第1课时角的平分线的性质.ppt

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1、12.3 角的平分线的性质角的平分线的性质第第1课时课时 角的平分线的性质角的平分线的性质课件说明课件说明 角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征，角的平分线的性质反映了角的平分线的基本特征， 常用来证明两条线段相等角的平分线的性质的常用来证明两条线段相等角的平分线的性质的 研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供研究过程为以后学习线段垂直平分线的性质提供 了思路和方法了思路和方法 本节内容是全等三角形知识的运用和延续用尺规本节内容是全等三角形知识的运用和延续用尺规 作一个角的平分线，其作法原理是三角形作一个角的平分线，其作法原理是三角形全等全等的的 “ “边边边边边边”判定方法和全等三

2、角形的性质判定方法和全等三角形的性质；角的平；角的平 分线的性质证明，分线的性质证明，运用了运用了三角形三角形全等全等的的“角角边角角边” 判定方法和全等三角形的判定方法和全等三角形的性质角的平分线的性质性质角的平分线的性质 证明提供了使用角的平分线的一种重要模式证明提供了使用角的平分线的一种重要模式利利 用角平分线构造两个全等的直角用角平分线构造两个全等的直角三角形，进而证明三角形，进而证明 相关元素对应相等相关元素对应相等课件说明课件说明 课件说明课件说明 学习目标：学习目标：1会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性2探索并证明角的平分线的性质

3、探索并证明角的平分线的性质3能用角的平分线的性质解决简单问题能用角的平分线的性质解决简单问题 学习重点：学习重点： 探索并证明角的平分线的性质探索并证明角的平分线的性质问题问题1在练习本上画一个角，怎样得到这个角的在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？平分线？ 追问追问1在生产生活中，这些方法是否可行呢？在生产生活中，这些方法是否可行呢？一一. .创设情境：创设情境：用量角器度量，也可用折纸的方法用量角器度量，也可用折纸的方法下图是一个平分角的仪器，其中下图是一个平分角的仪器，其中AB = =AD，BC = =DC，将点，将点A 放在角的顶点，放在角的顶点，AB 和和AD 沿着角的两沿着

4、角的两边放下，沿边放下，沿AC 画一条射线画一条射线AE，AE 就是就是DAB 的平分的平分线你能说明它的道理吗？线你能说明它的道理吗？ ABDCEBEDCA利用利用“SSS”可证明两三可证明两三角形全等，角形全等，从而证明从而证明AE是是DAB的的角平分线角平分线动脑思考动脑思考把简易平分角的仪器放在角的把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边两边时，平分角的仪器两边AB与与AD相等，从几何作图角度怎相等，从几何作图角度怎么画？么画？BADC 从利用平分角的仪器画角的平从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线

5、？用直尺和圆规作一个角的平分线？动脑思考动脑思考BC=DC从几何作图角度怎么画？从几何作图角度怎么画？BADC 角平分线的画法角平分线的画法（）（）分别以分别以M，N为圆心大于为圆心大于MN一半的长为半一半的长为半径作弧两弧在径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于C（3 3）作射线，则射线作射线，则射线OC即为所求即为所求( () )以以O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OA于于M，交交OB于于N二二. .尺规作图：作已知角的平分线尺规作图：作已知角的平分线用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线利用尺规作角的平分线的具体方法利用尺规作角的平分线的具体方法: : ABOMN

6、C 你能说明为什么射线你能说明为什么射线OC 是是AOB 的平分线的平分线吗？吗？ABOMNC13已知：已知：OM=ON，MC=NC.求证：求证：OC平分平分AOB.证明：连接证明：连接CM，CN 在在OMC和和ONC中，中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC （SSS） MOC=NOC 即：即：OC平分平分AOBABMNCO三三 探究并证明角的平分线的性质探究并证明角的平分线的性质如图如图，任意作一个角，任意作一个角 AOB，作出，作出 A的平分线的平分线OC，在，在OC 上任取一点上任取一点P，过点，过点P 画出画出OA，OB 的垂线，的垂线，分别记垂足为分别记垂足

7、为D，E，测量，测量 PD，PE 并并作比较，你得到什么结论？作比较，你得到什么结论？ABOPCDE动画演示：角平分线的性质.swf经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质在在OC 上再取几个点试一试上再取几个点试一试 通过以上测量，你发现了角通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？的平分线的什么性质？ABOPCDE已知：已知：AOC = = BOC，点，点 P在在OC上，上，PDOA，PEOB， 垂足分别为垂足分别为D，E 求证：求证：PD = =PE 结论：结论： 角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边的距离相等的距离相等。你能通过

8、严格的逻辑推理证明这个结论吗？你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？ABOPCDE题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等由角的平分线的性质的证明过程，你能概由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和和 求证；求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证证 明过程明过程

9、角平分线的性质定理角平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。离相等。定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。应用定理的书写格式：应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD = PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）推理的理由有三推理的理由有三个，必须写完全，个，必须写完全，不能少了任何一不能少了任何一个。个。A AO OB BD DP PE E

10、角的平分线的性质的作用是什么？角的平分线的性质的作用是什么？ 主要是用于判断和证明两条线段相等，与主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等个三角形全等四四. .巩固训练巩固训练 练习练习1下列结论一定成立的是下列结论一定成立的是 （1 1）如图如图，OC 平分平分 AOB，点，点P 在在OC 上，上，D，E 分分 别为别为OA，OB 上的点，则上的点，则PD = =PEABOPCDE （2）如图，点如图，点P 在在OC 上，上，PDOA，PEOB，垂足，垂足 分别为分别为D，E，则，则PD = =PEABOP

11、CDE（3）如图如图，OC 平分平分 AOB，点，点P 在在OC 上，上，PD OA， 垂足为垂足为D若若PD = =3，则点，则点P 到到OB 的距离为的距离为3ABOPCD在在此题此题的已知条件下的已知条件下，你还能得到哪些结论？你还能得到哪些结论？ 练习练习2如图，如图，ABC中，中，B = =C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线， DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F求求证：证：EB = =FCABCDEF= 9 0B A DC A DA DA DD E AA D EA D FA EA FD ED FD E BD F C证 明 ： 由 题 意 可 得 D F A ， B

12、 E = C F且 即 可 证 D E B D F C E B = F C此 外 还 可 得 到 A E = A F ， E D B = F D C ， D E = D F A D E = A D F五五. .例题解析例题解析例例如图如图，ABC 的角平分线的角平分线BM，CN 相交于点相交于点P求证：点求证：点P到三边到三边AB，BC，CA 的距离相等的距离相等ABCPMN（1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？ 在应用这一性质时要注意哪些问题？在应用这一性质时要注意哪些问题？ 课堂小结课堂小结