数学广角—数与形.ppt

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1、 数与形数与形 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 2)1( nnan 这样的二项式系这样的二项式系数表，早

2、在我国南数表，早在我国南宋数学家杨辉宋数学家杨辉1261 年所著的年所著的详解九详解九章算法章算法一书里就一书里就已经出现了，在这已经出现了，在这本书里，记载着类本书里，记载着类似下面的表：似下面的表：杨辉杨辉中国南宋末年数学家、数中国南宋末年数学家、数学教育家。大约在学教育家。大约在1313世纪世纪 中叶至后半叶活动于苏、中叶至后半叶活动于苏、杭一带。字谦光，钱塘杭一带。字谦光，钱塘（今杭州）人。其生卒年（今杭州）人。其生卒年及生平无从详考。杨辉的及生平无从详考。杨辉的数学著作甚多有数学著作甚多有日用算日用算法法、 杨辉算法杨辉算法等。等。“杨辉三角杨辉三角”出现在杨辉编著出现在杨辉编著的的

3、详解九章算法详解九章算法一书中，且一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于发现这个表不晚于11世纪在欧世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的物理学家帕斯卡首先发现的, ,他们他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧洲早三角的发现要比欧洲早500年左右年左右. .“杨辉三角杨辉三角”出现在杨辉编著的出现在杨辉编著的详解九章详解九章算法算法一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元元11世纪）

4、已经用过它，这表明我国发现这个世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于表不晚于11世纪在欧洲，这个表被认为是法世纪在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的国数学家物理学家帕斯卡首先发现的, ,他们把他们把这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比这个表叫做帕斯卡三角杨辉三角的发现要比欧洲早欧洲早500年左右年左右. . 1. 1.三角形的两条斜边上都三角形的两条斜边上都是数字是数字1 1，而其余的数都等，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加于它肩上的两个数字相加 2.杨辉三角具有对称性（对杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端称美），与首末两端“等距等距离离 ”的两个数相等的

5、两个数相等 3.每一行的第二个数就是这每一行的第二个数就是这行的行数行的行数4.所有行的第二个数构成等所有行的第二个数构成等差数列差数列 5.第第n行包含行包含n+1个数个数 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 中国古代数学史曾经有自己光中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。而这样一个就是十分精彩的一页

6、。而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是叫找规律。用到，最简单的就是叫找规律。今天我们就来一起走进奇妙无穷的今天我们就来一起走进奇妙无穷的数学广角数学广角-数与形数与形观察一下，上面的图和下边的算式有观察一下，上面的图和下边的算式有什么关系？把算式补充完整。什么关系？把算式补充完整。1 = ( )21+3 = ( )21+3+5 = ( )2123左边的加数是大正左边的加数是大正方形右上角的小正方形右上角的小正方形和其他方形和其他“L”形形图形所包含的小正图形所包含的小正方形个数之和。方形个数之和。右边正好是右边正好是每行或每列每行或每列小正方

7、形个小正方形个数的平方。数的平方。11+3+5+7=（ 4 ）21+3+5+7+9+11+13=（ 7 ）2 =92 1+3+5+7+9+11+13+15+17 你能利用规律直接写一写吗？如有困难，可以画图 1+2+3+4+5=？ 12+22+32+42+52=？ 52-42+32-22+12=？ 13+23+33+43+53 =？下面的问题你能解答吗？（提示：画图找规律）（1）尝试计算。）尝试计算。（2）提问：你能发现什么规律？）提问：你能发现什么规律？一个一个加下去一个一个加下去看看，答案好像看看，答案好像有些规律。加下有些规律。加下去，等号右边的去，等号右边的分数越来越接近分数越来越接近1。从第二个数开从第二个数开始，每个数是始，每个数是前一个数的前一个数的 。12可以画个图来帮助思考用一个圆或者一条线段表示“1”121418116从图上可以看出这些分数不断加下去，总和就是1.有些计算问题或者杂题通过画图，解决起来更直观。图形与数学之间能相互转化，能使计算更直观，更简单。由由 上题还可转换为上题还可转换为3411=4211=8211=1 621 = 2r