向量组的秩.ppt

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本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.,3.3向量组的秩,定义8,注:,(1)向量组的极大无关组不是唯一的.(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;,问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意两个极大无关组所含向量个数是否唯一?,定理5,推论1,任意n+1个n维向量组必线性相关,推论2,两个等价的线性无关组所含向量个数相同.,注,向量组的两个极大无关组所含向量的个数相同,定义9,向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.,注,规定,由零向量组成的向量组的秩为0,性质1,性质2,推论,等价向量组必有相同的秩,性质3,例12将=(1,0,-4)T用1=(0,1,1)T,2=(1,0,1)T,3=(1,1,0)T线性表出.,解,证设Cmn=AB，,(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，,又，R(C)=R(CT)=R(BTAT)R(BT)=R(B).,所以R(AB)minR(A),R(B).,例13设A,B分别为mr,rn矩阵，证明R(AB)minR(A),R(B).,故R(AB)R(A).,