2013年中考数学试卷分类汇编 解直角三角形（方位角问题）.doc

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1、 1方位角方位角1、（2013 年潍坊市）一渔船在海岛 A 南偏东 20方向的 B 处遇险，测得海岛 A 与 B 的距 离为 20 海里，渔船将险情报告给位于 A 处的救援船后，沿北偏西 80方向向海岛 C 靠近. 同时，从 A 处出发的救援船沿南偏西 10方向匀速航行.20 分钟后，救援船在海岛 C 处恰 好追上渔船，那么救援船航行的速度为（ ）.A.310海里/小时 B. 30 海里/小时 C.320海里/小时 D.330海里/小时答案：D 考点:方向角，直角三角形的判定和勾股定理. 点评;理解方向角的含义，证明出三角形 ABC 是直角三角形是解决本题的关键.2、 （2013株洲）如图是株

2、洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是（ ）A 炎陵位于株洲市区南偏东约 35的方向上B 醴陵位于攸县的北偏东约 16的方向上C 株洲县位于茶陵的南偏东约 40的方向上D 株洲市区位于攸县的北偏西约 21的方向上考点： 坐标确定位置分析： 根据坐标确定位置以及方向角对各选项分析判断后利用排除法求解2解答： 解：A、炎陵位于株洲市区南偏东约 35的方向上正确，故本选项错误； B、醴陵位于攸县的北偏东约 16的方向上正确，故本选项错误； C、应为株洲县位于茶陵的北偏西约 40的方向上，故本选项正确； D、株洲市区位于攸县的北偏西约 21的方向上正确，故本选项错误 故选 C 点评：

3、本题考查了利用坐标确定位置，方向角的定义，是基础题，熟记方向角的概念并准 确识图是解题的关键3、（2013 年河北）如图 1，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70方向的M处， 它以每小时 40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到 达位于灯塔P的北偏东 40的N处，则N处与灯塔P的 距离为 A40 海里B60 海里 C70 海里 D80 海里 答案：D 解析：依题意，知MN40280，又M70，N40， 所以，MPN70，从而 NPNM80，选 D4、 （2013荆门）A、B 两市相距 150 千米，分别从 A、B 处测得国家级风景区中心 C 处的方 位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心，4

4、5 千米为半径的圆， tan=1.627，tan=1.373为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB 两市的高速公 路问连接 AB 高速公路是否穿过风景区，请说明理由考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 首先过 C 作 CDAB 与 D，由题意得：ACD=，BCD=，即可得在 RtACD 中， AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan，继而可得 CDtan+CDtan=AB，则 可求得 CD 的长，即可知连接 AB 高速公路是否穿过风景区 解答： 解：AB 不穿过风景区理由如下： 如图，过 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：ACD=，BCD=， 则在 RtACD

5、中，AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan， AD+DB=AB， CDtan+CDtan=AB，CD=（千米） CD=5045，3高速公路 AB 不穿过风景区点评： 此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并 利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键5、 （2013湘西州）钓鱼岛自古以来就是中国的神圣领土，为宣誓主权，我海监船编队奉命 在钓鱼岛附近海域进行维权活动，如图，一艘海监船以 30 海里/小时的速度向正北方向航 行，海监船在 A 处时，测得钓鱼岛 C 在该船的北偏东 30方向上，航行半小时后，该船到 达点 B 处，发现此时钓鱼岛 C 与该船距

6、离最短 （1）请在图中作出该船在点 B 处的位置； （2）求钓鱼岛 C 到 B 处距离（结果保留根号）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： （1）根据垂线段最短知 B 点应是过 C 点所作南北方向的垂线的垂足 （2）在 RtABC 中，利用三角函数的知识求 BC 即可 解答： 解：（1）如图：（2）在 RtABC 中 AB=300.5=15（海里） ，BC=ABtan30=15=5（海里） 答：钓鱼岛 C 到 B 处距离为 5海里4点评： 考查了解直角三角形的应用方向角问题，此题为基础题，涉及用手中工具解题， 如尺规，计算器等6、（2013 年广州市）如图 10， 在东西方向的海岸线M

7、N上有A、B两艘船，均收到已触礁 搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东 58方向，船P在船B的北偏西 35方 向，AP的距离为 30 海里. （1）求船P到海岸线MN的距离（精确到 0.1 海里） ；（2）若船A、船B分别以 20 海里/小时、15 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往 救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处.分析：（1）过点 P 作 PEAB 于点 E，在 RtAPE 中解出 PE 即可； （2）在 RtBPF 中，求出 BP，分别计算出两艘船需要的时间，即可作出判断 解：（1）过点 P 作 PEAB 于点 E，由题意得，PAE=32，AP=30 海里， 在 RtA

8、PE 中，PE=APsinPAE=APsin3215.9 海里；（2）在 RtPBE 中，PE=15.9 海里，PBE=55，则 BP=19.4，A 船需要的时间为：=1.5 小时，B 船需要的时间为：=1.3 小时，故 B 船先到达 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角的定义，能利用三 角函数值计算有关线段，难度一般7、(2013 年广东湛江)如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30的方向上，随后渔政船以 80 海里小时的速度向北偏东30 5的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的

9、距离AB（结果保留小数点后一位，31.732）解：延长EB至F，则030CBF，00000180180603090ABCEBFCBF，在RtABC中，060ACB，180402BC ，tan,ABACBBCtan434 1.7326.9ABBCACB答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB约为：6.9海里8、 （2013荆门）A、B 两市相距 150 千米，分别从 A、B 处测得国家级风景区中心 C 处的方 位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆心，45 千米为半径的圆， tan=1.627，tan=1.373为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB 两市的高速公 路问连接 AB 高速公路是否穿过风

10、景区，请说明理由考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 首先过 C 作 CDAB 与 D，由题意得：ACD=，BCD=，即可得在 RtACD 中， AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan，继而可得 CDtan+CDtan=AB，则 可求得 CD 的长，即可知连接 AB 高速公路是否穿过风景区 解答： 解：AB 不穿过风景区理由如下： 如图，过 C 作 CDAB 于点 D， 根据题意得：ACD=，BCD=， 则在 RtACD 中，AD=CDtan，在 RtBCD 中，BD=CDtan， AD+DB=AB， CDtan+CDtan=AB，CD=（千米） CD=5045， 高速

11、公路 AB 不穿过风景区6点评： 此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并 利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键9、 （2013苏州）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向， AB=2（单位：km） 有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60的方向，从 B 测得 小船在北偏东 45的方向 （1）求点 P 到海岸线 l 的距离； （2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在 北偏西 15的方向求点 C 与点 B 之间的距离 （上述两小题的结果都保留根号）考点： 解

12、直角三角形的应用-方向角问题分析： （1）过点 P 作 PDAB 于点 D，设 PD=xkm，先解 RtPBD，用含 x 的代数式表示 BD，再解 RtPAD，用含 x 的代数式表示 AD，然后根据 BD+AD=AB，列出关于 x 的方 程，解方程即可；（2）过点 B 作 BFAC 于点 F，先解 RtABF，得出 BF= AB=1km，再解 RtBCF，得出 BC=BF=km 解答： 解：（1）如图，过点 P 作 PDAB 于点 D设 PD=xkm 在 RtPBD 中，BDP=90，PBD=9045=45， BD=PD=xkm 在 RtPAD 中，ADP=90，PAD=9060=30，AD=

13、PD=xkm BD+AD=AB，x+x=2， x=1， 点 P 到海岸线 l 的距离为（1）km；（2）如图，过点 B 作 BFAC 于点 F 在 RtABF 中，AFB=90，BAF=30，7BF= AB=1km在ABC 中，C=180BACABC=45 在 RtBCF 中，BFC=90，C=45，BC=BF=km， 点 C 与点 B 之间的距离为km点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中通过作辅助线，构造直 角三角形是解题的关键10、 （2013莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附 近两个小岛 A、B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船

14、在南偏东 37方向 C 处，B 岛在南 偏东 66方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里，A 岛上维 修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上维修船的速度为每小时 28.8 海里，为及时赶到维修， 问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据：cos370.8，sin370.6，sin660.9，cos660.4）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 作 ADBC 的延长线于点 D，先解 RtADB，求出 AD，BD，再解 RtADC，求出 AC，CD，则 BC=BDCD然后分别求出 A 岛、B 岛上维修船需要的时间，则派遣用时 较少的岛上的维修船

15、解答： 解：作 ADBC 的延长线于点 D 在 RtADB 中，AD=ABcosBAD=72cos66=720.4=28.8（海里） ， BD=ABsinBAD=72sin66=720.9=64.8（海里） 在 RtADC 中，（海里） ，CD=ACsinCAD=36sin37=360.6=21.6（海里） BC=BDCD=64.821.6=43.2（海里） 8A 岛上维修船需要时间（小时） B 岛上维修船需要时间（小时） tAtB， 调度中心应该派遣 B 岛上的维修船点评： 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直 角三角形，进而解直角三角形求出 BD 与 CD

16、 的值是解题的关键11、 （2013 泰安）如图，某海监船向正西方向航行，在 A 处望见一艘正在作业渔船 D 在南 偏西 45方向，海监船航行到 B 处时望见渔船 D 在南偏东 45方向，又航行了半小时到达 C 处，望见渔船 D 在南偏东 60方向，若海监船的速度为 50 海里/小时，则 A，B 之间的距 离为 （取，结果精确到 0.1 海里） 考点：解直角三角形的应用-方向角问题 专题：应用题 分析：过点 D 作 DEAB 于点 E，设 DE=x，在 RtCDE 中表示出 CE，在 RtBDE 中表示出 BE，再由 CB=25 海里，可得出关于 x 的方程，解出后即可计算 AB 的长度 解答

17、：解：DBA=DAB=45， DAB 是等腰直角三角形， 过点 D 作 DEAB 于点 E，则 DE=AB，9设 DE=x，则 AB=2x， 在 RtCDE 中，DCE=30， 则 CE=DE=x， 在 RtBDE 中，DAE=45， 则 DE=BE=x， 由题意得，CB=CEBE=xx=25，解得：x=，故 AB=25（+1）=67.5 海里 故答案为：67.5 点评：本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函 数的知识求解相关线段的长度，难度一般12、 （2013烟台）如图，一艘海上巡逻船在 A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通 知：在指挥中心北偏西

18、 60方向的 C 地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援此时 C 地 位于北偏西 30方向上，A 地位于 B 地北偏西 75方向上，A、B 两地之间的距离为 12 海 里求 A、C 两地之间的距离（参考数据：1.41，1.73，2.45，结果精确 到 0.1）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 过点 B 作 BDCA 交 CA 延长线于点 D，根据题意可得ACB 和ABC 的度数，然后根 据三角形外角定理求出DAB 的度数，已知 AB=12 海里，可求出 BD、AD 的长度，在 RtCBD 中，解直角三角形求出 CD 的长度，继而可求出 A、C 之间的距离 解答： 解：过点 B 作 B

19、DCA 交 CA 延长线于点 D， 由题意得，ACB=6030=30， ABC=7560=15，10DAB=DBA=45， 在 RtABD 中，AB=12，DAB=45，BD=AD=ABcos45=6，在 RtCBD 中，CD=6，AC=666.2（海里） 答：A、C 两地之间的距离为 6.2 海里点评： 本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函 数的知识求解相关线段的长度，难度一般13、 （2013遂宁）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我 国海监和渔政部门对钓鱼岛 海域实现了常态化巡航管理如图，某日在我国钓鱼岛附近海 域有两艘自西向

20、东航行的海监船 A、B，B 船在 A 船的正东方向，且两船保持 20 海里的距离， 某一时刻两海监船同时测得在 A 的东北方向，B 的北偏东 15方向有一我国渔政执法船 C，求此时船 C 与船 B 的距离是多少 （结果保留根号）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 首先过点 B 作 BDAC 于 D，由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105，则 可求得ACD 的度数，然后利用三角函数的知识求解即可求得答案 解答： 解：过点 B 作 BDAC 于 D 由题意可知，BAC=45，ABC=90+15=105， ACB=180BACABC=30，在 RtABD 中，BD=ABsin

21、BAD=20=10（海里） ，11在 RtBCD 中，BC=20（海里） 答：此时船 C 与船 B 的距离是 20海里点评： 此题考查了方向角问题此题难度适中，注意能借助于方向角构造直角三角形，并 利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键14、 （2013资阳）钓鱼岛历来是中国领土，以它为圆心在周围 12 海里范围内均属于禁区， 不允许它国船只进入，如图，今有一中国海监船在位于钓鱼岛 A 正南方距岛 60 海里的 B 处 海域巡逻，值班人员发现在钓鱼岛的正西方向 52 海里的 C 处有一艘日本渔船，正以 9 节的 速度沿正东方向驶向钓鱼岛，中方立即向日本渔船发出警告，并沿北偏西 30的方向以

22、12 节的速度前往拦截，期间多次发出警告，2 小时候海监船到达 D 处，与此同时日本渔船到 达 E 处，此时海监船再次发出严重警告 （1）当日本渔船受到严重警告信号后，必须沿北偏东转向多少度航行，才能恰好避免进入 钓鱼岛 12 海里禁区？ （2）当日本渔船不听严重警告信号，仍按原速度，原方向继续前进，那么海监船必须尽快 到达距岛 12 海里，且位于线段 AC 上的 F 处强制拦截渔船，问海监船能否比日本渔船先到 达 F 处？（注：中国海监船的最大航速为 18 节，1 节=1 海里/小时；参考数据： sin26.30.44，sin20.50.35，sin18.10.31，1.4，1.7）考点：

23、解直角三角形的应用-方向角问题分析： （1）过点 E 作圆 A 的切线 EN，求出AEN 的度数即可得出答案；12（2）分别求出渔船、海监船到达点 F 的时间，然后比较可作出判断 解答： 解：（1）过点 E 作圆 A 的切线 EN，连接 AN，则 ANEN，由题意得，CE=92=18 海里，则 AE=ACCE=5218=34 海里，sinAEN=0.35，AEN=20.5， NEM=69.5， 即必须沿北偏东至少转向 69.5航行，才能恰好避免进入钓鱼岛 12 海里禁区（2）过点 D 作 DHAB 于点 H， 由题意得，BD=212=24 海里，在 RtDBH 中，DH= BD=12 海里，B

24、H=12海里，AF=12 海里， DH=AF， DFAF， 此时海监船以最大航速行驶，海监船到达点 F 的时间为：=2.2 小时；渔船到达点 F 的时间为：=2.4 小时，2.22.4， 海监船比日本渔船先到达 F 处 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，本题依托时 事问题出题，立意新颖，是一道很好的题目15、 （2013自贡）在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1km 的码头 MN（如图） ，在码头西端 M 的正西 19.5km 处有一观察站 A某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西 30，且与 A 相距 40km 的 B 处；经过 1 小时 2

25、0 分钟，又测得该轮船位于 A 的北偏东 60， 且与 A 相距km 的 C 处 （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果） ；13（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理 由考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： （1）根据1=30，2=60，可知ABC 为直角三角形根据勾股定理解答 （2）延长 BC 交 l 于 T，比较 AT 与 AM、AN 的大小即可得出结论 解答： 解：（1）1=30，2=60， ABC 为直角三角形 AB=40km，AC=km，BC=16（km） 1 小时 20 分钟=80 分钟，1 小时=60 分钟，60=12（千米/

26、小时） （2）作线段 BRx 轴于 R，作线段 CSx 轴于 S，延长 BC 交 l 于 T 2=60， 4=9060=30AC=8（km） ， CS=8sin30=4（km） AS=8cos30=8=12（km） 又1=30， 3=9030=60 AB=40km，BR=40sin60=20（km） AR=40cos60=40 =20（km） 易得，STCRTB，所以=，解得：ST=8（km） 所以 AT=12+8=20（km） 又因为 AM=19.5km，MN 长为 1km，AN=20.5km，1419.5AT20.5 故轮船能够正好行至码头 MN 靠岸点评： 此题结合方向角，考查了阅读理解

27、能力、解直角三角形的能力计算出相关特殊角 和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键16、(2013 年黄石)高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音。如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西 15方向距离 125 米的C点处有一消防队。在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东 75方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火。已知消防车的警报声传播半径为 100 米，若消防车的 警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶。试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由.（3取 1.732）解析： 解：过点A作AHCF交CF于H点，由图可知000751560ACH（3 分

28、）031.732sin60125125108.25( )22AHACmA（3 分）100AH 米 不需要改道行驶17、（2013 四川南充，21，8 分）如图，公路 AB 为东西走向，在点 A 北偏东 36.5方向上，距离 5 千米处是村庄 M；在点 A 北偏东 53.5方向上，距离 10 千米处是村庄 N（参考数据：sin36.50.6，cos36.50.8，tan36.50.75）.（1）求 M，N 两村之间的距离；（2）要在公路 AB 旁修建一个土特产收购站 P，使得 M，N 两村到 P 站的距离之和最短，求C北A1575F北15这个最短距离。解析： (1)如图,过点 M 作 CDAB,

29、NEAB. 1在 RtACM 中，CAM=36.5，AM=5，sin36.55CM0.6，CM3，AC4. 2在 RtANE 中, NAE=9053.5=36.5，AN=10，sin36.510NE0.6NE6，AE8. 3在 RtMND 中,MD5，ND2.MN2252 29 (km) 4(2)作点 N 关于 AB 的对称点 G，连接 MG 交 AB 于点 P.点 P 即为站点. 5PMPNPMPGMG. 6在 RtMDG 中,MG225101255 5(km) 7最短距离为5 5 km 8P北AANMBCDA A GE北AANMB1618、 （2013新疆）如图所示，一条自西向东的观光大道

30、 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45方向，求景点 C 到观光大道 l 的距离 （结果精确到 0.1km）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题分析： 过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm先解直角ACD，得出 AD=CD=xkm，再解 直角BCD，得出 BD=CD=xkm，然后根据 ADBD=AB，列出关于 x 的方程，解方程即 可 解答： 解：如图，过点 C 作 CDl 于点 D，设 CD=xkm 在ACD 中，ADC=90，CAD=30，AD=CD=xk

31、m 在BCD 中，BDC=90，CBD=45， BD=CD=xkm ADBD=AB，xx=2， x=+12.7（km） 故景点 C 到观光大道 l 的距离约为 2.7km点评： 本题考查三角形知识的实际运用，难度适中，通过作辅助线构造直角三角形是解题 的关键19、 （2013 济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图 1） ，A、B、C 分别是钓鱼岛、 南小岛、黄尾屿上的点（如图 2） ，点 C 在点 A 的北偏东 47方向，点 B 在点 A 的南偏东 79方向，且 A、B 两点的距离约为 5.5km；同时，点 B 在点 C 的南偏西 36方向若一艘 中国渔船以 30km/h 的速度从点

32、A 驶向点 C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两 位）？（参考数据：sin540.81，cos540.59，tan471.07，tan36 0.73，tan110.19）17考点：解直角三角形的应用-方向角问题 分析：过点 B 作 BDAC 交 AC 于点 D，根据方向角分别求出DAB 和DCB 的度数，然后在 RtABD 和 RtBCD 中，分别解直角三角形求出 AD、CD 的长度，然后根据时间=路程速 度即可求出需要的时间 解答：解：过点 B 作 BDAC 交 AC 于点 D， 由题意得，DAB=1804779=54， DCB=4736=11， 在 RtABD 中， AB=5.5

33、，DAB=54，=cos54，=sin54，AD=5.50.59=3.245，BD=4.445， 在 RtBCD 中， BD=4.445，DCB=11，=tan11，CD=23.394，AC=AD+CD=3.245+23.39426.64（km） ， 则时间 t=26.64300.90（h） 答：需要 0.90h 到达点评：本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形并 解直角三角形， 20、（2013 达州）钓鱼岛自古以来就是中国领土。中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿 开展常态化监视监测。如图，E、F 为钓鱼岛东西两端。某日，中国一艘海监船从 A 点18向正北方向

34、巡航，其航线距离钓鱼岛最近距离 CF=20 3公里，在 A 点测得钓鱼岛最西端 F 在最东端 E 的东北方向（C、F、E 在同一直线上）。求钓鱼岛东西两端的距离。（21.41，31.73，结果精确到 0.1）解析： 由题知，在 RtACF 中，ACF=90,A=30，CF=203公里.cot30=320AC.解得，AC=60（公里）.(2 分) 又E 在 B 的东北方向，且ACF=90 E=CBE=45， CE=CB.(4 分) 又CB=AC-AB=60-22=38(公里)， CE=38 公里.(5 分)EF=CE-CF=38-2033.4（公里）(6 分)答：钓鱼岛东西两端的距离约为 3.4 公里.(7 分)