33几何概型(1).ppt

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1、古典概型的两个基本特点：古典概型的两个基本特点：（1） 试验中所有可能出现的试验中所有可能出现的基本事件基本事件只有只有有限个有限个；（2） 每个每个基本事件基本事件出现的出现的可能性相等可能性相等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称简称古典概型古典概型。一、复习引入一、复习引入 那么对于有着那么对于有着无限多个试验结果无限多个试验结果的情况，相应的的情况，相应的概率应如何求呢？概率应如何求呢？ 为此，我们学习几何概型。为此，我们学习几何概型。如图，有如图，有2个圆盘，甲乙两人玩掷石子（足够小）游戏，个圆盘，甲乙两人玩掷石子（足

2、够小）游戏，规定当石子落在红色区域时，甲获胜，否则乙获胜。规定当石子落在红色区域时，甲获胜，否则乙获胜。 只要红色区域的面积只要红色区域的面积所占比例不变所占比例不变，不管这些区域，不管这些区域是相邻还是不相邻，也不管这些区域的面积是大还是小，是相邻还是不相邻，也不管这些区域的面积是大还是小，甲获胜的甲获胜的概率是不变的概率是不变的!分别求这分别求这2种情况下甲获胜的概率种情况下甲获胜的概率.问题问题11238121、几何概型、几何概型 如果事件如果事件A发生的概率只与构成发生的概率只与构成A的的区域的长度（面区域的长度（面积或体积等）积或体积等）成比例，则称这样的概率模型为成比例，则称这样的

3、概率模型为几何概率模几何概率模型型，简称几何概型。，简称几何概型。 如图所示，在如图所示，在500ml的水中有一个草履虫，现从中的水中有一个草履虫，现从中随机的随机的取出取出100ml的水样放到显微镜下观察，那么，能的水样放到显微镜下观察，那么，能够发现草履虫的概率是多大？够发现草履虫的概率是多大？问题问题2ABD500ml100ml无限个无限个等可能性等可能性 取一根长度为取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大？米的概率有多大？分析：分析：记记“剪得两段的长都不小于剪得两段的长都不小于1m

4、”为事件为事件A。把绳子三等分。把绳子三等分。于是，当剪断位置处在中间一段上时，事件于是，当剪断位置处在中间一段上时，事件A发生。发生。由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1/3，于是事件，于是事件A发发生的概率为：生的概率为：P(A)=1/3。问题问题3BMNNN长度长度概率概率 = 满足条件的测度满足条件的测度(长度、面积等长度、面积等) 总测度总测度测度测度面积面积ABD体积体积BM2、几何概型的特点：、几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本事件)有有无限多个无限多个；(2)每个基本事件出现的每个基本事件出现的可能性相等可

5、能性相等。二、基础知识讲解二、基础知识讲解在几何概型中，事件在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：的概率的计算公式如下：()()AP A 构构成成事事件件 的的区区域域长长度度面面积积或或体体积积试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的区区域域长长度度（面面积积或或体体积积）例例1、 某人午觉醒来，发现表停了，他某人午觉醒来，发现表停了，他打打开收音机开收音机，想听电台报时（，想听电台报时（整点报时整点报时），），求他求他等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟的概率。的概率。解：解：设设A=等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟， 则事件则事件A恰好是打开收音机的时刻位于恰

6、好是打开收音机的时刻位于50，60时时间段内，因此由几何概型的求概率公式得：间段内，因此由几何概型的求概率公式得：答：答：“等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟”的概率是的概率是1/6三、例题分析三、例题分析思考思考:若整点或半点就会报时若整点或半点就会报时,则这个问题的答案是什么则这个问题的答案是什么?答答:1/3A( )P A 构构成成 的的时时间间长长度度时时间间总总长长度度10=601=6(2)A构构成成事事件件和和试试验验的的全全部部结结果果所所构构成成的的求求的的区区域域长长度度区区域域总总长长度度(1)阅阅读读题题目目，搜搜索索信信息息，是是否否是是判判断断几几何何概概型

7、型(3)直直接接计计算算，用用公公式式并并下下结结论论例例2、郭靖、潇湘子与金轮法王等武林郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛。比赛规则如下：在高手进行一种比赛。比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷，可以看到里面很远的地方有一顶帐篷，可以看到里面有一张有一张边长为边长为1的小方几，要将一枚铜的小方几，要将一枚铜钱子儿钱子儿(铜板半径是方几边长的铜板半径是方几边长的3/8)扔到扔到这张小方几上。这张小方几上。 郭靖一扔，铜板落到小方几上，且郭靖一扔，铜板落到小方几上，且没有掉下没有掉下。问他。问他能进入下一轮比赛的概率有多大？能进入下一轮比赛的概率有多大？ 谁能将铜板谁能将铜板整个地落到

8、方几上整个地落到方几上，就可以进行下一，就可以进行下一轮比赛。轮比赛。铜钱铜钱38铜钱铜钱38解：解：铜板落到小方几上铜板落到小方几上，也就是铜板的，也就是铜板的中心落到方几上。所以试验的全部结果中心落到方几上。所以试验的全部结果所构成的区域面积为：所构成的区域面积为：1 11S 而要求而要求整个铜板落到小方几上整个铜板落到小方几上，也就是要求铜板的中心落到方几中的一个也就是要求铜板的中心落到方几中的一个小正方形内（如图），此小正方形的面积为：小正方形内（如图），此小正方形的面积为：1114416AS 故郭靖进入下一轮比赛的概率为：故郭靖进入下一轮比赛的概率为：1116116AP 【题结题结】

9、这是一道这是一道与面积有关的单变量与面积有关的单变量的几何概型问题。的几何概型问题。样本空间是问题所涉及的整个几何图形。在本题中，样样本空间是问题所涉及的整个几何图形。在本题中，样本空间就是小方几的桌面面积。本空间就是小方几的桌面面积。14例例3、如图所示，在圆心角为如图所示，在圆心角为90的的扇形中扇形中，以圆心，以圆心O为起点，为起点，作射线作射线OC，则，则AOC和和BOC都不小于都不小于30的概率为的概率为 。OABCP30Q30C【题结题结】这是一道这是一道角度型角度型的几何概型问题。样本空间就的几何概型问题。样本空间就是扇形圆心角。是扇形圆心角。分析：分析：记记A=AOC和和BOC

10、都不小于都不小于30。 把把AOB三等分。三等分。 于是，当于是，当OC处在处在POQ的内部时，事件的内部时，事件A发生。发生。 由于由于POQ等于等于AOB的的1/3，于是事件，于是事件A发生的发生的概率为：概率为：P(A)=1/3。故答案为：故答案为： 1/31/3例例3、如图所示，在圆心角为如图所示，在圆心角为90的的扇形中，以圆心扇形中，以圆心O为起点，作射线为起点，作射线OC，则，则AOC和和BOC都不小于都不小于30的概率为的概率为 。OABCP30Q30C题后思考：题后思考：能不能转化为能不能转化为“弧长弧长”来考虑？来考虑？【题结题结】相同图形的长度、面积、角度、弧长等相同图形

11、的长度、面积、角度、弧长等在某些在某些条件下是可以互相转换条件下是可以互相转换的，但是要注意，这种转换必须的，但是要注意，这种转换必须满足几何概型的特点满足几何概型的特点等可能性等可能性。1/345例例3、如图所示，在圆心角为如图所示，在圆心角为90的的扇形中，以圆心扇形中，以圆心O为起点，作射线为起点，作射线OC，则，则AOC和和BOC都不小于都不小于30的概率为的概率为 。OABC变式变式1、如图所示，在等腰直角如图所示，在等腰直角OAB中，在斜边中，在斜边AB上任取一点上任取一点C，连结，连结OC，则线段，则线段ACAO的的概率为概率为 。P30Q30C1/3COAB22长度型长度型67

12、.567.545变式变式2、如图所示，在等腰直角如图所示，在等腰直角OAB中，过直角顶点中，过直角顶点O在在AOB内部内部任作一条射线任作一条射线OC，与线段与线段AB交于点交于点C，则线段，则线段ACAO的概率为的概率为 。COAB3/4变式变式1、如图所示，在等腰直角如图所示，在等腰直角OAB中，在斜边中，在斜边AB上任取一点上任取一点C，连结，连结OC，则线段，则线段ACAO的的概率为概率为 。COAB22长度型长度型角度型角度型1、两根相距、两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率为

13、米的概率为 .2、在一万平方千米的海域中有、在一万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是的概率是 .131250四、针对性练习四、针对性练习 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）长度（面积或体积）成比例成比例，则称这样的概率模型为，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。几何概率模型，简称几何概型。2、几何概型的特点：、几何概型的特点：(1)试验中所有可能出现的结果试验中所有可能出现的结果(基本事件基本

14、事件)有无限多个；有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。每个基本事件出现的可能性相等。1、几何概型的概念、几何概型的概念五、课时小结五、课时小结3、在几何概型中，任何事件、在几何概型中，任何事件A的概率的计算公式如下：的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件构成事件A A的区域长度（面积或体积）的区域长度（面积或体积）所有试验结果构成的区域长度所有试验结果构成的区域长度( (面积或体积面积或体积) )变式、变式、如图所示，在等腰直角如图所示，在等腰直角OAB中，过直角顶点中，过直角顶点O在在AOB内部内部任作一条射线任作一条射线OC，与线段，与线段AB交于点交于点C，则线段则线段ACAO的概率为的概率为 。C1C2COABPQ在某些条件下可以互相转换在某些条件下可以互相转换等可能性等可能性112AOPQOPACC C 问问题题1 1：若若，则则吗吗？1112AOCCC QQO连连结结，则则与与问问题题 ：有有何何关关系系？11ACQC所所以以，=121C CAC综综上上可可得得，