高考数学专题精讲 (16).doc

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1、第 3 讲 圆锥曲线的综合问题考情研析 1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题 2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.核心知识回顾1.最值问题求解最值问题的基本思路是选择变量，建立求解目标的函数解析式，然后利用函数知识、基本不等式等知识求解其最值2范围问题求参数范围的问题，牢记“先找不等式，有时需要找出两个量之间的关系，然后消去另一个量，保留要求的量” 不等式的来源可以是 0 或圆锥曲线的有界性或题目条件中的某个量的范围等3定点问题在解析几何

2、中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题4定值问题在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题5存在性问题的解题步骤(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在热点考向探究考向 1 最值与范围问题角度 1 最值问题例 1 已知抛物线 C 的方程为 y22px(p0)，点 R(1，2)在抛物线 C 上(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于

3、R 的两点 A，B，若直线 AR，BR分别交直线 l：y2x2 于 M，N 两点，求|MN|最小时直线 AB 的方程解 (1)点 R(1,2)在抛物线 C：y22px(p0)上，42p，解得 p2，抛物线 C 的方程为 y24x.(2)设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 AB 的方程为 xm(y1)1，m0，由Error!消去 x 并整理得 y24my4(m1)0，y1y24m，y1y24(m1)，设直线 AR 的方程为 yk1(x1)2，由Error!解得点 M 的横坐标 xM，k1k12又 k1，xM，同理点 N 的横坐标y12x11y12y2 1414y12k1k122y1x

4、N，2y2|y2y1|4，y2y124y1y2m2m1|MN|xMxN|55|2y12y2|28 5|y2y1y1y2|5m2m14|m1|2 ，5m2m1|m1|令 m1t，t0，则 mt1，|MN|2 ，当 t2，5(1t12)23415即 m1 时，|MN|取得最小值，此时直线 AB 的方程为 xy20.15解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法几何法是根据已知的几何量之间的相互关系，结合平面几何和解析几何知识加以解决的(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(利用普通方法、基本不等式法或导数

5、法等)解决的(2019湘赣十四校高三联考)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，x2a2y2b222左焦点为 F1，点 A 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的一个动点，当直线 AF1的斜率为1 时，|AF1|.2(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 AF1与椭圆 C 的另外一个交点为 B，点 A 关于 x 轴的对称点为A，求F1AB 面积的最大值解 (1)解法一：e ，a22c2，又 a2b2c2，bc.当直线ca22AF1的斜率为 1 时，直线 AF1通过椭圆上的顶点，|AF1|a.b2c22又 a22c2，bc，b1，椭圆 C 的方程为y21.x22解法二：设椭圆的右焦点为 F2，在AF1

6、F2中，|AF1|，|AF2|2a，|F1F2|2c，22(2a)22(2c)222ccos45，22即 a2ac2c. 2又e ，ac. ca222联立，得 a，c1，又 a2b2c2，b1.2椭圆 C 的方程为y21.x22解法三：e ，a22c2，又 a2b2c2，ca22abc.椭圆 C 的方程可化为1，22x22c2y2c2即 x22y22c2.又直线 AF1的方程为 yxc.联立，得 x22(xc)22c2，即 3x24cx0，x0 或 x c.直线 AF1的斜率为 1 且 A 在 x 轴上方，43xA0，A 的坐标为(0，b)|AF1|a，a，又c2b22abc，bc1.22椭圆

7、 C 的方程为y21.x22(2)如图，A 在 x 轴上方，直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为xmy1.F1，A，B 三点能构成三角形，直线 AB 不垂直于 x 轴，m0，设 A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则 A的坐标为(x1，y1)联立Error!得(my1)22y22，即(2m2)y22my10，y1y2，y1y2.2m2m212m2解法一：SF1ABSBAASF1AA |AA|x2xF1|y1|x21|y1|my2|12|my1y2|m|2m212|m|m|122|m|m|，当且仅当|m|即|m|时取等号242|m|2F1AB 面积的最大值为.2

8、4解法二：直线 AB 的方程为 yy1(xx1)，y2y1x2x1令 y0，则 xx1y1x2x1y1y2y1x2x1y2y1y21y1my21my11y2y1y22my1y2y1y212，2m(12m2)2m2m2直线 AB 过定点(2,0)，设定点为 T，则 SF1AB|SF1TBSF1TA| |y2y1|12|F1T|y2|12|F1T|y1|12|m|2m212|m|m|122|m|m|24，当且仅当|m|即|m|时取等号2|m|2F1AB 面积的最大值为.24角度 2 范围问题例 2 (2019广东高三联考)已知椭圆 C1，抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均

9、为原点 O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2)，(2,0)，(4，4)，.3(2，22)(1)求 C1，C2的标准方程；(2)过点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C1交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点)，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解 (1)由题意，抛物线的顶点为原点，所以点(2,0)一定在椭圆上，且 a2，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于 2，所以也在椭圆上， 1，b21，故椭圆 C1的标(2，22)24(22)2b2准方程为y21，x24所以点(3，2)，(4，4)在抛物线上，且抛物线开口向右，其抛物线3C2的方程为 y22px,12

10、6p，p2，所以抛物线 C2的方程为 y24x.(2)当直线 l 斜率不存在时，易知 A，O，B 三点共线，不符合题意当 l 斜率存在时，设 l：ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Error!得 x24(kx2)240，即(4k21)x216kx120，令 (16k)248(4k21)0，即 256k2192k2480，得 64k248，即 k，3232x1x2，x1x2，16k4k21124k21y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)412k24k2132k24k21，16k244k214k244k21AOB 为锐角，x1x2y1y20，OAOB164k2

11、4k21即 4k2b0)的长轴长为 2，P 为椭圆 C 上异于顶点的一个x2a2y2b22动点，O 为坐标原点，A2为椭圆 C 的右顶点，点 M 为线段 PA2的中点，且直线PA2与直线 OM 的斜率之积恒为 .12(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 N，点 N 的横坐标的取值范围是，(14，0)求线段 AB 长的取值范围解 (1)由已知 2a2，a，22设点 P(x0，y0)，M，(x0 22，y02)直线 PA2与 OM 的斜率之积恒为 ，12 .y 1，b1.y02x

12、0 22y0x0 212x2 022 0故椭圆 C 的方程为y21.x22(2)设直线 l：yk(x1)，联立直线与椭圆方程Error!得(2k21)x24k2x2k220，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得Error!可得 y1y2k(x1x22)，2k2k21故 AB 中点 Q，(2k22k21，k2k21)QN 直线方程：yk2k211k(x2k22k21) x，1k2k2k21N，由已知条件得，(k22k21，0) |EF|，故 Q 点的轨迹 T 为以 E，F 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，则 a2，c1，所以 b，所以点 Q 的轨迹 T 的方程为31.x24

13、y23(2)证明：分别设直线 AB 和 CD 的中点为 M，N，当直线 AB 斜率不存在或为 0 时，分析可知直线 MN 与 x 轴重合，当直线 AB 的斜率为 1 时，此时 M，N，直线 MN 的方程为 x ，联立解得直线 MN 经过定点.(47，37)(47，37)47(47，0)下面证明一般性：当直线 AB 的斜率存在且不为 0,1 时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，则直线 CD 的方程为 y (x1)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，1k联立Error!消去 y 得(4k23)x28k2x4k2120，则 x1x2，所以 y1y2，8k24k236k4k23即 M，同理

14、，N，(4k24k23，3k4k23)(43k24，3k3k24)于是直线 MN 的斜率为kMN，3k3k243k4k2343k244k24k237k41k2故直线 MN 的方程为y，3k3k247k41k2(x43k24)显然 x 时，y0，故直线经过定点.47(47，0)过定点问题的两大类型及解法(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 ykxt，由题设条件将 t 用 k 表示为 tmk，得 yk(xm)，故动直线过定点(m,0)(2)动曲线 C 过定点问题，解法：引入参变量建立曲线 C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点(2019白银市靖远县高

15、三联考)设椭圆 C：1(ab0)的左、右焦点x2a2y2b2分别为 F1，F2，下顶点为 A，O 为坐标原点，点 O 到直线 AF2的距离为，22AF1F2为等腰直角三角形(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若直线 AM 与直线 AN 的斜率之和为2，证明：直线 l 恒过定点，并求出该定点的坐标解 (1)由题意可知，直线 AF2的方程为 1，即bxcybc0，xcyb则.bcb2c2bca22因为AF1F2为等腰直角三角形，所以 bc，又 a2b2c2，解得 a，b1，c1，2所以椭圆 C 的标准方程为y21.x22(2)证明：由(1)知 A(0，1)

16、，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxt(t1)，代入y21，得(12k2)x24ktx2t220，x22所以 16k2t24(12k2)(2t22)0，即 t22k2b0)的离心率为，点 A(2，)在椭圆上，O 为坐标原点x2a2y2b2222(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求出该定值解 (1)由题有Error!a28，b24，椭圆 C 的方程为1.x28y24(2)当直线 PN 的斜率 k 不存在时，直线 PN 的方程为 x或 x，22从而有|PN|2，

17、3所以四边形 OPMN 的面积S |PN|OM| 222.1212326当直线 PN 的斜率 k 存在时，设直线 PN 的方程为 ykxm(m0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线 PN 的方程代入椭圆 C 的方程，整理得(12k2)x24kmx2m280，所以 x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2m，4km12k22m2812k22m12k2由，得 M.OMOPON(4km12k2，2m12k2)将 M 点的坐标代入椭圆 C 的方程得 m212k2.又点 O 到直线 PN 的距离为 d，|m|1k2|PN|x1x2|，x1x22y1y221k2四边形 OPMN 的面积 Sd

18、|PN|m|x1x2|12k2 2.x1x224x1x248k2242k216综上，平行四边形 OPMN 的面积 S 为定值 2.6定值问题的两种解法(1)首先由特例得出一个值(此值一般就是定值)然后证明定值：即将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项相抵消或分子、分母约分得定值已知抛物线 E：y22px(p0)，直线 xmy3 与 E 交于 A，B 两点，且OA6，其中 O 为坐标原点OB(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知点 C 的坐标为(3,0)，记直线 CA，CB 的斜率分别为 k1，k2，证

19、明：2m2为定值1k2 11k2 2解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，Error!整理得 y22pmy6p0，由根与系数的关系可知，y1y22pm，y1y26p，则 x1x2，y1y224p2由x1x2y1y2y1y296p6，OAOBy1y224p2解得 p ，所以 y2x.12(2)证明：由题意得 k1，k2，y1x13y1my16y2x23y2my26所以m，m，1k16y11k26y2所以2m2222m22m212m361k2 11k2 2(m6y1)(m6y2)(1y11y2)2m22m212m362m2，(1y2 11y2 2)y1y2y1y2y1y222y1y2y

20、2 1y2 2由(1)可知，y1y22pmm，y1y26p3，所以2m22m212m362m224，所以1k2 11k2 2(m3)m2692m2为定值1k2 11k2 2考向 3 探索性问题例 5 如图，椭圆 C：1(ab0)经过点 P，离心率 e ，直x2a2y2b2(1，32)12线 l 的方程为 x4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)线段 AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P)，设直线 AB 与直线 l 相交于点 M，记直线 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得 k1k2k3？若存在，求 的值；若不存在，说明理由解 (1)由 P在椭圆上，(

21、1，32)得1， 1a294b2因为 e ，所以 a2c，则Error! 12代入解得 c21，a24，b23.故椭圆 C 的方程为1.x24y23(2)由题意可设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)， 代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x21，则有x1x2，x1x2， 8k24k234k234k23在方程中令 x4 得，M 的坐标为(4,3k)从而 k1，k2，k3k .y132x11y232x213k324112因为 A，F，B 三点共线，所以 kkAFkBF，即有k.y1x11y2x21

22、所以 k1k2y132x11y232x21y1x11y2x2132(1x111x21)2k 32x1x22x1x2x1x212k 2k1，328k24k2324k234k238k24k231又 k3k ，所以 k1k22k3.故存在常数 2 符合题意12解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法” ，将不确定性问题明确化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在(2019南通市高三阶段测试)

23、已知 A(2,0)，B(2,0)，点 C，D 依次满足|2， ()ACAD12ABAC(1)求点 D 的轨迹；(2)过点 A 作直线 l 交以 A，B 为焦点的椭圆于 M，N 两点，线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 ，且直线 l 与点 D 的轨迹相切，求该椭圆的方程；45(3)在(2)的条件下，设点 Q 的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点 P 及以 Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线 PA，PB 都相切，若存在，求出 P 点坐标及圆的方程；若不存在，请说明理由解 (1)设 C(x0，y0)，D(x，y)，则(x02，y0)，(4,0)，ACAB ()(x2，y)，AD12ABAC(x02

24、3，y02)则有Error!代入|2(x02)2y 4 得 x2y21.AC2 0点 D 的轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆(2)由题意可知直线 l 斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x2)， 椭圆的方程1(a24)， x2a2y2a24由 l 与圆相切得1，即 k2 ，|2k|1k213将代入得(a2k2a24)x24a2k2x4a2k2a44a20，又 k2 ，可得(a23)x2a2x a44a20，1334设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，|x1x2|，|a2a23| |2 45|解得 a28 或 a2(舍去)，2413椭圆方程为1.x28y24(3)假设存在椭圆上的一点 P

25、(x0，y0)，使得直线 PA，PB 与以 Q 为圆心的圆相切，则 Q 到直线 PA，PB 的距离相等，又 A(2,0)，B(2,0)，则直线 PB 的方程为(x02)yy0x2y00，直线 PA 的方程为(x02)yy0x2y00.设 d1为 Q 到直线 PB 的距离，d2为 Q 到直线 PA 的距离，则d1d2，|y0|x022y2 0|3y0|x022y2 0化简整理得 x 5x04y 0.2 02 0P 点在椭圆上，x 2y 8.解得 x02 或 x08(舍去)2 02 0x02 时，y0，r1.2椭圆上存在点 P，其坐标为(2，)或(2，)，22使得直线 PF1，PF2与以 Q 为圆

26、心的圆(x1)2y21 相切真题押题真题模拟1(2019全国卷)已知曲线 C：y，D 为直线 y 上的动点，过 Dx2212作 C 的两条切线，切点分别为 A，B.(1)证明：直线 AB 过定点；(2)若以 E为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求(0，52)四边形 ADBE 的面积解 (1)证明：设 D，A(x1，y1)，则 x 2y1.(t，12)2 1因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1，故x1.y112x1t整理得 2tx12y110.设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210.故直线 AB 的方程为 2tx2y10.所以直线 AB 过定点.(0，1

27、2)(2)由(1)得直线 AB 的方程为 ytx .12由Error!可得 x22tx10.于是 x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|1t2 2(t21)1t2x1x224x1x2设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离，则 d1，d2.t212t21因此，四边形 ADBE 的面积S |AB|(d1d2)(t23) .12t21设 M 为线段 AB 的中点，则 M.(t，t212)因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，EMABEMAB所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t1.当 t0 时，S3；当 t1 时，S4.2因此，四边形

28、 ADBE 的面积为 3 或 4.22(2019天津市高三 4 月联考)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点x2a2y2b2分别为 F1，F2，左、右顶点分别为 A，B，过右焦点 F2且垂直于长轴的直线交椭圆于 G，H 两点，|GH|3，F1GH 的周长为 8.过 A 点作直线 l 交椭圆于第一象限的 M 点，直线 MF2交椭圆于另一点 N，直线 NB 与直线 l 交于点 P.(1)求椭圆的标准方程；(2)若AMN 的面积为，求直线 MN 的方程；18 27(3)证明：点 P 在定直线上解 (1)由题意知|GH|3,4a8，2b2a解得 a2，b，3所以椭圆方程为1.x24y23(2)设 M(x1

29、，y1)，N(x2，y2)当直线 MN 斜率 k 存在时，设直线 MN 方程为 yk(x1)，代入椭圆方程并整理，得(4k23)x28k2x4k2120，144(k21)0，x1x2，x1x2，8k24k234k2124k23|MN|x1x22y1y221k2x1x221k2x1x224x1x2.12k214k23A(2,0)到直线 MN：kxyk0 的距离为 d，3|k|k21SAMN d|MN|，化简得 17k4k2180，解得1218|k| k214k2318 27k1.当 k1 时，直线 MN 过点 F2(1,0)，直线 MN 与椭圆的交点不在第一象限(舍去)所以直线 MN 的方程为

30、xy10.当直线 MN 斜率 k 不存在时，则直线 MN 的方程为 x1，SAMN (ac) (舍去)122b2a9218 27综上，直线 MN 的方程为 xy10.(3)证明：设直线 AM：yk1(x2)(k10)，与椭圆方程联立得(4k 3)2 1x216k x16k 120，2 12 1Error!xM，yM68k2 14k2 1312k14k2 13同理设直线 BN：yk2(x2)(k20)，可得 xN，yN，8k2 264k2 2312k24k2 23所以直线 MN 的方程为，以及直线 MN 方程过点 F2(1,0)，yyMxxMyNyMxNxM将 F2，M，N 坐标代入可得，(4k

31、1k23)(k23k1)0，k1k20，k23k1.又因为直线 AM 与直线 NB 交于 P 点，即 Error!xP，将 k23k1代入得 xP4，所以点 P 在定直线2k1k2k2k1x4 上3(2019江西省八所重点中学高三 4 月联考)已知椭圆E：1(ab0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边x2a2y2b2形 F1B1F2B2的面积为 2.(1)求椭圆 E 的长轴 A1A2的最小值，并确定此时椭圆 E 的方程；(2)对于(1)中确定的椭圆 E，设过定点 M(2,0)的直线 l 与椭圆 E 相交于P，Q 两点，若，当 时，求OPQ 面积 S 的取值范围MPMQ(

32、13，12)解 (1)依题意，四边形 F1B1F2B2的面积为 2bc，2bc2，长轴 A1A22a222，b2c22bc2此时 bc1，a，2故长轴 A1A2的最小值为 2，此时椭圆 E 的方程为y21.2x22(2)依题意，可设 l：xty2，联立Error!得(t22)y24ty20，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 16t242(t22)8t2160，可得 t22，且Error!且已知 M(2,0)，由，可得 y1y2，MPMQError! 2，18t2t22， 2，(13，12)1(92，163) 0，928t2t22163187SSOMQSOMP |OM|y1y2|y1y

33、2| 12y1y224y1y2，2 2 t22t22设 m，m，t2m22，t22(2 77， 2)S，m 在 m单调递减，2 2mm242 2m4m4m(2 77， 2)故 S 关于 m 在上单调递增，(2 77， 2)S.(148，23)4(2019玉溪市第一中学高三下学期第五次调研)已知抛物线 x22py(p0)，准线方程为 y20，直线 l 过定点 T(0，t)(t0)，且与抛物线交于 A，B 两点，O 为坐标原点(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；OAOB(3)当 t1 时，设，记|AB|f()，求 f()的最小值及取最小值时对ATTB应的

34、.解 (1) 2，p4，p2抛物线方程为 x28y. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据题意知直线 l 的斜率存在，设l：ykxt(t0)， 联立得 x28kx8t0，x1x28k，x1x28t.y1y2(kx1t)(kx2t)k2x1x2kt(x1x2)t2t2，x1x2y1y2t28t.OAOB由于 T(0，t)为定点，故 t 为定值，为定值OAOB(3)T(0,1)，(x1,1y1)，(x2，y21)，ATTB，x1x2,1y1(y21)，ATTBx1x2，由(2)知 x1x28t8，x 8，x ，2 22 28且 0，又 x1x2(1)x28k，(1)2x 64k2，2

35、 2当 k0 时，1，x ， ，2 264k21264k2128k2.128当 k0 时，1，符合上式，且|AB|4.2|AB|1k264k232 112881232 261221 ，(16)(12)令 m ，则 m2，|AB|，1m28m12当 m2 即 1 时，|AB|min4.2金版押题5已知直线 l1：axy10，直线 l2：x5ay5a0，直线 l1与 l2的交点为 M，点 M 的轨迹为曲线 C.(1)当 a 变化时，求曲线 C 的方程；(2)已知点 D(2,0)，过点 E(2,0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，求ABD面积的最大值解 (1)由Error!消去 a，得曲线

36、C 的方程为y21.y1，即点x25(0，1)不在曲线 C 上，此步对考生不作要求(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，l 为 xmy2，由Error!得(m25)y24my10，则 y1y2，y1y2，4mm251m25ABD 的面积 S2|y2y1|2y2y124y2y12 ，16m2m2524m254 5 m21m25设 t，t1，)，则 S，m214 5tt244 5t4t5当 t (t1，)，即 t2，m时，ABD 的面积取得最大值.4t356已知抛物线 C：y22px(p0)与直线 xy40 相切2(1)求该抛物线的方程；(2)在 x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点 M

37、，过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，使得为定值如果存在，求出点 M 的坐1|AM|21|BM|2标；如果不存在，请说明理由解 (1)联立方程有Error!有 y22py8p0，由于直线与抛物线相切，2得 8p232p0，p4，所以 y28x.(2)假设存在满足条件的点 M(m,0)(m0)，直线 l：xtym，有Error!整理得 y28ty8m0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，有 y1y28t，y1y28m，|AM|2(x1m)2y (t21)y ，2 12 1|BM|2(x2m)2y (t21)y ，2 22 21|AM|21|BM|21t21y2 11t21

38、y2 2，1t21y2 1y2 2y2 1y2 21t214t2m4m2当 m4 时，为定值，所以 M(4,0)1|AM|21|BM|2配套作业1已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，直线 x4 与 x 轴的交点为 P，与抛物线的交点为 Q，且|QF| |PQ|.54(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过 F 的直线 l 与抛物线相交于 A，D 两点，与圆 x2(y1)21 相交于 B，C 两点(A，B 两点相邻)，过 A，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点 M，求ABM 与CDM 面积之积的最小值解 (1)由已知 P(4,0)，Q，|QF| .(4，8p)8pp2|QF|

39、|PQ|， ，得 p2.548pp2548p抛物线方程为 x24y.(2)由题意可知，l 斜率存在设 l：ykx1.A(x1，y1)，D(x2，y2)设 M(x0，y0)，则过 A，D 的弦方程可设为：xx02y02y 即 yxy0，x02Error!Error!即 M(2k，1)M 到 l 的距离 d2.2k221k21k2SABMSCDM |AB|CD|d214 (|AF|1)(|DF|1)d2 y1y2d21414 d2，14x2 1x2 216又由Error!联立得，x24kx40，x1x24.SABMSCDM (2)21k21.1416161k2当且仅当 k0 时取等号当 k0 时，

40、ABM 与CDM 面积之积的最小值为 1.2(2019福建省高三 3 月质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，圆F：(x1)2y21 外的点 P 在 y 轴的右侧运动，且点 P 到圆 F 上的点的最小距离等于它到 y 轴的距离，记点 P 的轨迹为 E.(1)求 E 的方程；(2)如图，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆 D 与平行于y 轴的直线相切于点 M，线段 DM 交 E 于点 N，证明：AMB 的面积是AMN的面积的 4 倍解 解法一：(1)设 P(x，y)，依题意 x0，F(1，0)因为点 P 在圆 F 外，所以点 P 到圆 F 上的点的最小距离为|PF|

41、1，依题意得|PF|1x，即1x，化简得点 P 的轨迹 E 的方程为x12y2y24x(x0)(2)证明：设 N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 D.(x1x22，y1y22)依题意可知直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程 yk(x1)(k0)，由Error!得 k2x2(2k24)xk20.因为 (2k24)24k416k2160，所以 x1x2，x1x21，2k24k2则有 y1y2 ，故 D，4k(k22k2，2k)由抛物线的定义知|AB|x1x22.4k24k2设 M(xM，yM)，依题意得 yM ，2k所以|MD|xM.k22k2又因为|MD|，所以xM

42、，|AB|2k22k22k22k2解得 xM1，所以 M，(1，2k)因为 N在抛物线上，所以 x0，即 N，(x0，2k)1k2(1k2，2k)所以 SAMB |MD|y1y2|y1y2|，12k21k2SAMN |MN|y1yD| |y1y2|y1y2|，故 SAMB4S1212|1k21|12k214k2AMN. 解法二：(1)设 P(x，y)，依题意 x0.因为点 P 在圆 F 外，所以点 P 到圆 F上的点的最小距离为|PF|1.依题意得，点 P 到圆 F(1,0)的距离|PF|等于 P 到直线 x1 的距离，所以点 P 在以 F(1,0)为焦点，x1 为准线的抛物线上所以 E 的方

43、程为 y24x(x0)(2)证明：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线 AB 过 F(1,0)，依题意可设其方程 xty1(t0)，由Error!得 y24ty40，因为 16t2160，所以 y1y24t，则有 x1x2(ty11)(ty21)4t22.因为 D 是 AB 的中点，所以 D(2t21,2t)由抛物线的定义得|AB|(x11)(x21)4t24，设圆 D 与 l：xm 相切于 M，因为 DM 与抛物线相交于 N，所以 mb0)上两点x2a2y2b2(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设 O 为坐标原点，M 为椭圆 C 上一动点，点 P(3,0)，线段 PM 的垂直平分线交 y 轴于点 Q，求|OQ|的最小值解 (1)代入 A，B 两点坐标，得1，1，2b23a21b2解得 a26，b22，所以椭圆 C 的标准方程为1.x26y22(2)设点 M 的坐标为(x0，y0)，则1，可得 x 63y ， x2 06y2 022 02 0线段 PM 的中点 N，kQNkPM1，可得 kQN，所以(x032，y02)3x0y0lQN：y.y023x0y0(xx032)令 x