专题六GARCH类模型.ppt

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1、专题六 GARCH类模型 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date专题内容 ARCH模型及其参数估计 GARCH模型及其参数估计 EGARCH模型 TGARCH模型 GAR

2、CH-M模型 案例分析ARCH模型 ARCH模型。由Engle(1982)引入。, 2 , 1, 2 , 1, 0, 0)(, 2 , 1,)var(, 0)()(01)()var(, 0)(),(0022222211022221222110tqiqARCHARCHqtEqARzzzPARExxxPARpxttittttttqtqtttttpptttttttt；为它满足：的分布是受约束的，因注意：白噪声过程。一般还假设。过程，记作阶的服从则称独立同分布，且有其中，过程服从，它的平方若一个随机过程外。所有的根都在单位圆之的特征根多项式过程是一稳定过程，它。过程，且为独立同分布的白噪声其中，如果阶

3、的自回归表示形式有一个随机变量ARCH模型2211022122210222102212),|(1)()(10, 001qtqtqttttqtttqiqqtEARCHtARCHEqARCHzzz公式计算。干扰的函数，可由递推随机过程的条件方差时过去，的方法。在每一个时刻件方差出了计算时间序列的条模型的重要特征是：给为一常数。的无条件方差为，那么这样，若成立，则等价于。若的所有根均在单位圆外根方程为一个平稳过程，特征为了确保ARCH模型：ML估计服从非标准正态分布。）（服从标准正态分布；）（考虑两种情况：模型的参数估计，这里。其中，可以表示为：值。中可以包括滞后的为已知的回归变量，其模型中的。，。

4、估计所用数据为已知，并记个观察值的前一般假设。为了计算方便起见，针对如下模型：ttqtqtttttttttTqqtttttvvARCHhvhqARCHyXyyyyyyqyqARCHXy21,)(,)(2222211021021ARCH模型：ML估计。这里同理：。这里的分布如下：因此。进一步这里服从标准正态分布，则的分布，由于观察第一个样本。令。其中：服从标准正态分布针对如下模型22222211102121121122001011211111112112112200101212122010111111011011)()()(,2)(exp21),|()()()(,2)(exp21),|()()(

5、)(), 0(,)(,)(XyXyXyhhXyhYXyfXyXyXyhhXyhYXyfyXyXyXyhhhNvyXXXXyyyyYqARCHXyvqtqtqttttttttttttqqqqqqqqqttqtttttttARCH模型：ML估计)( ,)( , 1 )(,0/)(2221)()(121)(ln21);Y,|(ln)(/)(21)ln(21)2ln(2);,|(ln)(:,)(,)(22111222221t12111101XyXyzhXzXhhhhXyXyhhXyflhXyhTYXyfLqARCHXyvqtqttttttttqjjtjtjttttttttttttttTttttTttT

6、ttttqtttt这里令然函数回归模型的条件对数似。，和要估计的参数包括。其中：服从标准正态分布针对如下模型ARCH模型：ML估计的解。为方程：的最大似然估计参数向量0)(ln0/)(2)(121)()(121)(ln21)(ln)(ln)()(ln112212221LhXzXhhhhXyXyhhLLlLTtttttqjjtjtjtttTtttttttttTttARCH模型：ML估计TttttttTtjtjttjtqjjtttttddhTIXLETIXXhhXXTIXLETIINTINT1212122121211)()z(z21Y,|)(ln121Y,|)(ln1,), 0()(), 0()(

7、，其一致估计值为，其一致估计值为这里态的极限分布：在一定的条件下，有正是一致的估计，和计值通过计算可以得到，估ARCH模型式更加复杂。的一阶和二阶偏微分形。其中需要估计的参数为其对数似然函数为：这里密度函数可写成：有条件方差过程。相应于样本分布的服从有如果。其中：服从非标准正态分布针对如下模型)(ln,)2()(1ln21)ln(21)2(2/2/ ) 1(ln);,|(ln)(ln,)2(1 )2(2/2/ ) 1()(,)()t()(,)(1212/111222221102/ )1(22/12/111LkkhXykhkkkTYXyfLhkhhkkkfhyyqARCHkqARCHXyvTtt

8、ttTttTttttqtqtttkttttttTtttttGARCH模型.)()()(,q,3 , 2 , 1),1 , 0()()(12022110之后多项式的商它可表示成两个有限阶为无穷阶滞后多项式：这里，异方差可表示为：条件过程的阶数。令独立同分布，且有中，过程假设在模型引入。为了弥补这一弱点，估计方法的效率会降低参数估计中迭代过大，在样本有限时，模型的阶数若的结构：决定于条件异方差模型jjjtttttttqtqttttttLLLLhARCHTtNvvvhqARCHGARCHqARCHhhvhqARCHGARCH模型为白噪声过程。时，；当时，当。过程，记过程，简称该过程即为广义的其中的常

9、数项的上述形式下：实际上，在的根都在单位圆之外。的特征方程：其中，滞后多项式如下：后多项式的商可表示成两个有限阶滞tttrqtqttrtrtttrrrrqqqrqARCHrr,qGARCHGARCHARCHkhhhkhLzzzLLLLLLLLLLL0)(0)()1 ()(01)(1 (1)(1)()(,)(0210222221122110221221221GARCH模型证明略。其中的充分必要条件为和，并有过程是稳定的随机过程定义的上述重要定理：qiiqiittttstkEqrGARCHh11s10) 1 (,) 1 (1) 1 () 1 ()(0),(cov)1 () 1 (1 ()(D, 0

10、)(),(GARCH模型。为是稳定过程的充分条件根据前述定理，。参数满足如下条件：独立同分布，且有其中，过程表示为：金融学中有很多应用。别是在济学的许多领域中，特尽管形式简单，但在经过程。的一种过程。该过程是最简单1) 1 , 1 (0; 0; 0),1 , 0(;) 1 , 1 () 1 , 1 (11110211110GARCHkNvvhkhvhGARCHGARCHGARCHtttttttttGARCH模型ML估计 , , 1 ) 1 , 0(GARCH2121021222211210rqrtttqttttqiitiriitittttttttkhhhzhkhNvvhXy估计。令模型的参数的

11、极大似然回归模型：考虑GARCH模型ML估计，就可得到一致估计只需估计的信息矩阵则参数注意到：其中，到的一阶和二阶微分，得求关于先对示为模型的对数似然函数表tttttTttttttriitittTttttttTttttttTtttttTtttTtTttthYXLETIYXhhhhEhzhhhhhhhhhLhhhLLhhTlLGARCH,|)(ln10,| 21) 1()(2121) 1()(ln) 1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln1211121122112212111211GARCH模型ML估计qjitiqjjtjtjtTttttttTtttttTttttttT

12、ttttTtttttTttttTtttTtTttthXhhhhhhXhhhhhXXhLhhhhXLLhhTlLGARCH1111212122112121111211221) 1(221)(ln) 1(21)(ln)(ln21)ln(21)2ln(2)()(ln其中，到的一阶和二阶微分，得求关于先对示为模型的对数似然函数表GARCH模型ML估计)ln(), 0()(t21tdfENT有正态的极限分布：时，当不对称的GARCH模型 针对股票价格变动，可以经常观察到，信息冲击下，向下波动性要强于向上波动性。为了解释这种想象，Engle and Ng (1993) 采用如下曲线来表述不对称的信息影响特

13、征不对称的GARCH模型 不对称的GARCH模型类型多样，这里主要介绍两种： EGARCH TGARCHEGARCH模型 EGARCH or Exponential GARCH model 由奈尔逊 (Nelson，1991)提出的。过程服从则称过程中，在EGARCHvgvEvhvDvEvhARCHtjjtjtjtjtttttt10|)ln(, 1)(, 0)(EGARCH模型 EGARCH模型中的一个重要特征是在条件方差中引入了参数g，这使得条件方差在随机干扰项取值为正、负值时有不同程度的变化，从而能更准确地描述金融产品价格波动的情况。 比如，在股票市场中，若将利好消息看作是对股价的正干扰，

14、将利空信息看作是负干扰，人们注意到，股价往往对同样程度的副干扰的反应更加强烈。EGARCH模型 这种正负干扰的不对称反映的不对称性可以有EGARCH模型来描述。 若参数g取值为负数，且大于-1时，那么一个负干扰所引起的条件方差的变化，比相同程度的正干扰引起条件方差的变化则更大； 若g大于0，同样程度的正干扰引起条件方差的变化则更大； 若g=0，则条件方差对于正负干扰的变化是对称的。EGARCH模型 参数。由于EGARCH条件方差有指数形式表示，所以无论参数取何实数，条件方差总大于0。这样在对EGARCH参数估计时，不需要对进行约束。为一稳定的随机过程。过程成立时，模型中，如下条件：EGARCH

15、12tjjEGARCHEGARCH模型|lnlnln)(ln1)(1)()()(1)()(2222111122110221221qtqtqtqttttttrtrtttrrqqvgvEvvgvEvvgvEvhhhkhLLLLLLLLLLLL从而，的比，即和有限阶的滞后多项式表示成两个穷阶的滞后多项式在一般情况下，可将无EGARCH模型服从均匀分布。时，随机干扰项当参数尾部；服从较正态分布更薄的时，随机干扰项当参数尾部；服从较正态分布更厚的时，随机干扰项当参数服从正态分布；时，随机干扰项当参数被称为尾部厚度参数。均为常数，其中，密度函数为服从广义误差分布，其建议随机干扰有更广泛的应用，为了使然方法

16、估计。模型的参数可由极大似ttttcccctttvcvcvcvccccccvcvfvEGARCHEGARCH222)/3()/1 (20 ;)/1 (2|/|21exp)(Nelson2/1/2/ )1(EGARCH模型 EVIEWS中使用的模型与Nelson模型有差异。 EVIEWS中使用的模型如下：qiititiititipjjtjttttttttttthhhkhqpEGARCHhhhkhorvvhkhEGARCH110111111110111110|)ln()ln(),(|)ln()ln(|)ln()ln() 1 , 1 (模型如下：模型如下：TGARCH模型 正干扰和负干扰的非对称的后

17、果也可通过对线性GARCH框架的简单修正给出。 TGARCH(Threshold ARCH)模型由 Zakoian (1990)以及Glosten, Jaganathan, and Runkle (1993)提出。TGARCH模型信息影响是不对称的。如果杠杆效应存在如果响为：好消息，负干扰下的影响为：好消息，正干扰下的影即方差会有不同的效应，好消息和坏消息对条件，那么非负条件成立。，且如果模型如下：模型如下：0,;0,00),(.0,01) 1 , 1 (11111211210111121211110ttqjjtjpiititttttttttdhkhqpTGARCHotherwisedandi

18、fdwheredhkhTGARCHTGARCH和EGARCH模型ARCH-M模型 在前面讨论中，ARCH、GARCH、EGARCH过程主要是描述模型的干扰项的条件方差，一般与yi的条件期望无关。 但实际中人们注意到，条件方差的变化往往直接影响到条件期望的值，ARCH-M模型对回归模型的条件期望和条件方差都作了描述，是对前面讨论的ARCH和GARCH模型的推广。 ARCH-in-Mean (ARCH-M) model (Engle, Lilien, Robins, 1987)。ARCH-M模型ttttttttttttttttthhghhghgqrGARCHqARCHhhhgNvvvhhgXyMA

19、RCH)(2)(1)(EVIEWS.),()()();1 , 0(.,d . i . i ,)(）（；）（有两个选项：中考虑的在的表示形式或者有的函数。为条件方差且为过程，考虑如下形式：ARCH-M模型估计的难度。性，这就增加了的参数约束条件也往往呈非线，相应的均是参数的非线性函数无条件方差和相关系数阶相关系数：以及一阶和的无条件方差：，则由于写成：可将考虑简化模型：111211022102311212120211011010212110211021101)31)(1 (22)31 ()1 (2)(1)()11 ()(1)()(,), 0(|corrcorrcorrkyDyyEEyyhhNYhykktttttttttttttttttt