2016年高考文科数学全国卷3含答案.docx

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1、数学试卷第 1 页（共 18 页）数学试卷第 2 页（共 18 页）数学试卷第 3 页（共 18 页）绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3）文科数学使用地区:广西、云南、贵州注意事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本题共 12 小题,每小题

2、5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则( )0,2,4,6,8,10A4,8B AB A.4,8B.0,2,6C.0,2,6,10D.0,2,4,6,8,102.若,则( )43iz z |z|A.1B.1C.43i55D.43i553.已知向量,则( )13,22BA （）3 1(, )22BC ABCA.30B.45C.60D.1204.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中点表示十月的平均最高气温约为,点表示四月的平均最低A15B气温约为.下面叙述不正确的是( )5A.各月的平均最低气温都在 0以

3、上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于 20的月份有 5 个5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是中的一个字母,第, ,M I N二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.8 15B.1 8C.1 15D.1 306.若,则( )tan1 3 cos2A.4 5B.1 5C.1 5D.4 57.已知,则( )4 32a 2 33b 1 325c A.bacB.abcC.bcaD.cab8.执行右面的程序框图,如果输入的,那么输出的4a 6b n ( )A.3B.4C.

4、5D.69.在中,边上的高等于,则( )ABC4BBC1 3BCsin AA.3 10B.10 10C.5 5D.3 10 1010.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )A.1836 5B.5418 5C.90D.8111.在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若,111ABCABCVABBC6AB ,则的最大值是( )8BC 13AA V姓名_ 准考证号_-在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 4 页（共 18 页） 数学试卷 第 5 页（共 18 页） 数学试卷 第 6 页（共 18 页）A.4B.9 2C.6D.32 3

5、12.已知为坐标原点,是椭圆:的左焦点,分别为的左、OFC22221(0)xyababABC右顶点.为上一点,且轴.过点的直线 与线段交于点,与轴交于PCPFxAlPFMy点.若直线经过的中点,则的离心率为( )EBMOECA.1 3B.1 2C.2 3D.3 4第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 2224 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分.13.设,满足约束条件则的最小值为 .xy21 0, 21 0, 1,xy xy x 235zxy14.函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单sin3cosy

6、xx2sinyx位长度得到.15.已知直线 :与圆交于,两点,过,分别作 的垂线l360xy2212xyABABl与轴交于,两点.则 .xCD|CD 16.已知为偶函数,当时,则曲线在点处的切线方( )f x0x1( )xf xex ( )yf x(1,2)程是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 已知各项都为正数的数列满足,. na11a 2 11(21)20nnnnaaaa（）求,；2a3a（）求的通项公式. na18.（本小题满分 12 分） 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.注:年份代

7、码 17 分别对应年份 20082014. （）由折线图看出,可用线性回归模型拟合与 的关系,请用相关系数加以说明；yt （）建立关于 的回归方程（系数精确到 0.01）,预测 2016 年我国生活垃圾无害yt 化 处理量. 附注:参考数据:,.719.32i iy7140.17ii it y7 21()0.55i iyy72.646参考公式:相关系数12211()()()(yy)nii innii iittyy rtt ，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为:yabt，.121()()()nii i ni ittyy b tt aybt19.（本小题满分 12 分）如图,四棱锥中,底面

8、,PABCDPAABCDAD BC/3ABADAC,为线段上一点,为的中点.4PABCMAD2AMMDNPC（）证明平面;MN/PAB（）求四面体的体积.NBCM20.（本小题满分 12 分）已知抛物线:的焦点为,平行于轴的两条直线,分别交于,两C22yxFx1l2lCAB点,交的准线于,两点.CPQ（）若在线段上,是的中点,证明;FABRPQARFQ/（）若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.PQFABFAB21.（本小题满分 12 分）设函数.( )ln1f xxx（）讨论的单调性；( )f x（）证明当时,；(1,)x11lnxxx（）设,证明当时,.1c (0,1)x1(1)xcx

9、c请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修 41:几何证明选讲如图,中的中点为,弦,分别交于,两点.O/ABPPCPDABEF（）若,求的大小;2PFBPCD PCD（）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点,证明.ECFDGOGCD23.（本小题满分 10 分）选修 44:坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为xOy1C3cos , sin,x y 极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为x2C.sin()2 24（）写出的普通方程和的直角坐标方程;1C2C（）设点在上,点在上,

10、求的最小值及此时的直角坐标.P1CQ2C|PQP数学试卷第 7 页（共 18 页）数学试卷第 8 页（共 18 页）数学试卷第 9 页（共 18 页）24.（本小题满分 10 分）选修 45:不等式选讲已知函数.( ) |2|f xxaa（）当时,求不等式的解集；2a ( )6f x （）设函数.当时,求的取值范围.( ) |21|g xxxR( )( )3f xg xa2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 3） 文科数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】C【解析】由补集的概念，得，故选 C0,2,6,10AB 【提示】直接利用集合的交、并、补的运算法则求解即可【考点】集合

11、的补集运算2.【答案】D【解析】，故选 D2243i43i|5543z z 【提示】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可【考点】复数的运算，共轭复数，复数的模3.【答案】A【解析】由题意，得，所以，1331+32222cos1 12|BA BCABCBA BC / 30ABC故选 A【提示】根据向量，的坐标便可求出，及，的BA cosABCcosABCBC |BA |BC 值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出的值，根据的范围便可得cosABCABC出的值ABC【考点】向量夹角公式4.【答案】D【解析】由图可知各月的平均最低气温都在以上，A 正确；由图可知在七月的平均温0差大于，而一月的平均温

12、差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差7.57.5大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C10正确；由图可知平均最高气温高于 20的月份有 3 个，所以不正确故选 D.【提示】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可【考点】统计图5.【答案】C【解析】开机密码的可能有，(,1)M(,2)M(,3)M(,4)M(,5)M( ,1)I( ,2)I，共 15 种可能，所( ,3)I( ,4)I( ,5)I(,1)N(,2)N(,3)N(,4)N(,5)N以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选 C1 15【提示】列举出从 M，I，N 中任取一个字母

13、，再从 1，2，3，4，5 中任取一个数字的基本事件数，然后由随机事件发生的概率得答案【考点】古典概型6.【答案】D【解析】 22221 3 22221 31cossin1tan4cos2cos+sin1+tan51+【提示】展开二倍角的余弦，进一步转化为含有的代数式得答案tan【考点】同角三角函数的基本关系，二倍角公式7.【答案】A【解析】因为，又函数在上是增函数，所以42 3324a 12 33255c 2 3yx0,)，即，故选 A222 333345bac【提示】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档【考点】幂函数的单调性8.【答案】B

14、【解析】第一次循环，得，；2a 4b 6a 6s 1n 第二次循环，得，；26410abas ，2n 第三次循环，得；246163abasn，第四次循环，得，退出循环，输出，故选26420164abasn ，4n B【提示】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的 a，b，s，n 的值，当 s=20 时满足条件，退出循环，输出 n 的值为 4.16s 【考点】循环结构的程序框图9.【答案】D【解析】设边上的高线为，则，所以BCAD32BCADDCAD，由正弦定理，知，即，解225ACADDCADsinsinACBC BA53 sin2 2ADAD A得，故选 D3 10sin10

15、A【提示】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出 AB，AC，再由三角形面积公式，可得sin A【考点】正弦定理10.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选 B2 3 62 3 32 3 3 55418 5S 【提示】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答数学试卷 第 10 页（共 18 页） 数学试卷 第 11 页（共 18 页） 数学试卷 第 12 页（共 18 页）案【考点】三视图，棱柱的表面积11.【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大因为的内切圆的半径为VRABC2，且，所以由题意易知球与直三棱柱的上下

16、底面都相切时，球的半径取得最13AA 大值，此时球的体积为，故选 B3 23 344393322R【提示】根据已知可得直三棱柱的内切球半径为，代入球的体积公式，111ABCABC3 2可得答案【考点】三棱柱的内切球，球的体积12.【答案】A【解析】由题意设直线 l 的方程为，分别令与得()yk xaxc 0x ，| ()FMk ac| |OEk a，设 OE 的中点为 H 由，得，即，OBHFBM1 2| |OEOB FMBF| 2|()+k aa kaca c整理得，所以椭圆离心率为，故选 A1 3c a1 3e 【提示】由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为，分别令()y

17、k xa，可得 M，E 的坐标，再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的xc 0x 条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值【考点】椭圆的几何性质，三角形相似 第卷二、填空题13.【答案】10【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经235zxy过点时取得最小值，即( 1, 1)A min2( 1)3 ( 1)510z 【提示】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【考点】简单的线性规划14.【答案】 3【解析】因为，所以函数的的图像可sin3cos2sin3yxxxsin3co

18、syxx由函数的图像至少向右平移个单位长度得到2sinyx 3【考点】三角函数图像的平移变换，两角差的正弦公式15.【答案】4【解析】由，得，代入圆的方程，整理得，360xy36xy23 360yy解得，所以，所以12 3y 23y 10x 23x 又直线 的倾斜角为，由平面几何知识知22 1212|()()2 3ABxxyyl30在梯形中，ABDC|4cos30ABCD 【提示】先求出，再利用三角函数求出即可|AB|CD【考点】直线与圆的位置关系16.【答案】2yx【解析】当时，则又因为为偶函数，所以0x 0x 1()+xfxex( )f x，所以，则，所以切线方程为1( )()+xf xf

19、xex1( )+1xfxe(1)2f ，即22(1)yx2yx【提示】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法【考点】函数的奇偶性，解析式及导数的几何意义三、解答题17.【答案】 （）2311 24aa，（）11 2nna【解析】 （）由题意，得2311 24aa，（）由得2 11(21)20nnnnaaaa12(1)(1)nnnnaaa a因为的各项都为正数，所以na11 2nna a故是首项为 ，公比为的等比数列，因此na11 211 2nna【提示】 （）将代入递推公式求得，将的值代入递推公式可求得.11a 2a2a3a（）将已知的递推公式进行因式分

20、解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此na可求得数列的通项公式na【考点】数列的递推公式，等比数列的通项公式18.【答案】 （），说明与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模0.99r yt型拟合与 的关系yt（）1.82 亿吨【解析】 （）由折线图中数据和附注中参考数据得，4t 7 21()28i itt7 21()0.55i iyy， r777111()()40.174 9.322.89iiiii iiittyyt yty2.89 0.5522.646 0.99因为 y 与 t 的相关系数近似于为，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线0.99性回归模型拟合 y 与

21、t 的关系数学试卷第 13 页（共 18 页）数学试卷第 14 页（共 18 页）数学试卷第 15 页（共 18 页）（）由1.331 及（）得0.1039.32 7y 71 7 21()()2.89 28()ii ii ittyy b tt 1.3310.103 40.92aybt所以，关于 的回归方程为：yt0.920.10yt将 2016 年对应的代入回归方程得：9t 0.920.10 9=1.82y 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用19.【答案】 （）由已知得，取的中点，连接，由为223AMADBPT,AT T

22、NN中点知，PC/ /TNBC122TNBC又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是/ /ADBCTNAMAMNT/ /MNAT因为平面，平面，所以平面AT PABMN PAB/ /MNPAB（）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为PAABCDNPCNABCD1 2PA取的中点，连结由得，BCEAE3ABACAEBC225AEABBE由得到的距离为，故BCAMMBC51452 52BCMS 所以四面体的体积NBCM14 5 323NBCMBCMPAVS【考点】直线与平面间的平行与垂直关系，三棱锥的体积20.【答案】 （）由题设，设，则，且1,02F1:lya2:lyb0ab ，2 ,02a

23、A 2 ,2bBb 1,2Pa1,2Qb1+,22a bR记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为2( + ) +0xa b y ab由于 F 在线段 AB 上，故记 AR 的斜率为，FQ 的斜率为，则1+0ab 1k2k，所以.12221 1+abababkbkaaabaa ARFQ（）设 与轴的交点为，则，lx1(,0)D x1111|222ABFSba FDba x| 2PQFabS由题设可得，所以（舍去） ，111|222abba x10x 11x 设满足条件的的中点为AB( , )E x y当与轴不垂直时，由可得ABxABDEkk2(1)1yxabx而，所以2aby21(1)

24、yxx当与轴垂直时，与重合所以，所求轨迹方程为ABxED21yx【考点】抛物线定义与几何性质，直线与抛物线位置关系，轨迹求法21.【答案】 （）函数的导数为，由，可得( )ln1f xxx( )1fx ( )0fx；由，可得即有的增区间为；减区间为；01x( )0fx1x ( )f x(01),(1)，（）证明：当时，即为(1)x，11lnxxxln1lnxxxx 由（）可得在递减，可得，即有；( )ln1f xxx(1)，( )(1)0f xfln1xx设，当时，可得( )ln1F xxxx1x ( )1ln1lnF xxx 1x ( )0F x递增，即有，即有，则原不等式成立；( )F x

25、( )F x(1)0Fln1xxx（）证明：设，可令，可得( )1(1)xG xcxc ( )1lnxG xccc ( )0G x，由，可得，即，由（）可得1 lnxccc1c (0,1)x1xcc11lnccc恰有一解，设为是的最大值点，且，由，xc 1 lnc c0xx( )G x001x(0)(1)0GG且在递增，在递减，可得成立，则，( )G x0(0,)x0(1)x ，0 00()1(1)0xG xcxc 1c 当时，(0,1)x1(1)xcxc【提示】 （）求出导数，由导数大于 0，可得增区间，导数小于 0，可得减区间，注意函数的定义域；（）由题意可得即证运用（）的单调性可得，设l

26、n1lnxxxx ln1xx，求出单调性，即可得到成立；( )ln1F xxxx1x 1lnxxx （）设，求出导数，可令，由，可得( )1(1)xG xcxc ( )0G x1c (0,1)x，由（）可得恰有一解，设为是的最小值点，运用最11lnccc1 lnxccc 0xx( )G x值，结合不等式的性质，即可得证【考点】利用导数研究函数的单调性，不等式的证明与解法22.【答案】 （）连结，则：，PBBCBFDPBABPD PCDPCBBCD 因为，所以，又，所以/APBPPBAPCB BPDBCD BFDPCD 又，所以，因此180PFDBFD2PFBPCD 3180PCD60PCD（）

27、因为，所以，由此知四点共PCDBFD 180PCDEFDCDFE，圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过CEDFG四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又 O 也在 CD 的垂CDFE，GCD直平分线上，因此OGCD【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，垂直平分线定理，四点共圆23.【答案】 （）的普通方程为，的直角坐标方程为1C2 213xy 2C40xy（）3 1,2 2【解析】 （）的普通方程为，的直角坐标方程为1C2 213xy 2C40xy（）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最P( 3cos ,sin)2C|PQ数学试卷 第 16 页（共 18 页）

28、 数学试卷 第 17 页（共 18 页） 数学试卷 第 18 页（共 18 页）小值即为到的距离的最小值，P2C( )d|3cossin4|( )2 sin232d当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为2 ()6kkZ( )d2P3 1,2 2【提示】 （）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线 C1的参数方程普通方程，利用公式与代入曲线 C2的极坐标方程即可；cosxsiny（）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立P的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点坐标|( )PQdP【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程24.【答案】 （） | 13xx （）

29、2,)【解析】 （）当时，2a ( ) |22| 2f xx解不等式，得，因此，的解集|22| 2+26x 13x ( )6f x | 13xx （）当时，xR( )+ ( ) |2|+ +|12 | |2+12 |+|1|+f xg xxaaxxaxaaa当时等号成立，所以当时等价于1 2x xR( )+ ( )3f xg x |1|3aa 当时，等价于，无解1a 1+3a a当时，等价于，解得，所以的取值范围是1a 1+3aa2a a2,+)【提示】 （）利用等价不等式，进而通过解不等式可求得| ( )|( )h xaah xa （）根据条件可先将问题转化求解的最小值，此最值可利用三角不等式求 f xg x得，再根据恒成立的意义建立关于的不等式求解即可a【考点】绝对值不等式的解法，三角不等式的应用