结构力学教材_7力矩分配法.ppt

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1、第7章力矩分配法和近似法,基本要求 理解力矩分配法的基本概念；掌握力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架在荷载及支座移动作用下的内力；了解多层多跨刚架的近似计算法（分层计算法和反弯点法）,重点 转动刚度、分配系数、传递系数的相关概念；单结点结构力矩分配法。,难点 准确理解力矩分配法计算的基本思路；把握力矩分配法与位移法之间内在的联系。,土木工程指导性专业规范配套系列教材结构力学,7.1 力矩分配法的基本概念,7.1.1 转动刚度,结构或体系抵抗转动变形的能力，即为转动刚度 .,对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为杆端转动刚度。

2、杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一是与杆件自身的线刚度，即与截面抗弯刚度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束模式相关。,若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点施加的结点力矩，称为结点转动刚度。根据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关系可知，结点的转动刚度与杆端转动刚度之间有以下关系：,7.1.2 分配系数,根据结点转动刚度的定义，有,可求出结点转角大小为,由于杆端位移与结点位移相等，故各杆端转角大小也为Z1，根据各杆端的转动刚度的定义，有,作用在结点上的一个外力矩MA，根据变形协调条件和平衡条件，所引起各杆杆端弯矩的大小，是按各杆杆端转动

3、刚度占结点转动刚度的比例来进行分配的。,若定义结点A所联结的各杆端Aj（j分别表示B、C、D等）的分配系数为,则,或,7.1.3 传递系数,分配系数能够表示出结点角位移发生处（包括结点和对应的杆端截面）的平衡条件和变形协调条件，但杆件自身的平衡和协调条件尚未得到表达。为了表示结点角位移对杆件除杆端截面外其它截面内力和变形的影响，现引入传递系数概念。,杆件远端（以角位移发生处的杆端为近端时）弯矩与近端弯矩（即分配弯矩）之间的关系可表示为,对于远端为无杆端位移发生时，即对应于固定支承,对于远端为铰支,对于远端为定向支承,7.1.4 单结点结构的力矩分配,【例7.1】如图所示为只具有一个未知独立角位

4、移的结构，试用力矩分配法计算内力并绘弯矩图。,解】(1) 计算准备由于结构中仅有一个未知独立结点角位移，因此，在以该位移对结构结点转动刚度和杆端转动刚度进行描述时，所有杆件的远端约束都如图7.1所示一样，是确定的。根据转动刚度的定义，结点A对应各杆端转动刚度为,，,，,结点A转动刚度,(2) 分配过程,分配系数保证了结点的平衡，再由传递系数保证杆件的平衡条件成立.,(3) 根据分配弯矩和传递弯矩即可绘出各杆的弯矩图。,上例分析过程中只有结点集中力偶矩作用，若在体系中出现了非结点荷载（即单元荷载），由于分配系数只能分配结点外力矩，因此必须对结构计算模型进行相应处理，才能保证力矩分配法的适用。,设

5、若在上例中出现了非结点荷载，在计算中可以仿照位移法的计算思路进行处理：,(a) 原结构(b) 荷载和约束力矩MA共同(c) 待分配弯矩MA作用下作用下体系的受力简图体系的受力简图,在原结构中增设刚臂，并限制该刚臂的位移为零，则可得到一个与位移法计算中MP图相同的受力模型，此体系的受力和变形与原结构之间的差别在于刚臂内存在一个约束力矩（或称之为不平衡力矩）MA，该约束力矩的存在限制着结构结点位移的发生。根据结点的平衡条件和杆端弯矩以顺时针转向为正的规定，可以得到计算约束力矩大小（其方向以顺时针转向为正）的算式，为,既然图 (a)和图 (b)之间存在一个MA的差别，可以在图 (b)的基础上令结构再

6、承受一个结点外力矩MA的作用，从而能够消去附加约束对结构的影响。即在图 (b)的受力模型上叠加图 (c)的受力模型后，就可以完全与原结构的受力等效。,图 (b)所示计算模型，其各杆的杆端弯矩可根据表6.1和6.2的载常数直接确定；而图 (c)所示计算，与仅承受结点外力偶矩的单结点结构完全一致，可用力矩分配法的原理对其进行计算。其中，MA（在数值上等于反向施加的约束力矩）在力矩分配法中，称为待分配力矩。,将图(b)所示各杆端弯矩对应叠加，即得图 (a)所示原结构的最后杆端弯矩，并可据此作出弯矩图。,【例7.2】试用力矩分配法作图7.8所示连续梁的弯矩图。EI为常数。,【解】(1) 计算准备计算转

7、动刚度BA杆转动刚度：,BC杆转动刚度：,结点B转动刚度：,计算分配系数对结点B计算：,，,计算不平衡力矩（或直接计算待分配弯矩，二者只相差一个负号）由式（7.4）计算，不平衡力矩为,或待分配力矩为,(2) 进行分配计算 将不平衡力矩反号并进行分配和传递的过程一般采用简洁的图表形式进行，如图所示。,(3)绘制弯矩图 图中最终杆端弯矩M总，等于各杆端的固端弯矩MF与分配弯矩Mm（或传递弯矩MC）的叠加。根据其绘制弯矩图 :,【例7.3】试用力矩分配法计算并作图中所示刚架的弯矩图。EI为常数。,【解】(1) 计算模型简化 将图7.11所示刚架的静定杆段BC和DF先行截去，并将杆上的荷载等效地化到结

8、点C和D上,(2) 计算准备计算转动刚度CA杆转动刚度：,CD杆转动刚度：,结点C转动刚度：,计算分配系数对结点C计算：,计算固端弯矩,计算不平衡力矩,(3) 进行分配计算,(4) 计算最终杆端弯矩M总，并作弯矩图,用力矩分配法求解超静定结构时，不需要解算方程，仅通过简单的代数运算即可实现。且计算过程简明，可列表进行。这些都是力矩分配法的优点。 单结点力矩分配法的计算步骤可归纳为： 计算刚结点所连杆端的分配系数，并填入计算表格中。 增设刚臂，即将刚结点视为固定端，计算各杆固端弯矩，并填入计算表格中。 计算不平衡力矩，并将其反号后进行分配与传递。 计算各杆最后杆端弯矩，它等于固端弯矩叠加分配（或

9、传递）弯矩，并据此结果绘弯矩图。,7.2 多结点结构的力矩分配,7.2.1 计算步骤,对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，只需依次反复对各结点使用上节的单刚结点运算，就可逐次渐近地求出各杆的杆端弯矩。具体作法是：首先，在所有结点上增设附加刚臂，限制结点位移发生，计算刚结点所连各杆端的分配系数，并计算各杆固端弯矩；然后，逐结点轮流分配、传递，在其它刚结点刚臂有效约束下，对目标结点使用单结点结构的力矩分配法进行计算，直到所有结点上附加刚臂内的约束力矩小到可略去不计时为止；最后，将以上步骤所得各杆端的对应杆端弯矩（包括固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩）叠加，即得所求的杆端弯矩（总弯

10、矩）。一般只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度.,7.2.2 举例,【例7.4】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。EI为常数。,【解】(1) 计算准备计算转动刚度BA杆转动刚度：,BC杆转动刚度：,CD杆转动刚度：,结点B转动刚度：,结点C转动刚度：,计算分配系数对结点B计算：,对结点C计算：,计算固端弯矩AB杆：,BC杆：,计算不平衡力矩,(2) 计算过程,(3) 弯矩图绘制,【例7.5】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。EI为常数。,【解】(1) 计算准备计算转动刚度BA杆转动刚度：,BC杆转动刚度：,CD杆转动刚度：,BE杆转动刚度：,CF杆转动刚度：,结点B转动刚度

11、：,结点C转动刚度：,计算分配系数对结点B计算：,对结点C计算：,计算固端弯矩AB杆：,BC杆：,计算不平衡力矩,(2) 计算过程,(3) 弯矩图绘制,*7.3 多层多跨刚架的近似计算方法,7.3.1 分层计算法,分层计算法适用于多层多跨刚架承受竖向荷载作用时的近似计算。基本简化原则包括：忽略侧移的影响。对于在竖向荷载作用下有侧移的多层多跨刚架，当构件布置和荷载分布相对均匀时，其侧移很小，因而对内力的影响也较小，可忽略不计。忽略每层梁上的竖向荷载对其他各层的影响。在不考虑侧移的情况下，从力矩分配法的过程可以看出，荷载在本层结点产生效应，经过分配和传递，才影响到本层柱的远端；然后，在柱的远端再经

12、过分配，才影响到相邻的楼层。经历了“分配传递分配”三道运算，余下的影响已经很小，因而可以忽略。对于除底层外的各层楼柱计算时，柱的远端约束应该介于刚性约束和弹性约束之间，因此，计算时，若将楼层柱的远端约束视为固端，将会产生一定的误差。为了减小误差的影响，在各个分层刚架中，将上层各柱的线刚度乘以折减系数0.9，并将弯矩传递系数由1/2改为1/3。,7.3.2 反弯点法,反弯点法是多层多跨刚架在水平结点荷载作用下最常用的近似方法，当梁线刚度明显强于柱时其使用误差较小。,图(a)所示水平结点荷载作用下的多层多跨刚架的弯矩图，如(b)所示。其典型特征是各杆的弯矩图都是直线，每杆均有一个反弯点。如能确定各

13、柱反弯点的位置和各柱间的剪力，则各柱端弯矩即可求出，进而可算出梁端弯矩。,(a) 水平结点荷载作用(b) 弯矩图特征,1) 基本简化原则 为了确定反弯点的位置和各柱间的剪力大小，在反弯点法的使用中，一般假定梁的线刚度远远大于柱的线刚度（实际工程中可以i梁/i柱3作为判别标准），即认定,若能满足上述假定，由于荷载作用下刚架内力分布是与杆件之间的相对刚度有关，则可近似认为刚架受力过程中梁的刚度接近无穷大，结点转角为零，只有侧移，计算模型可简化为图(a)所示 .,(a) 反弯点法计算模型(b) 层间剪力的计算 (c) 反弯点位置的确定,2) 层间剪力的确定 因为模型中横梁刚度为无穷大，在受水平荷载作

14、用时，可以直接使用剪力分配法进行层间剪力的计算。 由于梁的约束作用，柱上、下两端均可视为固端，此时，柱的侧移刚度系数为,同层各柱的剪力分配系数为,可求出同层各柱的层间剪力的大小为,3) 反弯点位置的确定 各层柱反弯点的高度与柱上下两端所受约束刚度的相对大小相关。 除底层柱外，各层柱的上下两端受到的约束刚度都较为接近，在不考虑结点角位移的前提下，柱自身的变形为反对称模式，如图7.23(c)所示，反弯点的位置在柱的中点处。 对于底层柱，由于柱顶的约束刚度始终小于基础固定支座的刚度，因此，反弯点的位置会由柱中略往上移，若用于多层结构计算时，一般可简化至基础以上2/3柱高的截面。 在各柱层间剪力和反弯

15、点位置确定后，即可方便地绘出柱的弯矩分布，进而根据柱端的弯矩值和结点的平衡条件确定梁的杆端弯矩大小。中间结点处的梁端弯矩，在梁远端约束条件相同的情况下，可由梁的线刚度按比例来分配柱端弯矩而得。,【例7.6】试用反弯点法计算图示刚架，并作弯矩图，各杆件相对线刚度的大小如图中带圈数字所示。,【解】此刚架受水平结点荷载作用，且 ，可用反弯点法进行近似分析。,(1) 求各柱剪力顶层：由于两柱的线刚度相同，所以剪力分配系数均为1/2，可得,底层：根据各柱剪力分配系数和层间剪力的大小，得,(2) 计算柱端弯矩顶层：,底层：,(3) 计算梁端弯矩,(4) 作弯矩图根据求得的各杆端弯矩作弯矩图，如图所示。,本

16、章小结(1) 力矩分配法适用于计算连续梁和无结点线位移的刚架。力矩分配法的理论基础是位移法，但不需建立和求解结点位移方程组。在单结点力矩分配法计算中，结果是精确解；而在多结点力矩分配法计算时，是一种近似解法，但收敛速度较快（一般只需分配两轮或三轮）。(2) 力矩分配法的基本概念包括在转动刚度、分配系数、传递系数和不平衡力矩之中。通过对不平衡力矩的反号分配和传递，使得结构无论在结点处还是在杆件任意截面位置均达成平衡，这是力矩分配法的基本求解方式。(3) 在多结点结构的力矩分配法的计算中，对其中一个结点进行分配和传递时，其它的结点应保持被刚臂约束的状态，这是为了保证每次计算的是只有一个结点可以转动的单结点结构。由于分配系数和传递系数均小于1，残留约束力矩会快速减小，当满足一定精度要求时，即可终止计算。(4) 分层计算法和反弯点法是适合于手算的近似计算方法。分层计算法适用于竖向荷载单独作用下的近似计算，它将原结构拆分为各层，在不计侧移时，分别用力矩分配法进行计算，并将各柱在上下两个分层中的计算结果进行叠加。反弯点法适用于水平结点荷载作用下，且i梁/i柱3的刚架的近似计算，计算步骤可参照例7.6进行。,