结构力学_8 影响线.ppt

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1、8 影响线,8-1 影响线的概念,一、 移动荷载,例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。,荷载的大小 、方向一定，但荷载位置连续变化的荷载就称为移动荷载。,汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是：一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中力的大小、方向固定，相互间的位置也固定，作为整体在结构上移动。,在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M 、 Q 、 N）和位移（、）及支座反力均随移动荷载在结构上的位置变化而变化。,结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题： (1)对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc）当给定的移动荷

2、载在什么位置时得到最大值？该问题是求移动荷载的最不利位置问题。,(2)对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪个截面的弯矩当移动荷载在什么位置时取得最大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问题。,此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络图的画法等问题。,为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个移动荷载P=1在结构上移动时结构内力和位移的变化规律。,现讨论下图所示简支梁，当单个荷载P=1在梁上移动时，支座A的反力RA的变化规律。,由上式可见，RA与P成正比，比例系数称为RA的影响系数，

3、用 表示，即：,在影响线图形中，横坐标x表示单位移动荷载在梁上的位置；纵坐标y表示当单位荷载在该位置时，影响系数 的大小。,上式是反力影响系数 与移动荷载位置参数x之间的函数关系，该函数图形就称为反力 RA的影响线，见下图。,若梁上作用有固定荷载（见下图），则根据叠加原理，A支座的反力RA为：,当单位集中移动荷载P=1在结构上移动时，表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线，称为Z的影响线。 量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座反力。 影响系数 是Z与P的比例系数，即：,二、 影响线定义,与Z 的量纲不同，它们相差一个荷载P的量纲。,一、简支梁的影响线,（1） 支座反力影响线,8-2 静力

4、法作静定单跨梁影响线,RA影响线,RB影响线,（2） 弯矩和剪力影响线,当P=1在AC段，取CB段作隔离体：,当P=1在CB段，取AC段作隔离体：,MC影响线,截面C弯矩和剪力影响线如下图示。,QC影响线,二、伸臂梁的影响线,作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影响线，然后延伸至悬臂段。,（1） 支座反力影响线,RA及RB的影响线如右图示。,当P=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)：,（2） C截面弯矩及剪力影响线,当P=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：,MC影响线,QC影响线,MC及QC影响线如下图示：,（3） 作QA右及A左截面内力影响线,先作QA右影响线。,QA右影响线如下图示

5、。,当P=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)：,当P=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：,QA右影响线,容易求得QA左及MA左影响线见下图。,小结： 伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是简支段图形的延伸。,如图简支梁AB，荷载P =1在上部纵梁上移动，纵梁支在横梁上，横梁由主梁支承。求主梁AB某截面内力Z的影响线。,由下面的证明可以得出结论： 在结点荷载作用下，主梁截面K某内力Z的影响线在相邻结点之间是一条直线。下面以MK为例加以证明。,8-3 结点荷载作用下梁的影响线,证明：(1)在直接移动荷载作用下，MK的影响线已经画出。当P=1在截面C或D时

6、，可得（见图a) ）,(2)在结点荷载作用下，当移动荷载P=1作用在CD截面之间时，根据叠加原理可得（图b)：,可见， 是 的一次函数，也是x的一次函数。所以，MK影响线在结点C、D之间是一直线。,结点荷载作用下 MK影响线如下图c)所示：,作结点荷载下影响线的步骤为：(1)作截面K的某量值Z在直接移动荷载下的影响线，并确定与各结点对应的竖标。(2)确定与各结点对应的竖标，在两结点之间连以直线，就得到结点荷载作用下的影响线。,在结点荷载作用下， QK影响线如下图所示：,QK影响线,平面桁架只承受结点荷载，单位移动荷载P=1通过纵梁横梁（横梁放置在结点上）系统传给桁架结点，如同前面讨论的简支梁受

7、结点荷载的情况一样。因此，桁架任一杆的轴力影响线在两结点之间是一直线。 求桁架杆件轴力的影响线时，把单位移动荷载P=1依次作用在各结点上，用结点法或截面法求出杆件的轴力即可。,8-4 静力法作桁架的影响线,例8-1 作图示桁架N1N2的影响线。,解：(1）支座反力RARB的影响线与跨度为5d 的简,支梁相同。,(2) 求N1的影响线（上承）,当P=1在结点C左侧，取截面II以右为隔离体：,当P=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：,求N1的影响线（下承）,当P=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：,当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：,（3) 求N2的影响线（上承）,当

8、P=1在结点C左侧，取截面I-I以右为隔离体：,当P=1在结点D右侧，取截面I-I以左为隔离体：,相应简支梁节间CD的剪力。,求N2的影响线（下承）,当P=1在结点E左侧，取截面I-I以右为隔离体：,当P=1在结点F右侧，取截面I-I以左为隔离体：,相应简支梁节间EF的剪力。,8-5 机动法作静定梁的影响线,机动法作静定结构影响线是应用虚功原理把求影响线的静力平衡问题转化为作刚体位移图的几何问题。 对于单跨或多跨梁，由于刚体位移图很容易确定，所以影响线的求解十分简捷。,机动法作影响线的原理和步骤,（1）撤去与 相应的约束，代之以反力 ， 原结构变成具有一个自由度的机构。,（2）令该机构产生刚体

9、位移，使 与Z方向一致，则虚功方程为：,上式中， 恒为正； 与P同向为正，反向为负。乘积 的正负号由 的正负号调整。,可见，在 图中，令 ，并将 图反号，就求得 Z的影响线，并且能确定影响线的正负号及竖标大小。,（3） 由上式可得:,令,得到,解：,（1） 作MC的影响线,将C截面变为铰结，暴露出弯矩 ；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面相对转角与 同向，就得到 图，见下页图。,虚功方程为:,令,则,上式表明，在 图中，令 并反号，就可求得MC影响线。,（2） 作QC的影响线,将C截面改为滑动连结，暴露出剪力 ；令该机构产生刚体位移，使C左、右截面位移方向与 相同，就得到 图，见下页图。,虚

10、功方程为:,令,则,上式表明，在 图中，令 并反号，就可求得QC影响线。,例 8-3 用机动法作图示静定多跨梁的影响线。,解：,8-6 影响线的应用,一、求各种固定荷载作用下的影响,若已求得指定截面某量值Z的影响线，根据叠加原理，就可以求得固定荷载作用下该量值Z的大小。,右图示梁截面C弯矩MC的影响线已求出，求固定荷载作用下MC的值。,一组集中荷载：,均布荷载：,把单个集中移动荷载放在影响线的最大或最小竖标位置，就得到最不利荷载位置，进而求得Zmax或Zmin 。,二、最不利荷载位置,使结构指定截面的某量值Z达到最大值Zmax或最小值Zmin时实际移动荷载的位置，称为最不利荷载位置。,（1）

11、单个集中移动荷载,对于剪力QC影响线，将集中力P放在截面C，见右图，就得到：,对于伸臂梁的MC影响线（见下图），将FP分别放在截面C和E，就得到：,（2） 可任意布置的均布活荷载,可任意布置的均布活荷载通常指人群荷载。在影响线正号部分布满均布活载，可以求得Zmax；在影响线负号部分布满均布活载，可以求得Zmin。,（3） 一组移动集中荷载,一组移动集中荷载：各集中力的大小、方向及相互间的距离均保持不变，作为整体在结构上移动。 为了确定最不利荷载位置，原则上使排列密集、数值较大的集中力放在影响线竖标较大的部位，而且一定有一个集中力位于影响线的某个顶点上。 为确定最不利荷载位置，通常分两步：求出使

12、Z达到极值的荷载位置。这种荷载位置称为荷载的临界位置，而且可能不止一个。,从Z的极大值中选出最大值，从Z的极小值中选出最小值，从而确定最不利荷载位置。 下面以多边形影响线为例，说明临界荷载位置的特点及其判定方法。,因为 是x的一次函数，所以Z也是x的一次函数。若荷载右移动x，则竖标 的增量为：,则Z的增量为：,在影响线图中，10，20， 30。,由上面影响线图可得出:,因为Z是x的一次函数，所以Z-x图形是折线图形。于是Z/x是折线图形中各折线段的斜率。对于折线图形，极值发生在使Z/x变号的尖点处。,若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极大值， 则：,若移动荷载组在某位置刚好使Z取得极小值，则：,

13、总之，当荷载在Z的极值点位置稍向左、右移动时， 必须变号。如何使 变号？ 是常数，可以变化的只是Ri。为了使Ri变化，必须有一个集中力位于影响线的顶点，此荷载记作Rcr，当Rcr位于影响线的顶点以左或以右时，会引起Ri发生变化，如下图示。,当移动荷载组左右移动时，能使 改变符号的荷载Pcr称为临界荷载，相应的移动荷载组的位置称为临界位置。,在给定的移动荷载组中，能使 变号的临界荷载可能不止一个。确定最不利荷载位置的步骤如下：,（1) 选定一个集中力作为Pcr，使它位于影响线的一个顶点上；（2）当Pcr稍作左右移动时，分别计算 的值。若变号，则此Pcr即为一临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。用

14、同样的方法可以确定其它的Pcr及相应的荷载临界位置。,（3) 对于每个荷载临界位置求出相应的Z值，比较各个Z值，可确定Zmax及Zmin，进而确定相应的最不利荷载位置。,例8-4 如下图多边形影响线及移动荷载组，试求荷载最不利位置和Z的最大值。已知q=37.8kN/m， P1=P2=P3=P4=P5=90kN。,Z的影响线,1）将P4放在影响线的最大点，移动荷载组的位置如下图示。2）计算 。,解：,Z的影响线,若荷载稍向右移，各段荷载合力为：,Z的影响线,若荷载稍向左移，各段荷载合力为：,Z的影响线,因为 变号，故P4为临界荷载，相应的荷载位置为临界位置。,3）计算Z值,容易确定只有P4是临界

15、荷载，所以相应的荷载位置就是最不利荷载位置。,对于三角形影响线，确定荷载的临界位置比较简便。选一集中力放在Z的影响线顶点，使Z取得极大值的条件为：,当荷载稍向右移时，,当荷载稍向左移时，,将tg =c/a及tg = -c/b代入上两式：,上式表明，荷载临界位置的特征是：有一集中荷载Pcr位于影响线的顶点，Pcr计入哪一边，哪一边荷载的平均集度就大。,例8-5 求反力RB的最大值并确定最不利荷载位置。 P1=P2=478.5kN，P3=P4=324.5kN。,解：（1）PB的影响线如上图示。（2）将P2当作Pcr放在影响线顶点。,PB的影响线,所以P2是临界荷载。,（3）将P3当作Pcr放在影响线顶点：,RB的影响线,所以：,相应的荷载位置为最不利荷载位置。,所以P3也是临界荷载。,PB的影响线,本章小结,(1)应搞清内力影响线和内力图的区别。(2)影响线的绘制方法静力法和机动法。(3)影响线的应用：计算影响量值；确定荷载的最不利位置。,