2013年中考数学试卷分类汇编 材料阅读题、定义新.doc

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1、 1材料阅读题、定义新材料阅读题、定义新1、（2013 年潍坊市）对于实数x，我们规定 x表示不大于x的最大整数，例如 12 . 1，33 ，35 . 2，若5104 x，则x的取值可以是（ ）.A.40 B.45 C.51 D.56 答案：C 考点:新定义问题. 点评:本题需要学生先通过阅读掌握新定义公式，再利用类似方法解决问题.考查了学生观 察问题，分析问题，解决问题的能力.2、 （5-&函数的综合与创新2013 东营中考）若定义：( , )(, )f a ba b ， ( , )( ,)g m nmn，例如(1,2)( 1,2)f ，( 4, 5)( 4,5)g ，则( (2, 3)g

2、f=（ ）A(2, 3)B( 2,3)C(2,3)D( 2, 3)6.B.解析：由题意得 f(2,3)=(-2,-3),所以 g(f(2,-3)=g(-2,-3)=(-2,3),故选 B.3、 （2013 四川宜宾）对于实数a、b，定义一种运算“”为：ab=a2+ab2，有下列命 题：13=2； 方程x1=0 的根为：x1=2，x2=1；不等式组的解集为：1x4；点（， ）在函数y=x（1）的图象上 其中正确的是（ ）AB C D 考点：二次函数图象上点的坐标特征；有理数的混合运算；解一元二次方程因式分解法； 解一元一次不等式组；命题与定理 专题：新定义 分析：根据新定义得到 13=12+13

3、2=2，则可对进行判断；根据新定义由x1=0 得到x2+x2=0，然后解方程可对进行判断；根据新定义得，解得1x4，可对进行判断； 根据新定义得y=x（1）=x2x2，然后把x=代入计算得到对应的函数值，则可对 进行判断 解答：解：13=12+132=2，所以正确；x1=0， x2+x2=0，2x1=2，x2=1，所以正确； （2）x4=42x24=2x2，1x3=1+x23=x4，解得1x4，所以正确；y=x（1）=x2x2， 当x=时，y=2=，所以错误 故选C 点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数 的解析式也考查了阅读理解能力、解一元二次方程以及

4、解一元一次不等式组 4、 （2013舟山）对于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，定义一种运算：AB=（x1+x2） +（y1+y2） 例如，A（5，4） ，B（2，3） ，AB=（5+2）+（43）=2若互不重 合的四点 C，D，E，F，满足 CD=DE=EF=FD，则 C，D，E，F 四点（ ）A 在同一条直线上B 在同一条抛物线上C 在同一反比例函数图象上D 是同一个正方形的四个顶点考点： 一次函数图象上点的坐标特征专题： 新定义分析： 如果设 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，E（x5，y5） ，F（x6，y6） ，先根据新定义运算得出 （x3+x4）+（y3+y4）=（

5、x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6） ， 则 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则 C（x3，y3） ， D（x4，y4） ，E（x5，y5） ，F（x6，y6）都在直线 y=x+k 上 解答： 解：对于点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB=（x1+x2）+（y1+y2） ， 如果设 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，E（x5，y5） ，F（x6，y6） ， 那么 CD=（x3+x4）+（y3+y4） ， DE=（x4+x5）+（y4+y5） ， E

6、F=（x5+x6）+（y5+y6） ， FD=（x4+x6）+（y4+y6） ， 又CD=DE=EF=FD， （x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6） +（y4+y6） ， x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6， 令 x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k， 则 C（x3，y3） ，D（x4，y4） ，E（x5，y5） ，F（x6，y6）都在直线 y=x+k 上， 互不重合的四点 C，D，E，F 在同一条直线上 故选 A 点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难 度

7、35、（2013 达州）已知 1 1f xxx，则 11111 11 2f 11222 12 3f已知 1412315ffff n，求n的值。解析：由题知f(1)+f(2)+f(3)+f(n)=211 +321 +431 +) 1(1 nn=1-21+21-31+31-41+n1-11 n=1-11 n(4 分）=1nn.(4 分）又f(1)+f(2)+f(3)+f(n)=1514,1nn=1514.解得 n=14.(6 分） 经检验，n=14 是上述方程的解. 故 n 的值为 14.(7 分）6、 (2013 年临沂) 对于实数 a,b,定义运算“”：ab=22(),).aab ababb

8、ab（例如 42，因为 42,所以 42244 28 .若12,x x是一元二次方程2560xx的两个根，则1x2x=答案：3或-3解析：（1）当12x ，2x3 时，1x2x=22 33 3；（2）当13x ，2x2 时，1x2x=233 2 3；47、 （2013白银）现定义运算“” ，对于任意实数 a、b，都有 ab=a23a+b，如：3 5=3233+5，若 x2=6，则实数 x 的值是 1 或 4 考点： 解一元二次方程-因式分解法专题： 新定义分析： 根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得 到 x 的值 解答： 解：根据题中的新定义将 x2=6 变

9、形得： x23x+2=6，即 x23x4=0， 因式分解得：（x4） （x+1）=0， 解得：x1=4，x2=1， 则实数 x 的值是1 或 4 故答案为：1 或 4 点评： 此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边 化为 0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转 化为两个一元一次方程来求解8、 （2013牡丹江）定义一种新的运算 ab=ab，如 23=23=8，那么请试求（32）2= 81 考点： 有理数的乘方专题： 新定义分析： 首先根据运算 ab=ab，把所求的式子转化为一般形式的运算，然后计算即可求解解答： 解：（32）

10、2 =（32）2=92=81 故答案是：81 点评： 本题考查了有理数的乘方运算，理解题意是关键9、 （2013 菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形 的“面线” ， “面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径” （例如圆的直径就是 它的“面径” ） 已知等边三角形的边长为 2，则它的“面径”长可以是 ，（或介 于和之间的任意两个实数） （写出 1 个即可） 考点：等边三角形的性质 专题：新定义；开放型 分析：根据等边三角形的性质， （1）最长的面径是等边三角形的高线； （2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形

11、面积的比等于相似比的平方求出最短面径 解答：解：如图，5（1）等边三角形的高 AD 是最长的面径，AD=2=；（2）当 EFBC 时，EF 为最短面径，此时， （）2=，即=，解得 EF= 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数） 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数） 点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边 三角形的最短与最长的面径是解题的关键 10、（2013 成都市）若正整数 n 使得在计算 n+（n+1）+（n+2）的过程中，个数位上均不产生进为现象，则称 n 为“本位数”，例如 2 和 30 是 “本位数”，而 5 和 91

12、不是“本位数”.现从所有大于 0 且小于 100 的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为_.答案：7 11解析：各位数上均不进位，那么 n 的个位数上只能是 0,1,2，否则就要在个位上发生进位， 在大于 0 小于 100 的数中，一位数的本位数有 1,2.两位数中十位数字不能不超过 3，否则 向百位进位，所以有 33=9 个，分别为 10,11,12,20,21,22,30,31,32,其中偶数有 7 个，共有 11 个本位数，所以其概率为7 1112、（2013 达州）选取二次三项式20axbxca中的两项，配成完全平方式的过程叫配方。例如选取二次项和一次项配方：224222xx

13、x；选取二次项和常数项配方： 224222 24xxxx，或 2242242 2xxxx6选取一次项和常数项配方：2224222xxxx根据上述材料，解决下面问题：（1）写出284xx的两种不同形式的配方；（2）已知22330xyxyy，求yx的值。解析：（1）284xxx2-8x+16-16+4=(x-4)2-12或284xx（x-2）2-4x(2) 02)2(432)2(03322yyxyyyxxX=-1,y=2.因此 xy=(-1)2=113、 （2013 济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后 所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为 0，因此应如下检

14、验：将整式方程的解 代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则， 这个解不是原分式方程的解 ”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于 x 的方程=0 无解，方程x2+kx+6=0 的一个根是 m （1）求 m 和 k 的值； （2）求方程 x2+kx+6=0 的另一个根 考点：解分式方程；根与系数的关系 专题：阅读型 分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将 x=1 代入整式方程， 即可求出 m 的值，将 m 的值代入已知方程即可求出 k 的值； （2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根 解答：解：（1）分式方程去分母得：

15、m1x=0， 由题意将 x=1 代入得：m11=0，即 m=2， 将 m=2 代入方程得：4+2k+6=0，即 k=5； （2）设方程另一根为 a，则有 2a=6，即 a=3 点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思 想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 14、 （2013张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+22013的值 解：设 S=1+2+22+23+24+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得：2S=2+22+23+24+25+22013+22014将下式减去上式得 2SS=220141即 S=2201

16、41即 1+2+22+23+24+22013=220141 请你仿照此法计算：7（1）1+2+22+23+24+210 （2）1+3+32+33+34+3n（其中 n 为正整数） 考点： 同底数幂的乘法专题： 计算题分析： （1）设 S=1+2+22+23+24+210，两边乘以 2 后得到关系式，与已知等式相减，变形 即可求出所求式子的值； （2）同理即可得到所求式子的值 解答： 解：（1）设 S=1+2+22+23+24+210， 将等式两边同时乘以 2 得 2S=2+22+23+24+210+211， 将下式减去上式得：2SS=2111，即 S=2111， 则 1+2+22+23+24+

17、210=2111；（2）设 S=1+3+32+33+34+3n， 两边乘以 3 得：3S=3+32+33+34+3n+3n+1， 下式减去上式得：3SS=3n+11，即 S=（3n+11） ， 则 1+3+32+33+34+3n=（3n+11） 点评： 此题考查了同底数幂的乘法，弄清题中的技巧是解本题的关键15、 （2013十堰）定义：对于实数 a，符号a表示不大于 a 的最大整数例如：5.7 =5，5=5，=4 （1）如果a=2，那么 a 的取值范围是 2a1 （2）如果=3，求满足条件的所有正整数 x考点： 一元一次不等式组的应用专题： 新定义分析： （1）根据a=2，得出2a1，求出 a

18、 的解即可；（2）根据题意得出 34，求出 x 的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解 解答： 解：（1）a=2， a 的取值范围是2a1，（2）根据题意得：34，解得：5x7， 则满足条件的所有正整数为 5，68点评： 此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出 不等式的解16、（2013 年河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有aba(ab)+1，等式右 边是通常的加法、 减法及乘法运算，比如： 252(25)+12(3)+16+1 5 （1）求（2）3 的值 （2）若 3x的值小于 13，求x的取值范围，并在图 13 所示的数轴上表示出来.解析：（

19、1）( 2)32 ( 23) 1 2 ( 5) 1 =10+1 =11（2）3x13 3(3) 113x 931 13x 33x 1x 数轴表示如图 1 所示17、 （2013 济宁）阅读材料：若 a，b 都是非负实数，则 a+b当且仅当 a=b 时， “=”成立证明：（）20，a+b0 a+b当且仅当 a=b 时， “=”成立 举例应用：已知 x0，求函数 y=2x+的最小值解：y=2x+=4当且仅当 2x=，即 x=1 时， “=”成立当 x=1 时，函数取得最小值，y最小=4 问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度某种汽车在每小时 70110 公里之间行驶时（含 70 公里和

20、110 公里） ，每公里耗油（+）升若该汽车以每小时 x公里的速度匀速行驶，1 小时的耗油量为 y 升 （1）求 y 关于 x 的函数关系式（写出自变量 x 的取值范围） ； （2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位） 考点：反比例函数的应用；一元一次不等式的应用9分析：（1）根据耗油总量=每公里的耗油量行驶的速度列出函数关系式即可； （2）经济时速就是耗油量最小的形式速度 解答：解：（1）汽车在每小时 70110 公里之间行驶时（含 70 公里和 110 公里） ，每公里耗油（+）升y=x（+）=（70x110） ；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x=90

21、 该汽车的经济时速为 90 千米/小时；当 x=90 时百公里耗油量为 100（+）11.1 升，点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是读懂题目提供的材料 18、 （2013黔西南州）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2善于思考的小明进行了以下探索： 设 a+b=（m+n）2（其中 a、b、m、n 均为整数） ，则有 a+b=m2+2n2+2mn a=m2+2n2，b=2mn这样小明就找到了一种把类似 a+b的式子化为平方式的方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a+b=，用

22、含 m、n 的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2 ，b= 2mn ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空： 4 + 2 =（ 1 + 1 ）2；（3）若 a+4=，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值？考点： 二次根式的混合运算分析： （1）根据完全平方公式运算法则，即可得出 a、b 的表达式； （2）首先确定好 m、n 的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出 a、b 的值； （3）根据题意，4=2mn，首先确定 m、n 的值，通过分析 m=2，n=1 或者 m=1，n=2， 然后即可确定好 a 的值 解答：解：（1）a+b=，a+b=m2+3n2+2mn

23、， a=m2+3n2，b=2mn 故答案为 m2+3n2，2mn（2）设 m=1，n=1， a=m2+3n2=4，b=2mn=2 故答案为 4、2、1、110（3）由题意，得： a=m2+3n2，b=2mn 4=2mn，且 m、n 为正整数， m=2，n=1 或者 m=1，n=2， a=22+312=7，或 a=12+322=13 点评： 本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全 平方公式和二次根式的运算法则 19、 （2013咸宁）阅读理解： 如图 1，在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E（点 E 不与点 A、点 B 重合） ，分别连接 ED，EC，

24、可以把四边形 ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把 E 叫 做四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把 E 叫做四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点解决问题： （1）如图 1，A=B=DEC=55，试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点， 并说明理由； （2）如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=2，且 A，B，C，D 四点均在正方形网格（网格中 每个小正方形的边长为 1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图 2 中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E； 拓展探究： （3）如图

25、3，将矩形 ABCD 沿 CM 折叠，使点 D 落在 AB 边上的点 E 处若点 E 恰好是四边 形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点，试探究 AB 和 BC 的数量关系考点： 相似形综合题分析： （1）要证明点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就 行，很容易证明ADEBEC，所以问题得解 （2）根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可 （3）因为点 E 是梯形 ABCD 的 AB 边上的一个强相似点，所以就有相似三角形出现， 根据相似三角形的对应线段成比例，可以判断出 AE 和 BE 的数量关系，从而可求出 解 解答： 解：（1）点 E

26、是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点 理由：A=55， ADE+DEA=125 DEC=55， BEC+DEA=125 ADE=BEC （2 分）11A=B， ADEBEC 点 E 是四边形 ABCD 的 AB 边上的相似点（2）作图如下：（3）点 E 是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点， AEMBCEECM， BCE=ECM=AEM 由折叠可知：ECMDCM， ECM=DCM，CE=CD， BCE=BCD=30， BE=CE=AB在 RtBCE 中，tanBCE=tan30，点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，梯形的性质以及理解相似点和 强相似点的概念等

27、，从而可得到结论 20、 （2013益阳压轴题）阅读材料：如图 1，在平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别 为 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，AB 中点 P 的坐标为（xp，yp） 由 xpx1=x2xp，得 xp=，同理，所以 AB 的中点坐标为由勾股定理得AB2=，所以 A、B 两点间的距离公式为注：上述公式对 A、B 在平面直角坐标系中其它位置也成立 解答下列问题： 如图 2，直线 l：y=2x+2 与抛物线 y=2x2交于 A、B 两点，P 为 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂 线交抛物线于点 C （1）求 A、B 两点的坐标及 C 点的坐标； （2）连结 AB、AC

28、，求证ABC 为直角三角形；12（3）将直线 l 平移到 C 点时得到直线 l，求两直线 l 与 l的距离考点： 二次函数综合题分析： （1）根据 y=2x+2 与抛物线 y=2x2交于 A、B 两点，直接联立求出交点坐标，进而得 出 C 点坐标即可； （2）利用两点间距离公式得出 AB 的长，进而得出 PC=PA=PB，求出 PAC+PCB=90，即ACB=90即可得出答案； （3）点 C 作 CGAB 于 G，过点 A 作 AHPC 于 H，利用 A，C 点坐标得出 H 点坐标， 进而得出 CG=AH，求出即可 解答： （1）解：由，解得：，则 A，B 两点的坐标分别为：A（，3） ，B（

29、，3+） ，P 是 A，B 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为（，3） ， 又PCx 轴交抛物线于 C 点，将 x=代入 y=2x2中得 y=， C 点坐标为（， ） （2）证明：由两点间距离公式得：AB=5，PC=|3|=，PC=PA=PB， PAC=PCA，PBC=PCB， PAC+PCB=90，即ACB=90， ABC 为直角三角形13（3）解：过点 C 作 CGAB 于 G，过点 A 作 AHPC 于 H， 则 H 点的坐标为（，3） ， SPAC=APCG=PCAH，CG=AH=|=又直线 l 与 l之间的距离等于点 C 到 l 的距离 CG，直线 l 与 l之间的距离为点评：

30、此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法 等知识，根据数形结合得出 H 点坐标是解题关键21、(2013 年黄石)如图 1，点C将线段AB分成两部分，如果ACBC ABAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到 “黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S、2S，如果121SS SS，那么称直线为该图形的黄金分割线. （1）如图 2，在ABC中，36A，ABAC，C的平分线交AB于点D， 请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论； （2）若A

31、BC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是ABC的黄金分 割线，并证明你的结论；（3）如图 4，在直角梯形ABCD中，90DC ，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是 不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论.EACBADBCACDHA BBFCD图 1图 2图 3图 414解析： 解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下： 36A，ABAC 72BACB CD平分ACB 36DCB 72BDCB ABCD ，BB BCD BACBCBD ABBC又BCCDADADBD ABABD是AB边上的黄金分割点（3

32、 分） （2）直线CD是ABC的黄金分割线，理由如下： 设ABC的边AB上的高为h，则 1 2ADCSAD hA，1 2DBCSBD hA，1 2ABCSAB hA:ADCABCSSAD ABAA，:DBCADCSSBD ADAAD是AB的黄金分割点ADBD ABAD:ADCABCDBCADCSSSSAAAACD是ABC的黄金分割线（3 分）（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 BCAD EBG EAH，EGC EHDBGEG AHEH GCEG HDEH 由、 得 BGGC AHHD 即BGAH GCHD 同理，由BGF DHF，CGF AHF得 BGGC HDAH 即BGHD GCA

33、H 15由、得AHHD HDAHAHHD BGGC 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等S梯形ABGHS梯形GCDH1 2S梯形ABCDGH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 （3 分） 22、 （2013宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条 对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形 （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证： BD 是梯形 ABCD 的和谐线； （2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC 均在

34、格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形； （3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC，BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度数考点： 四边形综合题分析： （1）要证明 BD 是四边形 ABCD 的和谐线，只需要证明ABD 和BDC 是等腰三角形 就可以；（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要 D 在上任意一点构成的 四边形 ABDC 就是和谐四边形；连接 BC，在BAC 外作一个以 AC 为腰的等腰三角形 ACD，构成的四边形 ABCD 就是和谐四边形， （

35、3）由 AC 是四边形 ABCD 的和谐线，可以得出ACD 是等腰三角形，从图 4，图 5， 图 6 三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和 30的直角三角形性质就可 以求出BCD 的度数 解答： 解：（1）ADBC， ABC+BAD=180，ADB=DBC BAD=120， ABC=60 BD 平分ABC， ABD=DBC=30， ABD=ADB， ADB 是等腰三角形16在BCD 中，C=75，DBC=30， BDC=C=75， BCD 为等腰三角形， BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）由题意作图为：图 2，图 3（3）AC 是四边形 ABCD 的和谐线， ACD 是等腰三角形

36、 AB=AD=BC， 如图 4，当 AD=AC 时， AB=AC=BC，ACD=ADC ABC 是正三角形， BAC=BCA=60 BAD=90， CAD=30， ACD=ADC=75， BCD=60+75=135 如图 5，当 AD=CD 时， AB=AD=BC=CD BAD=90， 四边形 ABCD 是正方形，BCD=90 如图 6，当 AC=CD 时，过点 C 作 CEAD 于 E，过点 B 作 BFCE 于 F， AC=CDCEAD， AE=AD，ACE=DCE BAD=AEF=BFE=90， 四边形 ABFE 是矩形 BF=AE AB=AD=BC， BF=BC， BCF=30 AB=

37、BC， ACB=BAC ABCE，17BAC=ACE， ACB=ACE=BCF=15， BCD=153=45点评： 本题是一道四边形的综合试题，考查了和谐四边形的性质的运用，和谐四边形的判 定，等边三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，30的直角三角形的性质的 运用解答如图 6 这种情况容易忽略，解答时合理运用分类讨论思想是关键23、(2013 年南京压轴题)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同， 那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两 个三角形互为逆相似。例如，如图，ABCABC且沿周界ABCA与ABC A环绕的方向相同，因此AB

38、C 与ABC互为顺相似；如图，ABCAB C，且沿周界ABCA与 ABCA环绕的方向相反，因此ABC 与ABC互为 逆相似。(1) 根据图 I、图 II 和图 III 满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE与 ABC； GHO与KFO； NQP与NMQ。其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似 的是 。(填写所有符合要求的序号)(2) 如图，在锐角ABC中，ABC，点P在ABC的边上(不与点A、B、C重合)。过点P画直线截ABC，使截得的一个三角形与ABC互为逆相似。请根据点ABC ABCABCABC18P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由。解析：(

39、1) ； (4 分)(2) 解：根据点P在ABC边上的位置分为以下三种情况。第一种情况：如图，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出 2 条截线PQ1、PQ2，分别使CPQ1=A，BPQ2=A，此时PQ1C、PBQ2都与ABC互为逆相似。第二种情况：如图，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作CBM=A，BM交AC于点M。当点P在AM(不含点M)上时，过点P1只能画出 1 条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时AP1Q与ABC互为逆相似；当点P在CM上时，过点P2只能画出 2 条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ABC，CP2Q2=ABC，此时AP2Q1、Q2P2C都与ABC互为

40、逆相似。第三种情况：如图，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作BCD=A，ACE=B，CD、CE分别交AC于点D、E。当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出 1 条截线P1Q，使AP1Q=ABC，此时AQP1与ABC互为逆相似；当点P在DE上时，过点P2只能画出 2 条截线P2Q1、P2Q2，分别使AP2Q1=ACB，BP2Q2=BCA，此时AQ1P2、Q2BP2都与ABC互为逆相似；当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出 1 条截线P3Q，使BP3Q=BCA，此时QBP3与ABC互为逆相似。 (10 分)24、（绵阳市 2013 年压轴题）我们知道，三角形的三条中线一定会交于

41、一点，这一点就叫 做三角形的重心。重心有很多美妙的性质，如在关线段比面积比就有一些“漂亮”结论， 利用这些性质可以解决三角形中的若干问题。请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图 1），连结AO并延长交BC于D，证明：2 3AO AD；（2）若AD是ABC的一条中线（如图 2），O是AD上一点，且满足2 3AO AD，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与ABC的 顶点重合）（如图 3），S四边形 BCHGSAGH分别表示四边形BCHG和AGH的面积，试探究ABCABC

42、Q1PQ2ABCQ1M Q2QP1P2ABC Q1QQP1P2DEQ2P3 19的最大值。S四边形BCGH S AGH解：（1）证明：如图 1，连结 CO 并延长交 AB 于点 P，连结 PD。 点 O 是ABC 的重心， P 是 AB 的中点，D 是 BC 的中点，PD 是ABC 的中位线， AC=2PD， AC / PD， DPO=ACO，PDO=CAO，OPDCA，= = , = ,OD AOPD AC1 2AD AOOD + OA OA= 1 + 22= 32；AO AD = 2 3（2）点 O 是是ABC 的重心。 证明：如图 2，作ABC 的中线 CP，与 AB 边交于点 P，与A

43、BC 的 另一条中线 AD 交于点 Q，则点 Q 是ABC 的重心，根据（1）中的证明可知 ，AQ AD = 2 3而 ，点 Q 与点 O 重合（是同一个点），所以点 O 是ABC 的重心；AO AD = 2 3（3）如图 3，连结 CO 交 AB 于 F，连结 BO 交 AC 于 E，过点 O 分别作 AB、AC 的平行线 OM、ON，分别 与 AC、AB 交于点 M、N， 点 O 是ABC 的重心， = ， = , OE BE1 3OF CF1 3 在ABE 中，OM/AB，= = ，OM = OM ABOE BE1 3AB，1 3在ACF 中，ON/AC，= = ，ON = ON ACO

44、F CF1 3AC，1 3图 图 3图图 图 2图图 图 1图HABCDOABCDOOGDCBA20在AGH 中，OM/AH，= ，OM AGOH GH在ACH 中，ON/AH，= ，ON AHOG GH + = +=1， + =1, + = 3 ,OM AGON AHOH GHOG GH1 3AB AG1 3AC AHAB AGAC AH令= m , = n , m=3-n,AB AGAC AH = , S四边形BCGH S AGHS ABC - S AGH S AGH= S四边形BCGH S AGH=1 2ABACsinBAC - 1 2 AGAHsinBAC 1 2 AGAHsinBACABAC - AGAH AGAH= -1= mn-1=(3-n)n-1= -n2 +3n-1= -(n- )2 ABAC AGAH3 2+ ,5 4 当 = n = ，GH/BC 时， 有最大值 。AC AH3 2S四边形BCGH S AGH5 4附：或 的另外两种证明方法的作图。BG AG + CH AH= 1AB AG + AC AH= 3方法一：分别过点 B、C 作 AD 的平行线 BE、CF，分别交直线 GH 于点 E、F。 方法二：分别过点 B、C、A、D 作直线 GH 的垂线，垂足分别为 E、F、N、M。下面的图解也能说明问题：21