2013年中考数学试卷分类汇编 等边三角形.doc

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1、 1等边三角形等边三角形1、 （2013 凉山州）如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=4，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为（ ）A14B15C16D17 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质 分析：根据菱形得出 AB=BC，得出等边三角形 ABC，求出 AC，长，根据正方形的性质得出 AF=EF=EC=AC=4，求出即可 解答：解：四边形 ABCD 是菱形， AB=BC， B=60， ABC 是等边三角形， AC=AB=4， 正方形 ACEF 的周长是 AC+CE+EF+AF=44=16， 故选 C 点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和

2、判定的应用，关键是求出 AC 的长 2、 （2013自贡）如图，将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是 正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（ ）A B 9C D 考点： 剪纸问题；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质专题： 操作型分析： 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为 3，宽为 3 减去两个三角形的高，再用 长方形的面积公式计算即可解答 解答： 解：将一张边长为 3 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形 的棱柱，这个正三角形的底面边长为 1，高为=，侧面积为长为 3，宽为 3的长方形，面积为 932故选 A 点评： 此题主要考查了剪纸问题的实际

3、应用，动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解 答本题的关键3、 （2013雅安）如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AEF 是等边三角形， 连接 AC 交 EF 于 G，下列结论：BE=DF，DAF=15，AC 垂直平分 EF，BE+DF=EF，SCEF=2SABE其中正确结论有（ ）个A 2B 3C 4D 5考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析： 通过条件可以得出ABEADF 而得出BAE=DAF，BE=DF，由正方形的性质就可 以得出 EC=FC，就可以得出 AC 垂直平分 EF，设 EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出 x 与

4、 y 的关系，表示出 BE 与 EF，利用三角形的面积公式分别表示出 SCEF和 2SABE 再通过比较大小就可以得出结论 解答： 解：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD，B=BCD=D=BAD=90 AEF 等边三角形， AE=EF=AF，EAF=60 BAE+DAF=30 在 RtABE 和 RtADF 中，RtABERtADF（HL） ， BE=DF，正确 BAE=DAF， DAF+DAF=30， 即DAF=15正确， BC=CD， BCBE=CDDF， 及 CE=CF， AE=AF， AC 垂直平分 EF正确 设 EC=x，由勾股定理，得EF=x，CG=x，AG=x，

5、3AC=，AB=，BE=x=，BE+DF=xxx，错误，SCEF=，SABE=，2SABE=SCEF，正确综上所述，正确的有 4 个，故选 C点评： 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运 用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定 理的性质解题时关键4、 （2013十堰）如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，则下底 BC 的 长为（ ）A 8B 9C 10D 11考点： 等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质分析： 首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出B=60，BF=EC，AD=EF=

6、5， 求出 BF 即可 解答： 解：过点 A 作 AFBC 于点 F，过点 D 作 DEBC 于点 E， 梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60， B=60，BF=EC，AD=EF=5，cos60= ，解得：BF=1.5，4故 EC=1.5， BC=1.5+1.5+5=8 故选：A点评： 此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出 BF=EC 的 长是解题关键5、 （2013牡丹江）如图，在ABC 中A=60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN 为等边三角形；当ABC=

7、45时，BN=PC其中正确的个数是（ ）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确； 先证明ABMACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断正确； 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出ABM=ACN=30，再根据三角形的内角 和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和求出BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，又由得 PM=PN，根据有 一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确； 当ABC=45时，BCN=4

8、5，由 P 为 BC 边的中点，得出 BN=PB=PC，判断 正确 解答： 解：BMAC 于点 M，CNAB 于点 N，P 为 BC 边的中点，PM= BC，PN= BC，PM=PN，正确；在ABM 与ACN 中， A=A，AMB=ANC=90， ABMACN，5，正确；A=60，BMAC 于点 M，CNAB 于点 N， ABM=ACN=30， 在ABC 中，BCN+CBM18060302=60， 点 P 是 BC 的中点，BMAC，CNAB， PM=PN=PB=PC， BPN=2BCN，CPM=2CBM， BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120， MPN=60， PMN 是等边

9、三角形，正确；当ABC=45时，CNAB 于点 N， BNC=90，BCN=45， BN=CN， P 为 BC 边的中点， PNBC，BPN 为等腰直角三角形BN=PB=PC，正确 故选 D点评： 本题主要考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角 形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔 细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键6、(2013遵义）如图，将边长为 1cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动（不滑动） ，点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A cmB （2+ ）cmC cmD 3cm考点： 弧长的计算；等边三

10、角形的性质；旋转的性质6分析： 通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点 B 两次划过的弧长，即可 得出所经过路径的长度 解答： 解：ABC 是等边三角形， ACB=60， AC（A）=120， 点 B 两次翻动划过的弧长相等，则点 B 经过的路径长=2= 故选 C 点评： 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点 B 运动的路径， 注意熟练掌握弧长的计算公式7、 （2013 台湾、23）附图为正三角形 ABC 与正方形 DEFG 的重迭情形，其中 D、E 两点分别 在 AB、BC 上，且 BD=BE若 AC=18，GF=6，则 F 点到 AC 的距离为何？（ ）A

11、2B3C124D66 考点：正方形的性质；等边三角形的性质 分析：过点 B 作 BHAC 于 H，交 GF 于 K，根据等边三角形的性质求出A=ABC=60，然 后判定BDE 是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出BDE=60，然后根据同位角 相等，两直线平行求出 ACDE，再根据正方形的对边平行得到 DEGF，从而求出 ACDEGF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出 KH，然后根据平行线间的距离相 等即可得解 解答：解：如图，过点 B 作 BHAC 于 H，交 GF 于 K， ABC 是等边三角形， A=ABC=60， BD=BE， BDE 是等边三角形， BDE=60， A=BDE

12、， ACDE， 四边形 DEFG 是正方形，GF=6， DEGF， ACDEGF，KH=1866=936=66，F 点到 AC 的距离为 66 故选 D7点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键 8、 （2013 菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形 的“面线” ， “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径” （例如圆的直径就是 它的“面径” ） 已知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 ，（或介

13、 于和之间的任意两个实数） （写出 1 个即可） 考点：等边三角形的性质 专题：新定义；开放型 分析：根据等边三角形的性质， （1）最长的面径是等边三角形的高线； （2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形 面积的比等于相似比的平方求出最短面径 解答：解：如图， （1）等边三角形的高 AD 是最长的面径，AD=2=；（2）当 EFBC 时，EF 为最短面径，此时， （）2=，即=，解得 EF= 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数） 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数） 点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并

14、准确判断出等边 三角形的最短与最长的面径是解题的关键 89、 （2013铁岭）如图，在ABC 中，AB=2，BC=3.6，B=60，将ABC 绕点 A 按顺时针 旋转一定角度得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上时，则 CD 的长为 1.6 考点： 旋转的性质分析： 由将ABC 绕点 A 按顺时针旋转一定角度得到ADE，当点 B 的对应点 D 恰好落在 BC 边上，可得 AD=AB，又由B=60，可证得ABD 是等边三角形，继而可得 BD=AB=2，则可求得答案 解答： 解：由旋转的性质可得：AD=AB， B=60， ABD 是等边三角形， BD=AB， AB=2，BC=3.

15、6， CD=BCBD=3.62=1.6 故答案为：1.6 点评： 此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质此题比较简单，注意掌握旋 转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用10、 （2013宜昌）如图，点 E，F 分别是锐角A 两边上的点，AE=AF，分别以点 E，F 为圆 心，以 AE 的长为半径画弧，两弧相交于点 D，连接 DE，DF （1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由； （2）连接 EF，若 AE=8 厘米，A=60，求线段 EF 的长考点： 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质分析： （1）由 AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边

16、形 AEDF 是菱形； （2）首先连接 EF，由 AE=AF，A=60，可证得EAF 是等边三角形，则可求得线 段 EF 的长 解答： 解：（1）菱形 理由：根据题意得：AE=AF=ED=DF，9四边形 AEDF 是菱形；（2）连接 EF， AE=AF，A=60， EAF 是等边三角形， EF=AE=8 厘米点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质此题比较简单，注意 掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用11、 （2013天津）如图，在边长为 9 的正三角形 ABC 中，BD=3，ADE=60，则 AE 的长为 7 考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析：

17、先根据边长为 9，BD=3，求出 CD 的长度，然后根据ADE=60和等边三角形的性质， 证明ABDDCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 CE 的长度，即可求 出 AE 的长度 解答： 解：ABC 是等边三角形， B=C=60，AB=BC； CD=BCBD=93=6；BAD+ADB=120 ADE=60， ADB+EDC=120， DAB=EDC， 又B=C=60， ABDDCE，则=，即 =，解得：CE=2，10故 AE=ACCE=92=7 故答案为：7 点评： 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形 的性质证得ABDDCE 是解答此题的关键12、

18、 （2013 聊城）如图，在等边ABC 中，AB=6，D 是 BC 的中点，将ABD 绕点 A 旋转后得 到ACE，那么线段 DE 的长度为 考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质 分析：首先，利用等边三角形的性质求得 AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的 性质推知ADE 为等边三角形，则 DE=AD 解答：解：如图，在等边ABC 中，B=60，AB=6，D 是 BC 的中点， ADBD，BAD=CAD=30，AD=ABcos30=6=3根据旋转的性质知，EAC=DAB=30，AD=AE， DAE=EAC+BAD=60， ADE 的等边三角形，DE=AD=3，即线段 DE 的长度为 3

19、 故答案是：3 点评：本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质旋转的性质：旋转前后的两个图形全 等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等 13、 （2013 德州）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 2 的等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别 在 BC 和 CD 上，下列结论： CE=CF；AEB=75；BE+DF=EF；S正方形 ABCD=2+ 其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上） 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析： 根据三角形的全等的知识可以判断的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角 形内角和为 180判断的正误

20、；根据线段垂直平分线的知识可以判断的正确，利 用解三角形求正方形的面积等知识可以判断的正误11解答： 解：四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， AEF 是等边三角形， AE=AF， 在 RtABE 和 RtADF 中，RtABERtADF（HL） ， BE=DF， BC=DC， BCBE=CDDF， CE=CF， 说法正确； CE=CF， ECF 是等腰直角三角形， CEF=45， AEF=60， AEB=75， 说法正确； 如图，连接 AC，交 EF 于 G 点， ACEF，且 AC 平分 EF， CADDAF， DFFG， BE+DFEF， 说法错误； EF=2，CE=CF=， 设正

21、方形的边长为 a， 在 RtADF 中， a2+（a）2=4，解得 a=，则 a2=2+， S正方形 ABCD=2+， 说法正确， 故答案为点评： 本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证 明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦1214、 （2013黄冈）已知ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长 BC 至 E，使 CE=CD=1，连接 DE，则 DE= 考点： 等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质3481324分析： 根据等腰三角形和三角形外角性质求出 BD=DE，求出 BC，在 RtBDC 中，由勾股 定理求出 BD 即可 解答： 解：A

22、BC 为等边三角形， ABC=ACB=60，AB=BC， BD 为中线，DBC= ABC=30，CD=CE， E=CDE， E+CDE=ACB， E=30=DBC， BD=DE， BD 是 AC 中线，CD=1， AD=DC=1， ABC 是等边三角形， BC=AC=1+1=2，BDAC，在 RtBDC 中，由勾股定理得：BD=，即 DE=BD=， 故答案为： 点评： 本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知 识点的应用，关键是求出 DE=BD 和求出 BD 的长15、 （2013黔西南州）如图，已知ABC 是等边三角形，点 B、C、D、E 在同一直线上，且 C

23、G=CD，DF=DE，则E= 15 度考点： 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质13分析： 根据等边三角形三个角相等，可知ACB=60，根据等腰三角形底角相等即可得出 E 的度数 解答： 解：ABC 是等边三角形， ACB=60，ACD=120， CG=CD， CDG=30，FDE=150， DF=DE， E=15 故答案为：15 点评： 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为 180以及等腰三角形的性质，难度适 中16、(2013 年广东湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,，顶点依次用1234AAAA 、表示，

24、其中12A A与x轴、底边12A A与45A A、45A A与78A A、均相距一个单位，则顶点3A的坐标是 ，92A的坐标是 解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知，3A的纵坐标为：0 233sin601213 12A A ，30, 31A，而2A的横坐标为：0 231sin3021 2A A ，由题意知，2A的纵坐标为1，21, 1A，容易发现2A、5A、7A、92A、这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， 2A、5A、7A、92A、的下标 2、5、7、92、有规律：92230 3231 13 ，92A是第 31 个正三角形（从里往外）的右端点，9231, 31A17、 （20

25、13 福省福州 19）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（2，0） ，等边 三角形 AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到OBD （1）AOC 沿 x 轴向右平移得到OBD，则平移的距离是 个单位长度；AOC 与 BOD 关于直线对称，则对称轴是 ；AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到DOB，则旋转 角度可以是 度；14（2）连结 AD，交 OC 于点 E，求AEO 的度数考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质 专题：计算题 分析：（1）由点 A 的坐标为（2，0） ，根据平移的性质得到AOC 沿 x 轴向右平移 2 个 单位得到OBD，则AOC 与BO

26、D 关于 y 轴对称；根据等边三角形的性质得 AOC=BOD=60，则AOD=120，根据旋转的定义得AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120 得到DOB； （2）根据旋转的性质得到 OA=OD，而AOC=BOD=60，得到DOC=60，所以 OE 为等 腰AOD 的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到 OE 垂直平分 AD，则AEO=90 解答：解：（1）点 A 的坐标为（2，0） ， AOC 沿 x 轴向右平移 2 个单位得到OBD； AOC 与BOD 关于 y 轴对称； AOC 为等边三角形， AOC=BOD=60， AOD=120， AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120得到DOB （

27、2）如图，等边AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120得到DOB， OA=OD， AOC=BOD=60， DOC=60， 即 OE 为等腰AOD 的顶角的平分线， OE 垂直平分 AD， AEO=90 故答案为 2；y 轴；12015点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对 应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质 以及平移的性质 18、 （2013湖州）如图，已知 P 是O 外一点，PO 交圆 O 于点 C，OC=CP=2，弦 ABOC，劣 弧 AB 的度数为 120，连接 PB （1）求 BC 的长； （2）求证：PB

28、 是O 的切线考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理分析： （1）首先连接 OB，由弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120，易证得OBC 是等边三 角形，则可求得 BC 的长； （2）由 OC=CP=2，OBC 是等边三角形，可求得 BC=CP，即可得P=CBP，又由等 边三角形的性质，OBC=60，CBP=30，则可证得 OBBP，继而证得 PB 是O 的切线 解答： （1）解：连接 OB， 弦 ABOC，劣弧 AB 的度数为 120， 弧 BC 与弧 AC 的度数为：60， BOC=60， OB=OC， OBC 是等边三角形， BC=OC=2；（2）证明：OC=CP，BC

29、=OC， BC=CP， CBP=CPB， OBC 是等边三角形， OBC=OCB=60， CBP=30， OBP=CBP+OBC=90， OBBP， 点 B 在O 上， PB 是O 的切线16点评： 此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质此题难 度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 19、 （2013莱芜）如图，在 RtABC 中，C=90，以 AC 为一边向外作等边三角形 ACD， 点 E 为 AB 的中点，连结 DE （1）证明 DECB； （2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形考点： 平行四边形的判定；全

30、等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析： （1）首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得 CE=AB=AE，再根据等边三角形的性 质可得 AD=CD，然后证明ADECDE，进而得到ADE=CDE=30，再有 DCB=150可证明 DECB；（2）当 AC=或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE，DCB+B=180进而得到B=30，再根据三角函数可推出 AC=或 AB=2AC解答： （1）证明：连结 CE 点 E 为 RtACB 的斜边 AB 的中点， CE=AB=AE ACD 是等边三角形， AD=CD在ADE 与CDE 中，AD

31、ECDE（SSS） ， ADE=CDE=30 DCB=150， EDC+DCB=180 DECB17（2）解：DCB=150，若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE，DCB+B=180 B=30在 RtACB 中，sinB=，sin30=，AC=或 AB=2AC当 AC=或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形点评： 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定， 关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质 20、 （2013衢州） 【提出问题】 （1）如图 1，在等边ABC 中，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结

32、AM，以 AM 为边作等边AMN，连结 CN求证：ABC=ACN 【类比探究】 （2）如图 2，在等边ABC 中，点 M 是 BC 延长线上的任意一点（不含端点 C） ，其它条件 不变， （1）中结论ABC=ACN 还成立吗？请说明理由 【拓展延伸】 （3）如图 3，在等腰ABC 中，BA=BC，点 M 是 BC 上的任意一点（不含端点 B、C） ，连结 AM，以 AM 为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结 CN试探究ABC 与ACN 的数量 关系，并说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质分析： （1）利用 SAS 可证明BAMCAN，继而得出结

33、论； （2）也可以通过证明BAMCAN，得出结论，和（1）的思路完全一样（3）首先得出BAC=MAN，从而判定ABCAMN，得到=，根据BAM=BACMAC，CAN=MANMAC，得到BAM=CAN，从而判定 BAMCAN，得出结论18解答： （1）证明：ABC、AMN 是等边三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60， BAM=CAN， 在BAM 和CAN 中，BAMCAN（SAS） ， ABC=ACN（2）解：结论ABC=ACN 仍成立 理由如下：ABC、AMN 是等边三角形， AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60， BAM=CAN， 在BAM 和CAN 中，BAMCAN（SAS） ， ABC=ACN（3）解：ABC=ACN 理由如下：BA=BC，MA=MN，顶角ABC=AMN， 底角BAC=MAN， ABCAMN，=，又BAM=BACMAC，CAN=MANMAC， BAM=CAN， BAMCAN， ABC=ACN 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键 是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论