数学建模和数学建模竞赛.pdf

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1、什么是数学建模？什么是数学建模？引言引言数学模型数学模型 (Mathematical(Mathematical Model)Model)这个名词这个名词( (术语术语) )早就为科学界、工程界早就为科学界、工程界, , 甚至经济学界所甚至经济学界所熟知熟知, , 因为他们就是用这种方法来研究他们要因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的处理解决的问题的 , , 也就是通过近似表示他们也就是通过近似表示他们要处理解决的复杂问题要处理解决的复杂问题 数学模型数学模型 来解来解决决 问问 题题 的的 . . 不不 过过 , , 数数 学学 建建 模模 (Mathematical(Mathe

2、maticalModeling)Modeling)这个名词这个名词( (术语术语) )大概是上世纪大概是上世纪 6060 年代年代才出现并迅速流行开来才出现并迅速流行开来 , , 虽然不能说无人不晓虽然不能说无人不晓数学模型和数学建模这两个名词数学模型和数学建模这两个名词 , , 但是至少可但是至少可以说以说, , 他们已经是无处不在的了他们已经是无处不在的了, , 甚至普通的报甚至普通的报刊上也常常出现这两个名词刊上也常常出现这两个名词. .数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁. .数学模型数学模型(Mathematical Model)(Mathemat

3、ical Model)是用数学符号对是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的一类实际问题或实际系统发生的现象的( (近似的近似的) )描述。描述。而数学建模而数学建模(Mathematical Modeling)(Mathematical Modeling)则是则是获得该模型、获得该模型、 求解该模型并得到结论以及验证结求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程。论是否正确的全过程。 数学建模不仅是了解系统数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工具，的基本规律的强有力的工具， 而且从应用的观点而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为来看更重要的是预测和控制所建

4、模系统的行为的强有力的工具。的强有力的工具。许多这样的物理现象，许多这样的物理现象，常常是常常是从某个实际问题的简化的数学模型的求解中发从某个实际问题的简化的数学模型的求解中发现，并给予明确的数学表述，例如，混沌、孤立现，并给予明确的数学表述，例如，混沌、孤立子、奇异吸引子等。子、奇异吸引子等。查一下英文字典和百科全书对了解模型和建模查一下英文字典和百科全书对了解模型和建模也有好处。也有好处。英汉大词典英汉大词典 ( (缩印本缩印本), ), 上海译文出版社上海译文出版社, 1991, 1991第第 1 1 版版, 2001, 2001 第第 1010 次印刷次印刷, p. 1153., p.

5、 1153.ModelModel n.n. 11.11.【数】【数】 【逻】【逻】 ( (用作分析、阐明事物用作分析、阐明事物的的) )模型模型: a macroeconomic : a macroeconomic 宏观经济模型宏观经济模型constructconstruct mathematicalmathematical ss toto understandunderstand thethenaturenature ofof evolutionevolution构建数学模型以理解进化构建数学模型以理解进化的性质的性质. .vt vt. . 6. 6. 作出作出( (现象、系统等现象、系统等

6、) )的模型的模型( (通常指数学模通常指数学模型型). ).ModelingModeling = = ModellingModelling n. 1. n. 1. 模型制造模型制造( (法法); ); 塑像塑像( (术术); ); 造型造型( (术术); ); 5.5. 【数】【数】 【逻】模型设计【逻】模型设计 : :mathematical mathematical 数学模型设计数学模型设计. .词源：词源：Hodge W. (2005) ,Model theory (entry),Hodge W. (2005) ,Model theory (entry),http:/plato.sta

7、nford.eduhttp:/plato.stanford.edu provides a concise provides a concisedescription of how the word originated as welldescription of how the word originated as wellas different uses for the word.as different uses for the word.在晚期的拉丁文中，在晚期的拉丁文中， “modellusmodellus”是一种，例如，”是一种，例如，计量水或牛奶的计量器具。由于语言的变化莫计量水

8、或牛奶的计量器具。由于语言的变化莫测，在英语中该词生成了三个词：测，在英语中该词生成了三个词：mould(mould(模具模具), ),module(module(单元、模块单元、模块), model(), model(模型模型) )。常常有一个常常有一个计量物质量的器具也给予了该物质一种外形。计量物质量的器具也给予了该物质一种外形。 我我们从奶酪模具，们从奶酪模具， 也从把墨水带到要印的纸张上去也从把墨水带到要印的纸张上去的金属字模的金属字模( (在在 1717 世纪早期也称为“世纪早期也称为“modulimoduli”) )。而而 modelmodel 意味着手上的一个物体，意味着手上的一

9、个物体， 它表示现实世它表示现实世界中所设计的物体；画家的模型就是他所画的界中所设计的物体；画家的模型就是他所画的画；雷恩爵士的画；雷恩爵士的圣保罗大教堂的圣保罗大教堂的“模块”是用作“模块”是用作建造者的指南。建造者的指南。In late Latin a modellus was a measuringIn late Latin a modellus was a measuringdevice, for example to measure water or milk.device, for example to measure water or milk.By the vagaries o

10、f language, the wordBy the vagaries of language, the wordgenerated three words in English: mould,generated three words in English: mould,module, model. Often a device that measuremodule, model. Often a device that measureout a quantity of a substance also imposes aout a quantity of a substance also

11、imposes aform on the substance. We see this with aform on the substance. We see this with acheese mould, and also the metal letterscheese mould, and also the metal letters(called the moduli in the early 17th century)(called the moduli in the early 17th century)that carry ink to paper in printing. So

12、 modelthat carry ink to paper in printing. So modelcomes to mean an object in hand thatcomes to mean an object in hand thatexpresses the design of some other objects inexpresses the design of some other objects inthe world; the artists model carries the formthe world; the artists model carries the f

13、ormthat the artist depicts, and Christopherthat the artist depicts, and ChristopherWrens module of St Pauls Cathedral servesWrens module of St Pauls Cathedral servesto guide the builders.to guide the builders. 1.11.1，The Language of Dynamic System Modeling,The Language of Dynamic System Modeling,Han

14、dbook of Dynamic System ModelingHandbook of Dynamic System Modeling Cpaman & Cpaman &Hall/CRCHall/CRC，edited by Paul. A. Fishwick, 2007edited by Paul. A. Fishwick, 2007，p. 1-1.p. 1-1.数学建模本身并不是什么新发现。数学建模本身并不是什么新发现。 纵观科学技术纵观科学技术发展史，发展史， 我们可以看到数学建模的思想和方法是我们可以看到数学建模的思想和方法是自古以来天文学家、自古以来天文学家、物理学家、物理学家、数学家

15、等用数学数学家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主要方法。作为工具来解决各种实际问题的主要方法。不过数学建模不过数学建模(Mathematical Modeling)(Mathematical Modeling)这个术这个术语的出现和频繁使用是语的出现和频繁使用是2020世纪世纪6060年代以后的事年代以后的事情。很重要的原因是，由于计算的速度、精度和情。很重要的原因是，由于计算的速度、精度和可视化手段等长期没有解决可视化手段等长期没有解决, , 以及其他种种原以及其他种种原因，导致有了数学模型，但是解不出来，者算不因，导致有了数学模型，但是解不出来，者算不出来或不能及时地算出来，出来或不能

16、及时地算出来， 更不能形象地展示出更不能形象地展示出来，来， 从而无法验证数学建模全过程的正确性和可从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性，用性，数学建模的重要性逐渐被人数学建模的重要性逐渐被人 淡忘淡忘 了。了。然然而，恰恰是在而，恰恰是在 2020 世纪后半叶，计算机、计算速世纪后半叶，计算机、计算速度和精度，度和精度，并行计算、并行计算、网络计算等计算技术以及网络计算等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展其他技术突飞猛进的飞速发展, , 给了数学建模给了数学建模这一技术以极大的推动这一技术以极大的推动, , 不仅重新焕发了数学不仅重新焕发了数学建模的活力，建模的活力， 更是如虎添翼

17、地显示了数学建模的更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。强大威力。而且，而且，通过数学建模也极大地扩大了通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。数学的应用领域。 甚至在抵押贷款和商业谈判等甚至在抵押贷款和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和方法。日常生活中都要用到数学建模的思想和方法。 人人们越来越认识到数学和数学建模的重要性。们越来越认识到数学和数学建模的重要性。 学习学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生，代大学生，甚至生活在现代社会的每一个人，甚至生活在现代社会的每一个人，必必须学习的重要内容。须学习的重要内容。 以下我们

18、只是引用一些专家以下我们只是引用一些专家的论述来说明这一点。的论述来说明这一点。 没有数学建模的广泛应用就不可能设想会有现没有数学建模的广泛应用就不可能设想会有现代科学。代科学。 数学建模的方法的本质就是把原来的对数学建模的方法的本质就是把原来的对象用它的象用它的 象象 数学模型来替代，数学模型来替代，并在计算并在计算- -逻逻辑算法的帮助下深入研究该模型。辑算法的帮助下深入研究该模型。研究、研究、构造和构造和设计的这个设计的这个 第三种方法第三种方法 把理论和实验的优势把理论和实验的优势都结合在一起了。都结合在一起了。 不是对对象本身而是对它的模不是对对象本身而是对它的模型进行研究就能使我们

19、便宜地、型进行研究就能使我们便宜地、 容易地和快速地容易地和快速地在任何可以想象到的情景下研究模型的性质和在任何可以想象到的情景下研究模型的性质和行为行为( (这是理论的优势这是理论的优势) )。同时也要感谢现代计算。同时也要感谢现代计算方法的威力对模型的数值实验就能得到纯理论方法的威力对模型的数值实验就能得到纯理论的方法不能得到的有关对象的仔细和深入的研的方法不能得到的有关对象的仔细和深入的研究究( (这是实验的优势这是实验的优势) )。数学建模的方法在覆盖着。数学建模的方法在覆盖着从技术系统的研制及其控制到复杂的经济和社从技术系统的研制及其控制到复杂的经济和社会发展过程的分析的新领域得到广

20、泛的研究是会发展过程的分析的新领域得到广泛的研究是不足为奇的。不足为奇的。A. A. Samarskii, A. P. Mikhailov,A. A. Samarskii, A. P. Mikhailov,Principles of MathematicalPrinciples of MathematicalModelingModelingIdeas, Methods, ExamplesIdeas, Methods, Examples ( (数学建模的原理数学建模的原理 思想、方法、例子思想、方法、例子), Taylor & Francis, 2002, pp.1), Taylor & Fra

21、ncis, 2002, pp.1 5. 5. 把对外部世界各种现象或事件的研究化归为把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法数学问题的数学建模的方法在各种研究方法, ,特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中, ,占有主导地位占有主导地位. . 数学建模的方法能使人们在解数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段可行的新的技术手段, , 并且能预测新的现实。并且能预测新的现实。A.A. H. ,H. ,Mathematical Model

22、Mathematical Model, , Encyclopaedia ofEncyclopaedia ofMathematicsMathematics, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3,pp.784-785.pp.784-785. 中译本：中译本：数学百科全书数学百科全书 ， 第三卷第三卷， pp. 647pp. 647 648, 648,“数学模型”条目，科学出版社“数学模型”条目，科学出版社，19971997。 一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学一切

23、科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算科学的更多的内容和计算科学的更多的内容 . . 数学建模和与之相数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。 科学科学家正日益依赖于计算方法，家正日益依赖于计算方法， 而且在选择正确的数而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验。面必须具有足够的经验。 对工程师和科学家的数对工程师和科学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实。学教育需要变革以反映这一新的现实。A. Friedman, J. Glimm, J. Lavery,A.

24、Friedman, J. Glimm, J. Lavery, The mathematical andThe mathematical andcomputational sciences in emerging manufacturingcomputational sciences in emerging manufacturingtechnologies and management practicestechnologies and management practices ( (新兴的的制造技术新兴的的制造技术和管理实践中的数学和计算科学和管理实践中的数学和计算科学) ) SIAM Re

25、port onSIAM Report onIssues in the Mathematical Sciences, SIAM, 1992, pp. 62-63.Issues in the Mathematical Sciences, SIAM, 1992, pp. 62-63.数学建模的主要步骤数学建模的主要步骤数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1 1 对某个实际问题进行观察、分析对某个实际问题进行观察、分析( (是否抓住是否抓住主要方面主要方面); );2 2 对实际问题进行必要的抽象、对实际问题进行必要的抽象、简化，简化， 作出合作出合理的假设

26、理的假设( (往往是很不容易的往往是很不容易的); );3 3 确定要建立的模型中的变量和参数确定要建立的模型中的变量和参数; ;4 4根据某种根据某种 规律规律( ( 已知的各学科中的定律已知的各学科中的定律, , 甚甚至是经验的规律至是经验的规律) )，建立变量和参数间确定，建立变量和参数间确定的数学关系的数学关系 ( (明确的数学问题或在这个层明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型次上的一个数学模型), ), 这可能是一个非常这可能是一个非常具有挑战性的数学问题具有挑战性的数学问题; ;5 5 解析或近似地求解该数学问题解析或近似地求解该数学问题. . 这往往涉及这往往涉及复杂的数学

27、理论和方法复杂的数学理论和方法, , 近似方法和算法近似方法和算法; ;6 6 数学结果能否展示、数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某种方法（例如，历史中出现的现象，或用某种方法（例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等）来验证数据、实验数据或现场测试数据等）来验证结果是否正确结果是否正确( (这也是很不容易的这也是很不容易的); );7 7 如果第如果第 6 6 步的结果是肯定的，那么就可以步的结果是肯定的，那么就可以付之试用付之试用; ; 如果是否定的，如果是否定的， 那就要回到第那就要回到第 1 1 6 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。步进

28、行仔细分析，重复上述建模过程。因此，因此， 如果要对数学建模下定义的话，如果要对数学建模下定义的话， 那就是那就是: :数学建模就是上述数学建模就是上述 7 7 个步骤的多次重复执行的个步骤的多次重复执行的过程。过程。或用框图来表示如下：或用框图来表示如下：观察、分析观察、分析实际问题实际问题 抽象、简化，抽象、简化，确定变量和参数确定变量和参数 利用某种利用某种 定律定律 建立变量和参数间建立变量和参数间的确定的关系的确定的关系( (数学数学问题问题, , 这个层次上这个层次上的一个数学模型的一个数学模型) ) 解析或解析或 近似近似 地求地求解该解该数学问题（数学数学问题（数学模型）模型）

29、 解释、验证解释、验证 通不过通不过 通过通过 可应用该数学可应用该数学模型模型定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程。定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程。由此可见由此可见, , 数学建模过程中最重要的三个要素数学建模过程中最重要的三个要素, ,也是三个最大的难点是也是三个最大的难点是: :1. 1.怎样从实际情况出发作出合理的假设，怎样从实际情况出发作出合理的假设， 从而得从而得到可以执行的合理的数学模型；到可以执行的合理的数学模型；2. 2.怎样简明、怎样简明、合理、合理、快捷求解模型中出现的数学快捷求解模型中出现的数学问题，它可能是非常困难的问题；问题，它可能是非常困难的问题；3

30、. 3.怎样验证模型是合理、正确、可行的。怎样验证模型是合理、正确、可行的。所以，所以，当你看到一个数学模型时，当你看到一个数学模型时，就一定要问问就一定要问问或者想一想它的假设是什么，或者想一想它的假设是什么， 是否合理？模型中是否合理？模型中的数学问题的求解是否很难，的数学问题的求解是否很难， 数学上是否已经解数学上是否已经解决？怎样验证该模型的正确性与可行性？当你决？怎样验证该模型的正确性与可行性？当你亲自参加数学建模时牢记这三条，亲自参加数学建模时牢记这三条， 一定会受益匪一定会受益匪浅。浅。( (注注 1)1)从简单到精细从简单到精细在建模过程中还有一条不成文的原则：在建模过程中还有

31、一条不成文的原则： 从从简单到精细简单到精细 ，也就是说，首先建立一个比较简，也就是说，首先建立一个比较简单但尽可能合理的模型，单但尽可能合理的模型， 对该模型中的数学问题对该模型中的数学问题有可能解决，有可能解决， 从而有可能做到仅仅通过实验观察从而有可能做到仅仅通过实验观察不可能做到的事，不可能做到的事，甚至发现重要的现象。甚至发现重要的现象。如果在如果在求解该模型的结果不合理，求解该模型的结果不合理，甚至完全错误，甚至完全错误，那么那么它也有可能告诉我们如何改进的方向。它也有可能告诉我们如何改进的方向。( (注注 2)2) 双向翻译双向翻译 的能力的能力要想比较成功地运用数学建模去解决真

32、正要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题的实际问题, , 还要学习还要学习 双向翻译双向翻译 的能力的能力, , 即能即能够把实际问题用数学的语言表述出来够把实际问题用数学的语言表述出来 , , 而且能而且能够把数学建模得到的够把数学建模得到的( (往往是用数学形式表述的往往是用数学形式表述的) )结果结果, , 用普通人用普通人( (或者说要应用这些结果的非数或者说要应用这些结果的非数学专业的人士学专业的人士) )能够懂的语言表述出来能够懂的语言表述出来. .通常人们按照问题的性质出发把数学模型通常人们按照问题的性质出发把数学模型分为分为: : 确定性模型和随机模型确定性模型和随机模

33、型, , 离散和连续模型离散和连续模型; ;按照从机理还是经验按照从机理还是经验 ( (数据数据) )出发来建模出发来建模 , , 分为分为: :机理模型和经验模型机理模型和经验模型 ; ; 按照模型中出现的数学按照模型中出现的数学问题问题, , 分为分为: : 优化模型优化模型, , 图论模型图论模型, , 微分方程模微分方程模型型, , 概率模型等等概率模型等等. . 还可以论述还可以论述: : 怎样从子模型怎样从子模型构造总体模型构造总体模型, , 抽象成为数学问题的种种手段、抽象成为数学问题的种种手段、方法和技巧方法和技巧 . . 各行各业的数学模型和建模技巧各行各业的数学模型和建模技

34、巧千千万万千千万万. .MichaelMichael Mesterton-GibbonsMesterton-Gibbons 曾曾在在其其著著作作 A AConcrete Approach to Mathematical ModellingConcrete Approach to Mathematical Modelling( (数数学建模的具体方法学建模的具体方法), ), Addison-Wesley,Addison-Wesley, 1989,1989, pp.pp.xixxix xx. xx. 中讲到建模的中讲到建模的 ABCABC (Assume, Borrow,(Assume, Bor

35、row,Critize)Critize) 也强调了假设等的重要性，值得参考。也强调了假设等的重要性，值得参考。 A A 就是假设就是假设如果你的数学经验教给你的是，如果你的数学经验教给你的是，永远不要永远不要假设没有向你提供的前提或事实，假设没有向你提供的前提或事实，那么本书将那么本书将会使你感到吃惊。会使你感到吃惊。( (在建模过程中在建模过程中) )给你的假设给你的假设或事实极少是足够的，或事实极少是足够的，所以你必须作出一些假所以你必须作出一些假设设 有关什么是重要的以及什么是不重要有关什么是重要的以及什么是不重要的，确信什么是超出了可以合理怀疑的范围，的，确信什么是超出了可以合理怀疑的

36、范围，以及什么是迄今仍未解决的问题。确实，在非以及什么是迄今仍未解决的问题。确实，在非常现实的意义下，常现实的意义下，模型就是你所作出的若干假模型就是你所作出的若干假设。数学能够使你从这些假设推断出结论，这设。数学能够使你从这些假设推断出结论，这些结论，些结论， (a)(a)不用数学推断的话不会那么清晰可不用数学推断的话不会那么清晰可见，见， (b)(b)能够和你们的数学模型试图去解释的物能够和你们的数学模型试图去解释的物理现象的观测数据进行比较。理现象的观测数据进行比较。两者符合的程度两者符合的程度决定了该模型的价值。两者符合很差不见得决定了该模型的价值。两者符合很差不见得( (不应该不应该

37、!) !)表示你所用到的数学是错误的，表示你所用到的数学是错误的，而可而可能是你所作的一个能是你所作的一个( (或多个或多个) )假设的有效性令人假设的有效性令人怀疑。于是你就要修改你的模型怀疑。于是你就要修改你的模型 ( (即修改你所即修改你所作的假设作的假设) )，建模的步骤就要再执行一遍。，建模的步骤就要再执行一遍。B B 就是借鉴就是借鉴为什么要借呢？数学模型就是企图通过为什么要借呢？数学模型就是企图通过抽象的形式来抓住所观察现象的本质性的特抽象的形式来抓住所观察现象的本质性的特征。这种企图能否成功很大征。这种企图能否成功很大( (如果不是更大如果不是更大) )程程度上取决于建模者对那

38、些现象的经验知识以度上取决于建模者对那些现象的经验知识以及她或他的数学能力。如果你既没有这些知及她或他的数学能力。如果你既没有这些知识，又没有时间来获得这些知识的话，你该怎识，又没有时间来获得这些知识的话，你该怎么办呢？回答是从科学文献或比你更有经验么办呢？回答是从科学文献或比你更有经验的同事那里借来你需要的假设的同事那里借来你需要的假设( (当然当然, ,务必要感务必要感谢你的这种资料的来源和出处谢你的这种资料的来源和出处). ).在对有影响的在对有影响的人物应有的尊敬的同时，人物应有的尊敬的同时，比之于从零开始的做比之于从零开始的做法更为现实的做法是在现有明显的基础上进法更为现实的做法是在

39、现有明显的基础上进行建模。所以你一定要准备好不客气地借鉴。行建模。所以你一定要准备好不客气地借鉴。但是这样做会有危险，但是这样做会有危险，即你太轻易地接受了出即你太轻易地接受了出版物中结论的权威性的危险。因此版物中结论的权威性的危险。因此 C C 就是批判和分析就是批判和分析你还必须准备好批判；你还必须准备好批判；准备好不仅批判你准备好不仅批判你自己所作的假设也要批判从别处借鉴来的假自己所作的假设也要批判从别处借鉴来的假设。设。 谁来判定这些假设是对还是错呢？回答就谁来判定这些假设是对还是错呢？回答就是你来判定！建模是一种多次反复的过程。你是你来判定！建模是一种多次反复的过程。你从假设或借鉴开

40、始；从假设或借鉴开始；借助于数学的帮助你得到借助于数学的帮助你得到了结论；你批判分析这些结论；如果你对结论了结论；你批判分析这些结论；如果你对结论不满意，那么你就再次作假设或借鉴，再次得不满意，那么你就再次作假设或借鉴，再次得到结论并进行批判分析，到结论并进行批判分析，如此重复执行这个过如此重复执行这个过程直到你满意的结论程直到你满意的结论( (模型能够解释观察结果模型能够解释观察结果) )为止。切莫忘记为止。切莫忘记A, B, C,A, B, C, 假设，借鉴，批判和假设，借鉴，批判和分析分析 。FredericFrederic Y.Y. M.M. Wan(Wan(温温耀耀明明), ), M

41、athematicalMathematicalModels and Their Formulation(Models and Their Formulation(数学模型及其形数学模型及其形成成), ), HandbookHandbook ofof AppliedApplied MathematicsMathematics Selected Results and Methods(Selected Results and Methods(应用数学手册应用数学手册 精选的结果和方法精选的结果和方法) ) , 2, 2 Edition, edited by Carl Edition, edited

42、 by CarlE.E.Pearson,Pearson,VanVan NostrandNostrandReinhold,Reinhold, 1990,1990,Chapter 19, pp. 1044Chapter 19, pp. 1044 1139. 1139.他在该书他在该书 p.1048p.1048的一段话对我们有很大的启发，的一段话对我们有很大的启发，即即 不完全的模型仍然是有用的，因为从这些模不完全的模型仍然是有用的，因为从这些模型中获得的信息往往提供了对实际现象某型中获得的信息往往提供了对实际现象某些方面的洞察。些方面的洞察。在某种程度上，在某种程度上，在诸如社会在诸如社会和生物科

43、学中没有面面俱到的模型，和生物科学中没有面面俱到的模型， 对复杂对复杂的社会和生物变化的过程的有效研究通常的社会和生物变化的过程的有效研究通常是从最简单但也是重要的数学模型开始的。是从最简单但也是重要的数学模型开始的。包括具有附加作用和特征的更为精细的模包括具有附加作用和特征的更为精细的模型是在对比较简单的模型的透彻的了解之型是在对比较简单的模型的透彻的了解之后形成并进行分析的。后形成并进行分析的。 模型序列的选取通常模型序列的选取通常是从各种基本的机理的相对重要性中得到是从各种基本的机理的相对重要性中得到启发的。启发的。 可以利用的能够分析不同类型模型可以利用的能够分析不同类型模型的数学方法

44、也会对模型序列的选取有影响。的数学方法也会对模型序列的选取有影响。对于先前未曾接触过或者很少探索过的领对于先前未曾接触过或者很少探索过的领ndnd域的科学研究而言，域的科学研究而言， 科学发展的历史极大地科学发展的历史极大地表明了表明了 从简单到精细从简单到精细 的方法的重要性。的方法的重要性。 *简明不列颠百科全书卷简明不列颠百科全书卷 7, 7,p. 547.p. 547.ModellingModelling塑造艺术，是一种采用塑性材料用塑造艺术，是一种采用塑性材料用手工塑造成型的雕塑。黏土和腊是常用的材料；手工塑造成型的雕塑。黏土和腊是常用的材料；造型时虽常用金属和木制小工具，造型时虽常

45、用金属和木制小工具， 但艺术家的手但艺术家的手则是主要工具。则是主要工具。 埃及和近东发现的史前陶制小塑埃及和近东发现的史前陶制小塑像说明塑造艺术是一种古老的雕塑形式。像说明塑造艺术是一种古老的雕塑形式。 塑造和塑造和雕刻相反，雕刻相反，它是一种添加性工艺。它是一种添加性工艺。它不同于雕刻它不同于雕刻之处，之处，在于在塑造过程中可以修正形象。在于在塑造过程中可以修正形象。但其成但其成品如烧制的陶制品或腊制品却不如木石雕刻品品如烧制的陶制品或腊制品却不如木石雕刻品耐久。耐久。 塑造的艺术品也可以借助机械加工方法再塑造的艺术品也可以借助机械加工方法再制成石制品或用铸造方法再制成金属制品。制成石制品

46、或用铸造方法再制成金属制品。因此数学建模因此数学建模 MathematicalMathematical modelingmodeling也可以也可以形象地翻译为形象地翻译为 数学的塑造艺术数学的塑造艺术 。*简明不列颠百科全书卷简明不列颠百科全书卷 7, pp. 3667, pp. 366 367, 367, 中中国大百科全书出版社国大百科全书出版社, , 北京北京 上海上海, 1986, 4., 1986, 4.数学模型数学模型Mathematical ModelMathematical Model用来指明下述两种完全不同的数学表示的用来指明下述两种完全不同的数学表示的一般术语，就物理意义而

47、言，数学模型包括：制一般术语，就物理意义而言，数学模型包括：制作由纸板、作由纸板、木头、木头、塑料或其他材料制成的平面和塑料或其他材料制成的平面和立体几何的图形；立体几何的图形；由铁丝、由铁丝、灰泥或张在框架上的灰泥或张在框架上的线做成的二次曲线，各种空间曲线和空间曲面；线做成的二次曲线，各种空间曲线和空间曲面；以及高阶曲面的模型，以及高阶曲面的模型， 给予物理实体以抽象的数给予物理实体以抽象的数学概念。学概念。这个术语的第二种用法是理论和分析意义这个术语的第二种用法是理论和分析意义下的模型，下的模型， 也许是更重要的一类模型。也许是更重要的一类模型。 本质上说，本质上说，在物理和生物世界中的

48、任何现实情形，在物理和生物世界中的任何现实情形， 无论它是无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，天然的或是与技术和人的干预有关的， 只要它可只要它可以用定量的术语来描述，以用定量的术语来描述， 就能够通过建立模型使就能够通过建立模型使它服从解析的规律。它服从解析的规律。 例如最优化和控制可用来对例如最优化和控制可用来对工业问题、工业问题、交通模式、交通模式、河流中沉积物的输送和其河流中沉积物的输送和其他情形建立模型；他情形建立模型； 信息和通讯理论可以用来对信信息和通讯理论可以用来对信息传输、语音特征和其他类似的问题建立模型；息传输、语音特征和其他类似的问题建立模型；而量纲分析和计算机模拟

49、可以用来对大气环流而量纲分析和计算机模拟可以用来对大气环流模式、模式、工程结构中的压力分布、工程结构中的压力分布、地形的形成以及地形的形成以及在科学和工程中许多其他过程来建立模型。在科学和工程中许多其他过程来建立模型。*A. H. ,A. H. ,Mathematical ModelMathematical Model , ,Encyclopaedia of MathematicsEncyclopaedia of Mathematics, Kluwer, KluwerAcademic Publishers, 1995, Vol. 3, pp.784-785.Academic Publisher

50、s, 1995, Vol. 3, pp.784-785.中译本：中译本： 数学百科全书第三卷，科学出版社，数学百科全书第三卷，科学出版社，19971997，647-648.647-648.数学模型数学模型对外部世界某类现象用数学符号体系表示对外部世界某类现象用数学符号体系表示的一种的一种( (近似的近似的) )描述。数学模型是认识外部世界描述。数学模型是认识外部世界与预测和控制的一个有力工具。与预测和控制的一个有力工具。 数学模型的分析数学模型的分析能够深入了解被研究对象的本质。数学建模能够深入了解被研究对象的本质。数学建模(Mathematical Modeling)(Mathematica