(浙江专版)2018年高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5.pdf

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1、3 3。2 2错误错误! !第一课时一元二次不等式及其解法预习课本预习课本 P76P767878，思考并完成以思考并完成以（1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？(2）如何求解一元二次不等式？（3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？错误错误! !1一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式,即形如axbxc0(0)或axbxc0(0)（其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二

2、次函数及一元二次方程的关系表22判别式b4ac二次函数yax22000(a0) 的解集b24ac ax2bxcx2错误错误! !R错误错误! !错误错误! !1判断下列命题是否正确(正确的打“”,错误的打“”）(1）mx5x0,则一元二次不等式ax10 无解（)（3）若一元二次方程axbxc0 的两根为x1，x2（x1x2），则一元二次不等式ax2222bxc0 的解集为xx1x0 的解集为 R()解析:(1）错误当m0 时，是一元一次不等式;当m0 时，它是一元二次不等式(2)错误因为a0,所以不等式ax10 恒成立，即原不等式的解集为 R。(3）错误当a0 时，axbxc0 的解集为xx1

3、xx2，否则不成立（4）正确因为（2） 125 或x1 Dx|1x52解析：选 B由x2x52x，得x4x50，因为x4x50 的两根为1,5，故x4x50 的解集为x|x1 或x54不等式3x5x40 的解集为_解析：原不等式变形为 3x5x40.2222因为（5) 434230，所以由函数y3x5x4 的图象可知，3x5x40,方程 2x5x30 的两根为x13，x2 ,222222作出函数y2x5x3 的图象,如图所示由图可得原不等式的解集为错误错误! !。2（2)原不等式等价于 3x6x20.120，解方程 3x6x20，得x1错误错误! !，x2错误错误! !，作出函数y3x6x2

4、的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为错误错误! !.（3）0，方程 4x4x10 有两个相等的实根x1x2错误错误! !。作出函数y4x4x1 的图象如图所示由图可得原不等式的解集为错误错误! !.22222（4)原不等式可化为x6x100，40,方程x6x100 无实根，原不等式的解集为.22解一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式变形,使二次项系数大于零；(2）计算对应方程的判别式；（3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集活学活用已知集合Mx|x3x280，Nxxx60，则MN为（)Ax|4x2 或 3x7

5、Bx4x2 或 3x7Cxx2 或x3Dx|x2 或x3解析：选 AMx|x3x280 x4x7，222Nxx2x60 x|x2 或x3,MNx4x2 或 3x7。三个“二次关系的应用典例（1)若不等式axbx20 的解集是错误错误! !，则ab的值为()A14C1022B10 D142（2）已知一元二次不等式xpxq0 的解集为错误错误! !，求不等式qxpx10 的解集解析（1)由已知得，ax2bx20 的解为错误错误! !，错误错误! !，且a0。错误错误! !解得错误错误! !ab14.答案D（2）解：因为xpxq0 的解集为错误错误! !,所以x1错误错误! !与x2错误错误! !是

6、方程xpxq0 的两个实数根，由根与系数的关系得错误错误! !解得错误错误! !所以不等式qxpx10 即为错误错误! !x错误错误! !x10,整理得xx60，解得222222x3.即不等式qxpx10 的解集为x|2x32（1)一元二次不等式axbxc0（a0)的解集的端点值是一元二次方程axbxc0 的根,也是函数yaxbxc与x轴交点的横坐标（2)二次函数yaxbxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式axbxc0 的x的值构成的;图象在x轴下方的部分，是由不等式axbxc0 的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化活学活用1若不等式f(x）axxc0 的解集为(2，1)，则函数yf（

7、x）的图象为()2222222解析：选 B因为不等式的解集为(2，1)，所以a0，排除 C、D，又与坐标轴交点的横坐标为2，1,故选 B.2已知不等式axbxc0 的解集为x|2x0 的解集解：由题意知错误错误! !即错误错误! !代入不等式cxbxa0，得 6ax5axa0(a0）即 6x5x10，解得错误错误! !x0。解：(1)当a0 时, 不等式可化为x20,解得x2,即原不等式的解集为x|x2(2)当a0 时，方程ax(12a)x20 的两根分别为 2 和错误错误! !。当a错误错误! !时，解不等式得错误错误! !x2，即原不等式的解集为错误错误! !；当a错误错误! !时,不等式

8、无解，即原不等式的解集为 ；1当 a0 时,解不等式得 2x错误错误! !，即原不等式的解集为错误错误! !；2当a0 时，解不等式得x错误错误! !或x2，即原不等式的解集为错误错误! !.22层级一学业水平达标1不等式 6xx20 的解集为(）A.错误错误! !B。错误错误! !2C.错误错误! !2D.错误错误! !解析：选 A因为 6xx20(2x1）（3x2）0，所以原不等式的解集为错误错误! !。2设aa，x错误错误! !或xa。3在 R 上定义运算：abab2ab,则满足x(x2)0 的实数x的取值范围为（）A(0，2)B(2，1）C(，2)(1，） D(1，2）解析：选 B由a

9、bab2ab，得x（x2）x（x2）2xx2xx20 的解集为()Ax|x1 或xlg 2Bx|1xlg 2Cxxlg 2Dxxlg 2解析：选 Df（x)0 的解集为错误错误! !，所以f（x)0 的解集为错误错误! !，010 错误错误! !xlg错误错误! !，即xlg 2.5函数y错误错误! !的定义域为()A7,1 B（7，1）xx2C(，71,） D(，7）（1，）解析：选 B由 76xx0,得x6x70，即(x7)(x1)0，所以7x1,故选 B。6不等式x3x40 的解集为_(用区间表示)222解析:先把原不等式可化为x3x40,再把左式分解因式得(x1)(x4)0，所以不等式

10、的解集为（4，1）答案：(4，1）7若二次函数yaxbxc（a0）的图象与x轴的两个交点为（1,0)和(3，0),则不等式axbxc0 的解集是_解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(，1)（3，）答案：(，1)(3，）8已知函数f(x）错误错误! !若f（a）3，则a的取值范围是_解析：当a0 时,a2a3，0a1；当a0 变形得(x6a)（x3a)0，方程（x6a)（x3a）0 的两根为 6a，3a。所以当a0 时，6a3a,原不等式的解集为x|x3a或x6a；当a0 时，6a3a0,原不等式的解集为x|x0；当a3a10若函数f(x）错误错误! !的定义域是 R，求实数a的取值范

11、围解：因为f(x）的定义域为 R，所以不等式ax2ax20 恒成立(1)当a0 时，不等式为 20，显然恒成立；（2)当a0 时,有错误错误! !即错误错误! !所以 04 或a4.2关于x的不等式axb0 的解集是(1，)，则关于x的不等式（axb)（x3)0 的解集是(）A(,1）(3，） B(1,3）C(1,3） D（，1)（3,）解析：选 A由题意，知a0，且 1 是axb0 的根，所以ab0，所以(axb）(x3）a（x1)(x3）0，所以x1 或x3,因此原不等式的解集为(，1)(3,）3已知f（x）（xa）（xb)2（ab），且，(）是方程f(x）0 的两根，则，a，b的大小关系

12、是（)AabCab Bab Dab为f（x)（xb)0 的根，横坐标可知f解析：选 A，为f（x)0 的两根,，a）(xb)2 与x轴交点的横坐标a,b为(xa）（x令g(x）（xa）（xb)，a,b为g（x)与x轴交点的（x）图象可由g（x)图象向上平移 2 个单位得到，由图知选 A。4若 0a1，则不等式x3（aa）x9a0 的解集为(）Ax3ax3aCx|x3a或x3a22223Bx3ax3a Dxx3a或x3a222322解析:选 A因为 0a1，所以 03ax的解集为_解析：由f(x）x，得错误错误! !或错误错误! !解得x5 或5x0，所以原不等式的解集为(5，0)（5，)答案：

13、(5,0)（5，)6对于实数x，当且仅当nxn1(nN ）时，xn，则关于x的不等式 4x36x450 的解集为_解析:由 4x 36x450，得错误错误! !0 的解集为错误错误! !，求m的值解：(1)当m1 时，不等式f(x）0 为 2xx0，因此所求解集为(，0)错误错误! !.（2）不等式f(x)10，即(m1)xmxm0，由题意知错误错误! !，3 是方程(m1）xmxm0 的两根，因此错误错误! !m错误错误! !.22228已知M是关于x的不等式 2x（3a7）x3a2a0，所以a1 或a错误错误! !.若a1，则2a3错误错误! !错误错误! !(a1)5，所以 32a错误错

14、误! !，此时不等式的解集是错误错误! !；若a错误错误! !,由2a3错误错误! !错误错误! !（a1）错误错误! !，所以 32a错误错误! !,此时不等式的解集是错误错误! !.综上，当a1 时,原不等式的解集为错误错误! !；当a错误错误! !时，原不等式的解集为错误错误! !。22第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式典例解下列不等式:（1）错误错误! !0；(2)错误错误! !1。解(1)原不等式等价于错误错误! !即错误错误! !2x3.原不等式的解集为x|2x3(2）原不等式可化为错误错误! !10，即错误错误! !0.等价于(3x2）（4x3）0.错误错

15、误! !x0f(x)g(x)0；错误错误! !0f(x)g（x）0错误错误! !或错误错误! !f（x）g（x）0(axb)（x2)0错误错误! !(x2)0,x2即(x1)(x2)0 x2 或x1.不等式中的恒成立问题典例已知f（x）x2（a2)x4，如果对一切xR，f（x)0 恒成立,求实数a的取值范围解由题意可知，只有当二次函数f（x）x2（a2)x4 的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x2(a2)x40 此时应满足0,即 4（a2） 160，解得 0a4.故a的取值范围是(0,4）对于xa，b,f(x）0（或0）恒成立，应利用函数图象1已知f（x）x2（a2）

16、x4,是否存在实数a，使得对任意x3，1，22222f(x）0 恒成立若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由解：若对任意，x3,1，f(x)0 恒成立，则满足题意的函数f(x）x22(a2)x4 的图象如图所示由图象可知，此时a应该满足错误错误! !即错误错误! !解得错误错误! !这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足:对任意x3，1，f(x）0 恒成立对此类问题,要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量2已知函数yx2(a2)x4，对任意a3，1，y0 恒成立,试求x的取值范围2解：原函数可化为g（a)2xax4x4，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0 恒成立，只需满足错误错误

17、! !即错误错误! !因为x2x40 的解集是空集，所以不存在实数x，使函数yx2(a2)x4,对任意a3，1，y0 恒成立222(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围 ,谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法af（x）恒成立af(x)max(f（x）存在最大值);af(x）恒成立af(x)min(f（x）存在最小值)（2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方一元二次不等式的实际应用典例某摩托车

18、生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1 万元/辆，出厂价为1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x（0 x1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x。已知年利润(出厂价投入成本）年销售量(1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1）由题意，得y1。2（10.75x)1(1x）1 000（10。6x)(0 x1),整理得y60 x20 x200(0 x1)（2)要保

19、证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当错误错误! !即错误错误! !2解不等式组，得 0 x错误错误! !，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为错误错误! !。用一元二次不等式解决实际问题的步骤（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；（3）解这个一元二次不等式,得到实际问题的解活学活用某校园内有一块长为 800 m，宽为 600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化,规划四周种花卉（花卉带的宽度相同 ),中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围解：设花卉带的宽度为

20、x m(0 x600），则中间草坪的长为（8002x）m,宽为（6002x） m. 根 据 题 意 可得 (800 2x） (600 2x)错误错误! !800600 ， 整 理 得x 700 x6001000，即(x600）（x100）0，所以 0 x100 或x600，x600 不符合题意，舍去故所求花卉带宽度的范围为（0，100m。2层级一学业水平达标1不等式错误错误! !2 的解集为（）A1，）B1，0)C（，1 D（，1(0，）解析:选 B不等式错误错误! !2，即错误错误! !20，即错误错误! !0,所以错误错误! !0，等价于x(x1）0 且x0，所以1x0.2不等式错误错误!

21、 !0 的解集是(）A.错误错误! !C.错误错误! !B。错误错误! !D。错误错误! !解析：选 A错误错误! !0（4x2)（3x1)0 x错误错误! !或x错误错误! !,此不等式的解集为错误错误! !。3若不等式xmx错误错误! !0 恒成立，则实数m的取值范围是(）A（2，） B（，2）2C（，0)（2，） D(0,2）解析：选 D不等式xmx错误错误! !0,对xR 恒成立，0 即m2m0,0m2。4某商品在最近 30 天内的价格f（t）与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)t10(0t20，tN）；销售量g（t)与时间t的函数关系是g（t)t35(0t30,tN）,则使这种商

22、品日销售金额不小于 500 元的t的范围为（)A15,20C（10，15） B10,15 D（0,1022解析：选 B由日销售金额为(t10)（t35）500，解得 10t15.5若关于x的不等式x4xm0 对任意x（0,1恒成立，则m的最大值为（)A1C3 B1 D3222解析:选 C由已知可得mx4x对一切x（0，1恒成立，又f(x)x4x在（0,1上为减函数，f（x)minf（1)3，m3。6不等式5x1 的解集为_x4解析：因为错误错误! !1 等价于错误错误! !0，所以错误错误! !0，等价于错误错误! !解得4x错误错误! !。答案：错误错误! !7若不等式x4x3m0 的解集为

23、空集,则实数m的取值范围是_解析:由题意,知x4x3m0 对一切实数x恒成立，所以(4) 43m0，解得222m错误错误! !.答案:错误错误! !8在 R 上定义运算 :xyx（1y)若不等式（xa) （xa）1 对任意的实数x都成立,则a的取值范围是_解析：根据定义得(xa) (xa)（xa)1(xa）xxaa,又(xa)22（xa)1 对任意的实数x都成立，所以xxa1a0 对任意的实数x221都成立，所以0，即 14(a1a）0，解得 a错误错误! !。22答案：错误错误! !9已知f（x）3xa（5a）xb。（1）当不等式f（x)0 的解集为（1,3）时，求实数a，b的值;（2)若对

24、任意实数a，f（2)0 的解集为（1，3），错误错误! !错误错误! !或错误错误! !（2)由f（2）0，得122a(5a)b0，即 2a10a（12b）0.又对任意实数a，f（2）0 恒成立，（10) 42（12b）0,b错误错误! !,实数b的取值范围为错误错误! !.10某工厂生产商品M，若每件定价 80 元，则每年可销售 80 万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税为了既增加国家收入，又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少 10P万件,据此，问:（1）若税务部门对商品M每年所收税金不少于 96 万

25、元，求P的范围；(2）在所收税金不少于 96 万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额 ,应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值解：税率为P时，销售量为(8010P）万件,即f(P）80(8010P)，税金为 80(8010P)P，其中 0P8。（1)由错误错误! !解得 2P6。故P的范围为2，6（2)f（P）80(8010P）(2P6）为减函数，当P2 时,厂家获得最大的销售金额，22222f(2)4 800(万元)(3）0P8，g(P）80(8010P)P8（P4）2128,当P4 时,国家所得税金最高，为 128 万元层级二应试能力达标1不等式错误错误! !2

26、 的解是（）A。错误错误! !C。错误错误! !(1，3B。错误错误! !D.错误错误! !（1，3解析：选 D错误错误! !2错误错误! !错误错误! !x错误错误! !(1，32已知集合M错误错误! !,Nxx3,则集合x|x1等于(）AMNCR(MN）解析：选 DBMN DR（MN）x30（x3）(x1)0，故集合M可化为x30 恒成立且a1，1错误错误! !错误错误! !x1 或x3。4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小接矩形花园(阴影部分）,则其边长x（单位：m)的取值范围是A15，30C10，30 B12，25 D20，30于 300 m 的内（）2解析：选 C设矩形

27、的另一边长为y m，则由三角形相似知，错误错误! !错误错误! !,y40 x,xy300，x(40 x)300，x240 x3000，10 x30.5若函数f（x）log2(x2axa）的定义域为 R，则a的取值范围为_2解析：已知函数定义域为 R，即x2axa0 对任意xR 恒成立（2a) 4a0。解得1a0。答案：(1，0)6现有含盐 7%的食盐水 200 克，生产上需要含盐 5以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐 4的食盐水为x克,则x的取值范围是_解析：5错误错误! !6%,解得x的范围是(100,400）答案：(100，400)7已知不等式mx2xm20。（1)若对于所有的实数x

28、不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m2 的一切m的值都成立，求x的取值范围解：(1)对所有实数x，都有不等式mx2xm20 恒成立，即函数f（x)mx2x22222m2 的图象全部在x轴下方当m0 时，2x20，显然对任意x不能恒成立；当m0 时,由二次函数的图象可知有错误错误! !解得m1错误错误! !，综上可知，m的取值范围是(，1错误错误! !）(2）设g（m)(x1）m2x2，它是一个以m为自变量的一次函数，由x10,知g（m)在2，2上为增函数，则只需g（2）0 即可，即 2x22x20，解得 0 x4 时，22f（x)minf（2)2a7，尊敬的读者：本文由我和

29、我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues and I in ourbusy schedule. We proofread the content carefully before the release ofthis article, but it is inevitable that there will be someunsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. Ihope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Partof the text by the users care and support, thank you here! I hope tomake progress and grow with you in the future.