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1、第十五单元量子物理QuantumPhysics,第八讲一维无限深势阱Theinfinitepotentialwell隧道效应TunnelEffect,量子力学处理微观体系问题的一般方法和步骤,1、分析、找到粒子在势场中的势能函数Ep，写出薛定谔方程。,2、根据初始条件、边界条件和归一化条件确定常数,求解和E。,3、由2得出粒子在不同时刻、不同区域出现的概率或具有不同动量、不同能量的概率。,4、进一步求出各个对应状态的各种力学量的数值，从中了解体系的性质。,5、联系实际问题，对求得的结果加以讨论和应用。,一、一维无限深势阱,如果直接用此曲线表示的势能带入薛定谔方程中，就形成一个相当困难的数学问题

2、。,简化：用平均势能代替晶格势能（这一步实质是不考虑电子间、电子与晶格离子间的相互作用，这样的电子就相当于理想气体自由电子气）,再一步简化：将平均势能作为零势能将表面势能视为无限大,一、一维无限深势阱,EP与t无关，写出定态薛定谔方程,123,E为有限值，所以：,1）势阱外,1、势阱中粒子的波函数,一、一维无限深势阱,（1）解方程,令:,2）势阱内,1、势阱中粒子的波函数,（2）确定常数A、B,由波函数连续性，(0)=0,(a)=0,ka=n，,n=1，2，3，,n=0?,量子数：n=1，2，3，,一、一维无限深势阱,1、势阱中粒子的波函数,2）势阱内,称之为能量的本征值,（2）确定常数A、B

3、,一、一维无限深势阱,1、势阱中粒子的波函数,归一化条件为：,由归一化条件确定系数A，,2）势阱内,一、一维无限深势阱,1、势阱中粒子的波函数,一维无限深势阱中粒子的波函数：,考虑时间因子：,一、一维无限深势阱,1、势阱中粒子的波函数,一维无限深势阱中粒子的波函数：,概率密度函数：,一、一维无限深势阱,2、势阱中粒子的能量,能量是量子化的,粒子的最低能量状态称为基态，一维无限深方势阱的基态能量为：,零点能,与零点能相对应的，应存在零点运动，这与经典粒子的运动是相矛盾的，是经典物理不能解释的。零点能是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。,一、一维无限深势阱,2、势阱中粒子的能量,

4、粒子处于量子数为n的状态：,能量是量子化的,一、一维无限深势阱,n=1,n=2,n=3,一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和概率密度,一、一维无限深势阱,3、势阱中粒子的波函数的驻波特点,处，波函数的值皆为零。波函数以驻波形式存在势阱中：,一、一维无限深势阱,3、势阱中粒子的波函数的驻波特点,势阱中粒子能量的量子化从其驻波特点中也可自然地得出。,一、一维无限深势阱,4、讨论,3）按照经典物理的观点，粒子在阱内不停地运动,因而在阱内各处找到粒子的概率应该相等；,而量子理论指出,当粒子处于束缚态时,其在各个位置出现的概率不同。,1）在经典力学中首要的是受力分析,力函数不同,牛顿方程的形式就不同。而

5、这里首要的是寻找势能函数,势能函数不同,薛定谔方程的形式就不同,它们的运动状态当然就不同.,2）待定系数是由标准条件（边值条件）和归一化条件所决定，与机械波中是完全由初始条件决定所不同,这就体现了物质波是概率波的特点。,4）从定态薛定谔方程出发,利用波函数应遵守的标准条件,可自然地得出能量的量子化条件,而无须象玻尔那样人为地假定。这是薛定谔方程的成功处之一。,5）基态能不为零，是经典物理不能解释的。,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,一维方势垒,粒子的能量,经典物理：当粒子能量Ea的区域;,量子物理：应求解定态薛定谔方程,才能下结论。,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿

6、）TunnelEffect,一维方势垒,三区域的波函数表示为1、2、3,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,一维方势垒,区Ep(x)=0，xa,区Ep(x)=0，x0,区Ep(x)=Ep0，0xa,令：,三区域的波函数表示为1、2、3,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,一维方势垒,令：,区,区,区,三区域的波函数表示为1、2、3,区Ep(x)=0，xa,区Ep(x)=0，x0,区Ep(x)=Ep0，0xa,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,三区域的波函数分别为：,三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负

7、方向传播的平面波,1右边的第一项表示射向势垒的入射波，第二项表示被“界面（x=0）”反射的反射波。,2右边的第一项表示穿入势垒的透射波，第二项表示被“界面（x=a）”反射的反射波。,3右边的第一项表示穿出势垒的透射波，3的第二项为零，因为在xa区域不可能存在反射波(B3=0)。,B3=0,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,三区域的波函数分别为：,区,区,区,三式的右边第一项表示沿x方向传播的平面波，第二项为沿x负方向传播的平面波,定义反射系数：粒子被势垒反射的概率,定义透射系数：粒子穿过势垒的概率,B3=0,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,

8、三区域的波函数分别为：,区,区,区,B3=0,得到4个方程，再波函数的归一化条件，求出常数A1、B1、A2、B2和A3间关系，从而得到反射系数和透射系数.,波函数在x=0，x=a处连续,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,B3=0,(1)EEp0,R0,即使粒子总能量大于势垒高度，入射粒子并非全部透射进入III区,仍有一定概率被反射回I区。,(2)EEp0,T0,虽然粒子总能量小于势垒高度，入射粒子仍可能穿过势垒进入III区隧道效应。,二、一维方势垒隧道效应（势垒贯穿）TunnelEffect,B3=0,入射粒子一部分透射到达III区，另一部分被势垒反射回I区。,粒子能

9、穿过比其能量更高的势垒，这种现象称为隧道效应(势垒贯穿)这是微观粒子波动性的表现。,隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。,1982年，IBM公司苏黎世实验室的Binning和Rohrer及其同事们共同研制成功。,与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点是：,1、具有原子级高分辨率STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率可达0.1nm和0.01nm，即可分辨出单个原子。,2、可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质。,3、利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵。,重新排列原子（1990年用35个Xe原子在Ni

10、表面拼缀出IBM）纳米技术正式诞生,1993年5月48个铁原子排列成一个“量子围栏”，照片中反映的是电子密度的高低，围栏内是电子密度波的驻波。,与其它表面分析技术相比，STM所具有的独特优点是：,1、具有原子级高分辨率STM在平行和垂直于样品表面方向的分辨率可达0.1nm和0.01nm，即可分辨出单个原子。,2、可以观察单个原子层的局部表面结构，而不是整个表面的平均性质。,3、利用STM针尖，可以对原子和分子进行操纵。,解：,1）,n=2时，波函数为:,概率密度函数：,粒子出现概率最大的位置：,解：,1）,n=2时，波函数为:,概率密度函数：,粒子出现概率最小的位置：,解：,2）,n=1时，波函数为:,概率密度函数：,同学们再见！,