2016年高考文科数学全国卷1含答案.docx

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1、数学试卷第 1 页（共 21 页）数学试卷第 2 页（共 21 页）数学试卷第 3 页（共 21 页）绝密启用前2016 年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷 1)文科数学使用地区：山西、河南、河北、湖南、湖北、江西、安徽、福建、广东本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.第卷 1 至 3 页，第卷4 至 6 页，满分 150 分.考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改

2、动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3. 考试结束，监考员将本试题卷、答题卡一并收回.第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）1,3,5,7A |25BxxAB A. B. 1,33,5C. D. 5,71,72. 设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ）(12i)(i)aa=aA. B. C. D. 32233. 为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛

3、中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A. B. 1 31 2C. D. 2 35 64. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知，则ABC5a 2c 2cos3A（ b ）A. B. 23C. D. 235. 直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的，则该1 4椭圆的离心率为（ ）A. B. 1 31 2C. D. 2 33 46. 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为2sin(2)6yx1 4（ ）A.B. 2sin(2)4yx2sin(2)3yxC. D. 2sin(2)4yx2sin(2)3yx7. 如图，某几何体的

4、三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（ 28 3）A.B. 1718C. D. 20288. 若，则（ ）0ab01cA. B. loglogabccloglogccabC. D. ccababcc 9. 函数在的图象大致为（ ）2|x|2yxe 2,2ABCD 10. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出，的值满足（ 0x 1y 1n xy）A. B. 2yx3yx C. D. 4yx5yx11. 平面过正方体的顶点，平面，平面，1111ABCDABC DA/11CB D=ABCD m平面，则，所成角的正弦值为（ ）11=ABB Anmn

5、A. B. C. D. 3 22 23 31 312. 若函数在单调递增，则的取值范围是1( )sin2sin3f xxxax(,) a姓名_ 准考证号_ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷第 4 页（共 21 页）数学试卷第 5 页（共 21 页）数学试卷第 6 页（共 21 页）（ ）A. B. 1,111,3C. D. 1 1,3 311,3 第 II 卷注意事项：第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2224 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空

6、题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 设向量 a，b，且 ab，则 .1(), x x(1,2)x 14. 已知是第四象限角，且，则 .3sin()45tan()415. 设直线与圆相交于两点，若，则圆2yxa22:220C xyay,A B| 2 3AB 的面积为 .C16. 某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲ABA材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为A900 元.该企业现有甲材料 150

7、 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为 元.AB三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分 12 分）已知是公差为的等差数列，数列满足，.na3 nb11b 21 3b 11nnnna bbnb（）求的通项公式；na（）求的前项和. nbn18.（本小题满分 12 分）如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，顶点在平面内PABC6PAPABC的正投影为点，在平面内的正投影为点，连接并延长交于点.DDPABEPEABG（）证明：是的中点；GAB（）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由） ，并求四面体EP

8、ACF的体积PDEF19.（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元） ，n 表示购机的同时购买的易损零件数.（）若，求 y 与 x 的函数解析式；19n （）若要求“需更换的易损零件数

9、不大于 n”的频率不小于 0.5，求 n 的最小值；（）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？20.（本小题满分 12 分）在直角坐标系中，直线交轴于点，交抛物线xOy:(0)l yt tyM2:2C ypx于点，关于点的对称点为，连结并延长交于点.(0)p PMPNONCH（）求；| |OH ON（）除以外，直线与是否有其它公共点？说明理由.HMHC21.（本小题满分 12 分）已知函数.2( )(

10、2)(1)xf xxea x（）讨论的单调性；( )f x（）若有两个零点，求的取值范围.( )f xa 请考生在第 2224 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.（本小题满分 10 分）选修：几何证明选讲41如图，是等腰三角形，.以 O 为圆心，为半径作圆.OAB120AOB1 2OA（）证明：直线与相切；ABO（）点在上，且四点共圆，证明：.,C DO, , ,A B C DABCD23.（本小题满分 10 分）选修：坐标系与参数方程44在直线坐标系中，曲线的参数方程为（ 为参数，）.在xOy1Ccos , 1sin ,xat yat t0a 以坐标原点为极点，x 轴正

11、半轴为极轴的极坐标系中，曲线.2:4cosC（）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；1C1C（）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公3C000tan21C2C共点都在上，求 a.3C24.（本小题满分 10 分） ，选修：不等式选讲45已知函数.( ) |1|23|f xxx（）画出的图象；( )yf x（）求不等式的解集.|( )| 1f x xyO1 1数学试卷第 7 页（共 21 页）数学试卷第 8 页（共 21 页）数学试卷第 9 页（共 21 页）2016 年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷 1） 文科数学答案解析 第卷一、选择题1.【答案】B【解析】集合与集

12、合的公共元素有 3，5，故，故选 BAB3,5AB 【提示】直接利用交集的运算法则化简求解即可.【考点】集合的交集运算2.【答案】A【解析】，由已知，得，解得，选 A(12i)(i)2(12 )iaaa212aa 3a 【提示】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可.【考点】复数的概念，复数的乘法运算3.【答案】C【解析】将 4 种颜色的花种任选 2 种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛中，有 6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有 4 种，故所求概率为，选 C2 3【提示】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论.【考点】古典概型4.【答案】D

13、【解析】由余弦定理得，解得（舍去） ，选 D2254223bb 3b 1 3b 【提示】由余弦定理可得，利用已知整理可得，从而222 cos2bcaAbc23830bb解得 b 的值.【考点】余弦定理5.【答案】B【解析】如图，在椭圆中，在中，11242OFcOBbODbb，RtOFB，且，代入解得，所以椭圆的离心率为| |OFOBBFOD222+abc224ac，故选 B1 2e 【提示】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率.【考点】椭圆的几何性质6.【答案】D【解析】函数的周期为，将函数的图像向右平移2sin 26yx2sin 26yx个周期即个单位，

14、所得图像对应的函数为，1 4 42sin 22sin 2463yxx故选 D【提示】求得函数 y 的最小正周期，即有所对的函数式为，化简2246ysinx整理即可得到所求函数式.【考点】三角函数图像的平移7.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的，即该几何体是个球，设球的半径为，则1 87 8R，解得，所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和，37428R833V R27 8即，故选 A22734221784【提示】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积.【考点】三视图，球的表面积与体积8.【答案】B【解析】对

15、于选项 A，而，lgloglgaccalgloglgbccb 01clg0c 0ab所以，但不能确定、的正负，所以它们的大小不能确定；lglgba lgalgb对于选项 B，两边同时乘以一个负数改变不等号方向，lgloglgcaaclgloglgcbbc1 lgc所以选项 B正确；对于选项 C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以 C 错误；cyxccab对于选项 D，利用在上为减函数易得，所以 D 错误.所以本题选 BxycRabcc【提示】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案.【考点】指数函数，对数函数9.【答案】D【解析】函数在2，2上是

16、偶函数，其图像关于轴对称，因为2| |( )2exf xxy，所以排除 A，B 选项；当时，有一2(2)8ef208e10,2x( ) = 4exfxx零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数.故选0x0(0,)xx( )f x0(,2)xx( )f x数学试卷第 10 页（共 21 页）数学试卷第 11 页（共 21 页）数学试卷第 12 页（共 21 页）D【提示】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案.【考点】函数的图像与性质10.【答案】C【解析】第一次循环：，第二次循环：，第三次循012xyn，1232xyn，环：，此时满足条件，循环结束，输

17、出，满足362xy，2236xy362xy，.故选 C4yx【提示】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【考点】程序框图11.【答案】A【解析】如图，设平面平面，平面平面，因为11CB D 11ABB Am11CB D11ABB An平面，所以，则所成角等于所成的角.延长，11CB Dmmnnmn，mn，AD则所成的角即为，所成的角，即为，故所成角的正弦值为，mn，1ABBD60mn，3 2选 A.【提示】画出图形，判断出 m、n 所成角，求解即可.【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，

18、异面直线所成的角12.【答案】C【解析】对，恒成立，故2( )1cos2cos03fxxax xR，221(2cos1)cos03xax即恒成立，即对恒成立，构造245coscos033axx245033tat1,1t ，245( )33f ttat 开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，( )f t故只需保证，解得.故选 C1( 1)03 1(1)03fafa 11 33a【提示】求出的导数，由题意可得恒成立，设，即有( )f x( )0fx( 11)tcosxt ，对 t 讨论，分 t=0，分离参数，运用函数的单调25430tat01t 10t 性可得最值，解不等式即可得到所求范围.

19、【考点】三角恒等变换，导数的应用 第卷二、填空题13.【答案】2 3【解析】由题意，02(1)0a bxx A，2 3x 【提示】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得0a b A出关于 x 的方程，解方程便可得出 x 的值.【考点】向量的数量积，坐标运算14.【答案】4 3【解析】由题意，解3sin454cos453sin sincos cos445 4cos cossin sin445 得1sin,5 2 7cos,5 2 所以，.1tan7 11tantan474tan1431tantan1147 【提示】由得范围求得的范围，结合已知求得，再由诱导公式求得 4co

20、s()4及，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得sin4cos4的值.tan4【考点】三角恒等变换，同角三角函数的基本关系15.【答案】4【解析】圆 C：，即 C：，圆心为，由22+220xyay222+2xyaa(0, )Ca，圆心 C 到直线的距离为，所以得|2 3AB +2yxa|02 | 2aa，则，所以圆的面积为.22 22 302+222aaa22a 2(+2)4a【提示】圆 C：的圆心坐标为，半径为，利用圆的弦长22220xyay(0)a,2+2a公式，求出 a 值，进而求出圆半径，可得圆的面积.【考点】直线与圆的位置关系，圆的面积16.【答案】216000【解析】设生产

21、产品 A产品 B 分别为 x、y 件，利润之和为 z 元，那么由题意得约束条件目标函数.1.50.5150, 0.390, 53600, 0, 0.xy xy xy x y 2100900zxy数学试卷第 13 页（共 21 页）数学试卷第 14 页（共 21 页）数学试卷第 15 页（共 21 页）约束条件等价于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.将变形，得，作直线：并平移，当直线2100900zxy7 3900zyx 7 3yx 经过点时，取得最大值.7 3900zyx Mz解方程组，得的坐标为.1

22、03900 53600xy xyM(60,100)所以当，时，.60x 100y max210060900 100216000z故生产产品 A，产品 B 的利润之和的最大值为元.216000【提示】设 A、B 两种产品分别是 x 件和 y 件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可【考点】简单线性规划三、解答题17.【答案】 （）31nan（）131 22 3n【解析】 （）由已知，得，所以数列是首项1 221+a bbb11b 21 3b 12a na为 2，公比为 3 的等比数列，通项公式为31nan（）由（）和得，因此

23、是首项为 1，公比为的等比数1+1+nnnna bbnb13n nbb nb1 3列.记的前 n 项和为，则 nbnS111313 122 313nnnS【提示】 （）用等差数列通项公式求；（）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.【考点】等差数列，等比数列18.【答案】 （）因为在平面内的正投影为，所以.PABCDABPD因为在平面内的正投影为，所以，所以平面，故DPABEABDEAB PEDABPG又由已知可得，从而是的中点. PAPBGAB（）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的PABEPBPAFFEPAC正投影.理由如下：由已知可得，又，所以，PBPAPBPCEFPBEFPA

24、EFPC，因此平面，即点为在平面内的正投影.EF PACFEPAC连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.CGPABCDDABC由（）知，是的中点，所以在上，故GABDCG2.3CDCG由题设可得平面，平面，所以，因此PC PABDE PABDEPC21 33PEPGDEPC，由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得6PA22 2DEPE，在等腰直角三角形中，可得EFP2EFPH所以四面体的体积 VPDEF11422323 【提示】 （）根据题意分析可得，进而可得，同理可得PDABC 平面PDAB，结合两者分析可得，进而分析可得，又由，DEABABPDE 平面ABPGPAPB由等

25、腰三角形的性质可得证明；（）由线面垂直的判定方法可得，可得为在平面内的正投影.由EFPAC 平面FEPAC棱锥的体积公式计算可得答案.【考点】空间几何体的线、面位置关系，几何体体积的计算19.【答案】 （）3800,19,()5005700,19,xyxxxN（）19（）19【解析】 （）当时，；当时，19x 3800y 19x ，3800500(19)5005700yxx所以与的函数解析式为.yx3800,19,()5005700,19,xyxxxN（）由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故的最小值为 19.n（）若每台机器在购机同时都

26、购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800，20 台的费用为 4300，10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.1(3800704300204800 10)4000100若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000，10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.1(4000 904500 10)4050100比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.【提示】 （）分

27、 x19 及 x19，分别求解析式；（）通过频率大小进行比较；数学试卷第 16 页（共 21 页）数学试卷第 17 页（共 21 页）数学试卷第 18 页（共 21 页）（）分别求出时所需费用的平均数来确定.1920nn，【考点】柱状图，频率，平均数20.【答案】 （）2（）没有.【解答】 （）由已知得，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故，(0,t)M2 (, )2tPtp2 (, )tNtpON 的方程为，代入整理得，解得，因此pyxt22ypx2220pxt x21220txxp，22,2tHtp 所以 N 为 OH 的中点，即|OH|2|ON（）直线与除以外没有其它公共点.理由如下

28、：MHCH直线的方程为，即.代入得，解得MH2pytxt 2()txytp22ypx22440ytyt，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它122yytMHCHMHC公共点.【提示】 （）先确定，的方程为，代入整理得2 (, )tNtpONpyxt22ypx，解得，因此，所以为的中点，即2220pxt x10x 222txp22(,2 )tHtpNOH.|2|OH ON（）直线的方程为，与联立得，解得MH2pytxt 22ypx22440ytyt，即直线与只有一个公共点，所以除以外直线与没有其它122yytMHCHMHC公共点【考点】直线与抛物线的位置关系，抛物线的图像性质21.【

29、答案】 （） （）设，则当时，；当时，0a (,1)x ( )0fx (1,)x.( )0fx 所以 f（x）在单调递减，在单调递增.(,1)(1,)（）设，由得或.0a ( )0fx 1x ln( 2 )xa若，则，所以在单调递增.e 2a ( )(1)(ee)xfxx( )f x(,) 若，则，故当时，；e 2a ln( 2 )1a(,ln( 2 )(1,)xa ( )0fx 当时，所以在单调递增，在(ln( 2 ),1)xa( )0fx ( )f x(,ln( 2 ), 1,+a单调递减.(ln( 2 ),1)a若，则，故当时，当e 2a ln( 2 )1a(,1)(ln( 2 ),)x

30、a ( )0fx 时，所以在，单调递增，在(1,ln( 2 )xa( )0fx ( )f x(,1)(ln( 2 ),)a单调递减.1,ln(2 )a（） （）设，则由（）知，在单调递减，在单调递增.0a ( )f x(,1)1,又，取 b 满足 b0 且，则e(1)(2)ffa ，ln2ab ，所以有两个零点.223( )(2)(1)022af bba ba bb( )f x(ii)设 a=0，则，所以只有一个零点.( )(2)exf xx( )f x(iii)设 a0，若，则由(I)知，在单调递增.e 2a ( )f x(1,)又当时，0，故不存在两个零点；若，则由（）知，在1x ( )f

31、 x( )f xe 2a ( )f x单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两1,ln(2 )a(ln( 2 ),)a1x ( )f x( )f x个零点.综上，a 的取值范围为.(0,)【提示】 （）先求得再根据 1，0，2a 的大小进行分类确定( )fx(1)(e2 )xxa的单调性；( )f x（）借助第（）问的结论，通过分类讨论函数的单调性，确定零点个数，从而可得 a的取值范围为.(0,)【考点】函数单调性，导数应用22.【答案】 （）设是的中点，连结，EABOE因为，所以，.OAOB120AOBOEAB60AOE在中，所以 O 不是 A，B，C，D 四点所在圆的圆心，设是RtAOE

32、1 2OEODOA，B，C，D 四点所（）在圆的圆心，作直线.由已知得在线段的垂直平分OOOAB线上，又在线段的垂直平分线上，所以.OABOOAB同理可证，所以.OOCD/ABCD【提示】 （）设是的中点，证明；EAB60AOE（）设是四点所在圆的圆心，作直线，证明，OABCD，OOOOAB，由此可证明.OOCD/ABCD【考点】四点共圆、直线与圆的位置关系及证明23.【答案】 （）圆，222 sin10a （）1【解析】 （）消去参数 得到的普通方程.t1C222(1)xya是以为圆心，为半径的圆.1C(0,1)a将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为cos ,sinxy1C1C.222 s

33、in10a （）曲线的公共点的极坐标满足方程组12,C C222 sin10, 4cos ,a 若，由方程组得，由已知，可得02216cos8sincos10a tan2，从而，解得（舍去） ，.216cos8sincos0210a1a 1a 时，极点也为的公共点，在上.所以.1a 12,C C3C1a 数学试卷第 19 页（共 21 页）数学试卷第 20 页（共 21 页）数学试卷第 21 页（共 21 页）【提示】 （）把化为普通方程，再化为极坐标方程；cos 1sinxat yat （）通过解方程组可以求得.【考点】参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化24.【答案】 （）的图像如图所示.4,1, 3( )32, 1,2 34,.2xxf xxxxx ( )yf x（）由的表达式及图像，当时，可得或；( )f x( )1f x 1x 3x 当时，可得或，故的解集为( )1f x 1=3x5x ( )1f x |13xx的解集为或，所以的解集为或或( )1f x 1 |3x x 5x |( )| 1f x 1 |3x x 13x5x 【提示】 （）化为分段函数作图；（）用零点分区间法求解.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法