 面积：r1r2 sin2c| y0 |= c| y0 |= (其中P()为椭圆上一点，|PF1|r1，|PF2|r2，F1PF2)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆（ab0）的共焦点椭圆设为8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐 标系有关.

5、因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式： （a,b,c为方程的系数考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是OxyDPABCQA4aB2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1),

6、此时小球经过的路程为2(ac);(2), 此时小球经过的路程为2(a+c);(3)此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为，离心率的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长为（ ）A.3 B.6 C.12 D.24解析C. 长半轴a=3，ABF2的周长为4a=122.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（ ） A 5 B 7 C 13 D 15 解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，的最小值为10-1-2=7题型2 求椭圆的标准方程 例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点

7、的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子“描述”出来解析设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系警示易漏焦点在y轴上的情况【新题导练】3. 如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.解析(0,1). 椭圆方程化为+=1. 焦点在y轴上，则2，即k0，0k0 （*）x1x2， x1x2 3 x13x2 消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240整理得4k2m22m2k220 m2时，上式不成立；m2时，k2，

8、因3 k0 k20，1m 或 m2m22成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（1，）（，1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能例7椭圆上一点向轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点,为椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点,且.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是，求椭圆方程.解析 、 ，,， 又，, 而. 、为准线方程，, 由 所求椭圆方程为【新题导练】14.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是 （ ） A. B. C. D. 解析 ，选A.15. 如图，在RtABC中，CAB=90，

9、AB=2，AC=。一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M、N两点。 （1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程； （2）设直线l的斜率为k，若MBN为钝角，求k的取值范围。解：（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0）由题设可得动点P的轨迹方程为，则曲线E方程为（2）直线MN的方程为由方程有两个不等的实数根MBN是钝角即解得：又M、B、N三点不共线综上所述，k的取值范围是二典型例题考点1 椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例2.点P为为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，试求：取

10、得最值时的点坐标。题型2 求椭圆的标准方程 例3.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程.考点2 椭圆的几何性质 题型1:求椭圆的离心率（或范围）例4. 在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例5. 已知实数满足,求的最大值与最小值考点3 椭圆的最值问题题型1: 动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值例6.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为_题型2.一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最

11、小值。例7. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例8 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例9. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例10. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离

12、。考点4 直线与椭圆相交问题题型1 直线与椭圆相交求弦长(1) 常用分析一元二次方程解的情况，仅有还不够，且用数形结合的思想。(2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但0这一制约条件不同意。 （a,b,c为方程的系数）例11.已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于M、N两点，求弦的长。题型2“点差法”解题。“设而不求”的思想。当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。步骤：1.设A(x1,y1) B(x2,y2)分别代入椭圆方程；2.设为AB的中点。两式相减，3.得出注：一般的，对椭圆上弦及中点，有例12.已知椭圆，

13、 求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程考点五.轨迹问题这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。2.代入法：一个是动点Q(x0,y0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q点满足某种关系，要求P点的轨迹。其关键是列出P、Q两点的关系式3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。4.参数法：在x，y间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。常用的参数有斜率k与角等。例13：的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另

14、两边斜率的乘积是，求顶点A的轨迹方程：基础训练A组1椭圆的焦距是（ ）A2BCD2F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（ ）A椭圆B直线C线段D圆3P是椭圆上一点，P到右焦点F2的距离为1，则P到相应左焦点的准线距离为（ ）ABCD4若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（3，0），则其离心率为（ ）ABCD4若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为，这个椭圆方程为（ ）ABCD以上都不对6离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为 _ .7与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相

15、同的焦点,且过点(3，)的椭圆方程为_8.设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于_9.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=_10已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程11已知A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，若|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程12.求椭圆的内接矩形面积的最大值13.已知圆，从这个圆上任意一点P向轴作垂线段，求线段的中点M的轨迹.14.（2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率

16、为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。综合训练B组1下列命题是真命题的是（ ）A到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆C到定点F(c，0)和定直线的距离之比为(ac0)的点的轨迹 是左半个椭圆D到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(ac0)的点的轨迹是椭圆2若椭圆的两焦点为（2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是（ ）ABCD3若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（ ）A（0

17、，+） B（0，2） C（1，+） D（0，1）4设定点F1（0，3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）A椭圆 B线段 C不存在D椭圆或线段5椭圆和具有（ ）A相同的离心率 B相同的焦点C相同的顶点 D相同的长、短轴6已知是椭圆上的点，则的取值范围是_ 7已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于，则椭圆的离心率等于_8.已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则_9.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是_10.（2009天津卷文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为

18、_11求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P（3，2）的椭圆方程.12已知地球运行的轨迹是长半轴长为a，离心率为e的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离. 13ABC的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB、AC的斜率的乘积是-，求顶点A的轨迹方程.14过椭圆引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与x轴、y轴交于M、N两点（1）若，求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用表示）；（3）求MON面积的最小值（O为原点） 15椭圆与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴的取值范围提高训

19、练C组1若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为（ ）ABCD 2已知是椭圆上的一点，若到椭圆右准线的距离是，则点到左焦点的距离是（ ） ABCD3椭圆上的点到直线的最大距离是（ ） A3BCD4在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（ ）A BC3 D45过点M（2，0）的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（ ）A2B2CD6中心在原点，离心率为，且一条准线方程是y=3的椭圆方程是 .7过椭圆的左焦点作倾斜角为的弦AB，那么弦

20、AB的长= .8已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，则点M的轨迹方程为 .9. 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为_ 10.(2009湖北卷理)已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是_11已知椭圆的焦点是,为椭圆上一点，且是和的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且120，求.12已知椭圆的一个焦点，对应的准线方程为，且离心率的等比中项.（1）求椭圆方程，（2）是否存在直线l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰为直线平分？若存在，求出直线l的倾斜角的范围，若不存在，请说明理由.13椭圆的中心是原点

21、O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.基础训练A组答案：1A 2C 3D 4C 5C 6 7 8.解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: . 9解：过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得 10解析:由 ，椭圆的方程为：或.11解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦半径公式有aex1+aex2=，x1+x2=，即AB中点

22、横坐标为，又左准线方程为，即a=1，椭圆方程为x2+y2=112 13解：设点M的坐标为，则点P的坐标为.P在圆上，即.点M的轨迹是一个椭圆14解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为 故 ， 由 得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =, 代入解得，此时 于是=， 即 因此， 当时， ； 当时

23、， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.综合训练B组答案1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6 7 8【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，.9【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因10【解析】由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。11 12. 最大距离为a（1+e），最小距离为a（1e）13.解：设顶点A的坐标为.依题意得 ，顶点A

24、的轨迹方程为 .说明：方程对应的椭圆与轴有两个交点，而此两交点为（，）与(0，6)应舍去.14(12分)解析：（1） OAPB的正方形 由 P点坐标为（）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）则PA、PB的方程分别为，而PA、PB交于P（x0，y0）即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，AB的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由、 当且仅当.15（12分）解析：设，由OP OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将，代入化简得 . (2) 又由（1）知，长轴 2a .提高训练C组答案1.D 2.B 3.D 4.C 5.D 6 7 89【解析】因为，再由有从而可得1

25、0【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得 11解：(1)由题设4， 2c=2， 椭圆的方程为.（）设，则60由正弦定理得：由等比定理得：整理得： 故.12解（1） 对应准线方程为椭圆中心在原点，则椭圆方程为（2）假设存在直线l，且l交椭圆所得的弦MN被直线平分，l的斜率存在，设l:y=kx+m.由.直线l交椭圆于不同两点M、N.设M代入得.存在满足条件的直线l1的倾斜角注：第（1）小题还可利用椭圆的第二定义解决13(14分) 解析：（1）由题意，可设椭圆的方程为.由已知得解得，所以椭圆的方程为，离心率.（2）解：由（1）可得A（3，0） .设直线PQ的方程为 .由方程组得，依题意，得 .设，则， . ，由直线PQ的方程得 .于是 . ， . ，由得，从而.所以直线PQ的方程为或.（2）证明：.由已知得方程组注意，解得，因，故 .而，所以.-