2012年全国中考数学分类解析汇编专题15：综合问题.doc

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1、 12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 15：综合问题：综合问题一、选择题一、选择题1. （2012 广东湛江广东湛江 4 分）分）已知长方形的面积为 20cm2，设该长方形一边长为 ycm，另一边的长为 xcm，则 y 与 x 之间的函数图象大致是【 】A. B. C. D.【答案答案】B。【考点考点】反比例函数的性质和图象。【分析分析】根据题意，得 xy=20，20y=x0, y0x。故选 B。2. （2012 浙江湖州浙江湖州 3 分）分）如图，已知点 A（4，0） ，O 为坐标原点，P 是线段 OA 上任意一点（不含端点O，A） ，过 P、O 两点

2、的二次函数 y1和过 P、A 两点的二次函数 y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为 B、C，射线 OB 与 AC 相交于点 D当 OD=AD=3 时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】A5 B453C3 D4 【答案答案】A。【考点考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析分析】过 B 作 BFOA 于 F，过 D 作 DEOA 于 E，过 C 作 CMOA 于 M，BFOA，DEOA，CMOA，BFDECM。OD=AD=3，DEOA，OE=EA=1 2OA=2。由勾股定理得：DE=5。2设 P（2x，0） ，根据二次函数的对称性得出 OF=PF=x，

3、BFDECM，OBFODE，ACMADE。BFOFCMAM DEOEDEAE 四，即BFxCM2x2255 四，解得：5 2x5BF xCM22四。BF+CM=5。故选 A。3. （2012 天津市天津市 3 分）分）若关于 x 的一元二次方程（x2） （x3）=m 有实数根 x1,x2，且 x1x2，有下列结论：x1=2，x2=3；1m4；二次函数 y=（xx1） （xx2）m 的图象与 x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0） 其中，正确结论的个数是【 】（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案答案】C。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式和根

4、与系数的关系。【分析分析】一元二次方程实数根分别为 x1、x2，x1=2，x2=3，只有在 m=0 时才能成立，故结论错误。一元二次方程（x2） （x3）=m 化为一般形式得：x25x6m=0，方程有两个不相等的实数根 x1、x2，=b24ac=（5）24（6m）=4m10，解得：1m4。故结论正确。一元二次方程 x25x6m=0 实数根分别为 x1、x2，x1x2=5，x1x2=6m。二次函数 y=（xx1） （xx2）+m=x2（x1x2）xx1x2m=x25x（6m）m=x25x6=（x2） （x3） 。令 y=0，即（x2） （x3）=0，解得：x=2 或 3。抛物线与 x 轴的交点为

5、（2，0）或（3，0） ，故结论正确。综上所述，正确的结论有 2 个：。故选 C。4. （2012 四川广元四川广元 3 分）分） 已知关于 x 的方程22(x1)(xb)2有唯一实数解，且反比例函数1byx的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，那么反比例函数的关系式为【 】A. 3yx B. 1yx C. 2yx D. 2yx 【答案答案】D。3【考点考点】一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质。【分析分析】关于 x 的方程22(x1)(xb)2化成一般形式是：2x2（22b）x（b21）=0，它有唯一实数解，=（22b）28（b21）=4（b3） （b1）=0，解得：b=3 或

6、1。反比例函数1byx 的图象在每个象限内 y 随 x 的增大而增大，1+b0。b1。b=3。反比例函数的解析式是13yx，即2yx 。故选 D。5. （2012 四川凉山四川凉山 4 分）分）如图，在平面直角坐标系中，O 的半径为 1，则直线yx2与O 的位置关系是【 】A相离 B相切 C相交 D以上三种情况都有可能【答案答案】B。【考点考点】坐标与图形性质，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】如图，在yx2中，令 x=0，则 y=2 ；令 y=0，则 x=2 ，A（0，2） ，B（2，0） 。OA=OB= 2 。AOB 是等腰直角三角形。AB=2，过点 O

7、 作 ODAB，则 OD=BD=1 2AB=1 22=1。又O 的半径为 1，圆心到直线的距离等于半径。直线 y=x- 2 与O 相切。故选 B。6. （2012 辽宁朝阳辽宁朝阳 3 分）分）如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数2k +4k+1y=x的图象上，若点 A 的坐标为（2，3） ，则 k 的值为【 】4A.1 B. 5 C. 4 D. 1 或5【答案答案】D。【考点考点】矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征。【分析分析】如图：四边形 ABCD、HBEO、OECF、GOFD 为矩形，又BO 为四边形 HBEO 的对角线

8、，OD 为四边形 OGDF 的对角线，BEOBHOOFDOGDCBDADBSSSSSS四四。CBDBEOOFDADBBHOOGDSSSSSS。CEOFHAGOSS2 36四四四四边边。xy=k2+4k+1=6，解得，k=1 或 k=5。故选 D。7. （2012 贵州安顺贵州安顺 3 分）分）下列说法中正确的是【 】A9是一个无理数B 函数x+1y=2的自变量的取值范围是 x1C 若点 P（2，a）和点 Q（b，3）关于 x 轴对称，则 ab 的值为 1D 8 的立方根是 2【答案答案】C。【考点考点】无理数，函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，关于 x 轴对称的点的坐标，立方根。【分

9、析分析】A、9=3 是有理数，故此选项错误；B、函数x+1y=2的自变量的取值范围是 x1，故此选项错误；C、若点 P（2，a）和点 Q（b，3）关于 x 轴对称，则 b=2，a=3，故 ab=32=1，故此选项正确；D、8 的立方根式2，故此选项错误。故选 C。58. （2012 广西柳州广西柳州 3 分）分）小兰画了一个函数ay1x的图象如图，那么关于 x 的分式方程a12x 的解是【 】Ax=1 Bx=2 Cx=3 Dx=4 【答案答案】A。【考点考点】反比例函数的图象，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，关于 x 的分式方程a12x 的解就是函

10、数ay1x中，纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的值根据图象可以得到：当 y=2 时，x=1。故选 A。9. （2012 广西钦州广西钦州 3 分）分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y） ，若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x） 如 f（2，3）=（3，2） ；g（x，y）=（x，y） ，如 g（2，3）=（2，3） 按照以上变换有：f（g（2，3） ）=f（2，3）=（3，2） ，那么 g（f（6，7） ）等于【 】A （7，6） B （7，6） C （7，6） D （7，6）【答案答案】C。【考点考点】新定义，点的坐标。【分析分析】由题意应先进行 f 方式的变换，再进行

11、g 方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：f（6，7）=（7，6） ，g（f（6，7） ）=g（7，6）=（7，6） 。故选 C。10. （2012 吉林长春吉林长春 3 分）分） 如图，在平面直角坐标系中，在 x 轴、y 轴的正半轴上分别截取 OA、OB,使OA=OB；再分别以点 A, B 为圆心，以大于1 2AB 长为半径作弧，两弧交于点 C若点 C 的坐标为(m1,2n),则 m 与 n 的关系为【 】6(A)m2n=1 (B)m2n=1 (C)2nm=1 (D)n2m=1【答案答案】B。【考点考点】作图（基本作图） ，角平分线性质，点到 x 轴、y 轴距离。【分析分析】如图，根据题

12、意作图知，OC 为AOB 的平分线，点 C 的坐标为(m1,2n)且在第一象限，点 C 到 x 轴 CD=2n，到 y 轴距离 CE= m1。根据角平分线上的点到角两边距离相等，得 m1=2n，即 m2n=1 。故选B。11. （2012 青海西宁青海西宁 3 分）分）如图，将矩形沿图中虚线(其中 xy)剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形若 y2，则 x 的值等于【 】A3 B21 C1 D1552【答案答案】C。【考点考点】一元二次方程的应用（几何问题） ，图形的剪拼。【分析分析】如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为 x，根据剪拼前后图形的面积相等可得，y（x+y）=x2。y=2，

13、2（x+2）=x2，整理得，x2-2x-4=0，解得 x1=1，x2=1（舍去） 。故选 C。5512. （2012 内蒙古呼和浩特内蒙古呼和浩特 3 分）分）下列命题中，真命题的个数有【 】一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行函数21y=x +x图象上的点 P（x，y）一定在第二象限正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为113 2 A3 个B1 个C4 个D2 个【答案答案】D。7【考点考点】命题与定理，平移和旋转的性质，非负数的性质，平行投影，公式法解一元二次方程，绝对值，二次根式有意义的条件。【分

14、析分析】平移后对应线段平行；对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小没有发生变化；旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化。故此命题错误。根据二次根式的意义得 x0，y0，故函数21y=x +x图象上的点 P（x，y）一定在第二象限。故此命题正确。根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面。故此命题正确。使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时成立，即 y=|x|3，y=x2，故|x|3=x2，x2|x|3=0。当 x0，则 x2x3=0，解得：x1=1+ 13 2，x2=113 2（不合题意舍去） ；当 x0，则 x2+x3=0，解得：x

15、1=1+ 13 2（不合题意舍去） ，x2=113 2 。使得|x|y=3 和 y+x2=0 同时成立的 x 的取值为：1+ 13 2，113 2 。故此命题错误。故正确的有 2 个。故选 D。 二、填空题二、填空题1. （2012 山西省山西省 3 分）分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x轴正半轴的夹角为 30，OC=2，则点 B 的坐标是 【答案答案】 （2，23） 。【考点考点】矩形的性质，平行的性质，坐标与图形性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析分析】过点 B 作 DEOE 于 E，矩形 OABC 的

16、对角线 AC 平行于 x 轴，边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为30，CAO=30。又OC=2，AC=4。OB=AC=4。8又OBC=CAO=30，DEOE，CBA=90，OBE=30。OE=2，BE=OBcosOBE =23。点 B 的坐标是（2，23） 。2. （2012 陕西省陕西省 3 分）分）如图，从点 A（0，2）发出的一束光，经 x 轴反射，过点 B（4，3） ，则这束光从点 A 到点 B 所经过路径的长为 【答案答案】41。【考点考点】跨学科问题，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】如图，过点 B 作 BDx 轴于 D，A（0，2） ，B（4，3） ，

17、OA=2，BD=3，OD=4。根据入射角等于反射角的原理得：ACO=BCD。AOC=BDC=90，AOCBDC。OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，设 OC=x，则 DC=4x，2 3 x4x四四，解得8x=5，即 OC=8 5。222AC OAOC415。2415：BC=2：3，解得 BC= 3415。AC+BC=41，即这束光从点 A 到点 B 所经过的路径的长为41。3. （2012 广东佛山广东佛山 3 分）分）如图，边长为4m的正方形纸片剪出一个边长为 m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 9【答案答案】2m4。【考点考点】图形的

18、变换，一元一次方程的应用（几何问题） 。【分析分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解：设拼成的矩形的另一边长为 x，则 4x=（m4）2m2=（m4m） （m4m）=8m16，解得 x=2m4。4. （2012 浙江湖州浙江湖州 4 分）分）如图，将正ABC 分割成 m 个边长为 1 的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成 n 个边长为 1 的小三角形，若m47 n25，则ABC 的边长是 【答案答案】12。【考点考点】一元二次方程的应用（几何问题） ，菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析分析】设正ABC 的边长为 x，则由

19、勾股定理，得高为3x2，2 ABC133Sxx x224。所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为3x32 ，较短的对角线为331x3=x1232。黑色菱形的面积=21313x3x1x22228。22233xx2m4748=3n25x28 ，整理得，11x2144x144=0。解得112x 11（不符合题意，舍去） ，x2=12。所以，ABC 的边长是 12。5. （2012 江苏江苏连云港连云港 3 分）分）如图，直线 yk1xb 与双曲线2ky=x交于 A、B 两点，其横坐标分别为 110和 5，则不等式 k1x2k xb 的解集是 【答案答案】5x1 或

20、x0。【考点考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析分析】不等式 k1x2k xb 的解集即 k1xb2k x的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线 yk1xb 在双曲线2ky=x下方的自变量 x 的取值范围即可。而直线 yk1xb 的图象可以由 yk1xb 向下平移 2b 个单位得到，如图所示。根据函数2ky=x图象的对称性可得：直线 yk1xb 和yk1xb 与双曲线2ky=x的交点坐标关于原点对称。由关于原点对称的坐标点性质，直线 yk1xb 图象与双曲线2ky=x图象交点 A、B的横坐标为A、B 两点横坐标的相反数，即

21、为1，5。由图知，当5x1 或 x0 时，直线 yk1xb 图象在双曲线2ky=x图象下方。不等式 k1x2k xb 的解集是5x1 或 x0。6. （2012 江苏江苏南通南通 3 分）分）无论 a 取什么实数，点 P(a1，2a3)都在直线 l 上，Q(m，n)是直线 l 上的点，则(2mn3)2的值等于 【答案答案】16。【考点考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上，令 a=0，则 P1（1，3） ；再令 a=1，则 P2（0，1） 。设直线 l 的解析式为 y=kx+b（k0） ，11 kb3b1 ，解得k2b1

22、 。直线 l 的解析式为：y=2x1。Q（m，n）是直线 l 上的点，2m1=n，即 2mn=1。(2mn3)2=（1+3）2=16。7. （2012 福建龙岩福建龙岩 3 分）分）如图，平面直角坐标系中，O1过原点 O，且O1与O2相外切，圆心O1与O2在 x 轴正半轴上，O1的半径O1P1、O2的半径O2P2都与 x 轴垂直，且点 P111xy四、P222xy四在反比例函数1y=x（x0）的图象上，则12y +y = 【答案答案】2。【考点考点】反比例函数综合题。【分析分析】O1过原点 O，O1的半径 O1P1，O1O=O1P1。O1的半径 O1P1与 x 轴垂直，点 P1（x1，y1）在

23、反比例函数1y=x（x0）的图象上，x1=y1，x1y1=1。x1=y1=1。O1与O2相外切，O2的半径 O2P2与 x 轴垂直，设两圆相切于点 A，AO2=O2P2=y2，OO2=2+y2。P2点的坐标为：（2+y2，y2） 。点 P2在反比例函数1y=x（x0）的图象上，（2+y2）y2=1，解得：y2=1+2 或12（不合题意舍去） 。y1+y2=1+（1+2）= 2。8. （2012 湖北武汉湖北武汉 3 分）分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(3，0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC2设 tanBOCm，则 m 的取值范围是 【答案答案】5

24、m2。【考点考点】锐角三角函数定义，勾股定理，一元二次方程根的判别式。12【分析分析】如图，设 C 点坐标为（xy 四） 。tanBOCm，ECx=mCDy，即x=my。A 的坐标为(3，0)，DA=3x。又AC2由勾股定理，得223x+y =4，即223my+y =4，整理得221+my6my+5=0由222= 6m4 1+m5=16m200得25m4。tanBOCm0，5m2。9. （2012 湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）平面直角坐标系中，M 的圆心坐标为（0，2） ，半径为 1，点 N 在 x 轴的正半轴上，如果以点 N 为圆心，半径为 4

25、的N 与M 相切，则圆心 N 的坐标为 【答案答案】 （21，0）或（5，0） 。【考点考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。【分析分析】分别从M 与N 内切或外切去分析：M 与N 外切，MN=4+1=5，2222ON= MNOM5221，圆心 N 的坐标为（21，0） 。M 与N 内切，MN=41=3，2222ON= MNOM325，圆心 N 的坐标为（5，0） 。综上所述，圆心 N 的坐标为（21，0）或（5，0） 。10. （2012 辽宁阜新辽宁阜新 3 分）分）如图 1，在边长为 a 的大正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图 2这

26、个拼成的长方形的长为 30，宽为 20则图 2 中部分的面积是 13【答案答案】100。【考点考点】解二元一次方程组的应用（几何问题） 。【分析分析】由题意，得图 2 中部分长为 b，宽为 ab，a+b=30 ab=20，解得a=25 b=5。图 2 中部分的面积是abb= 2555=100。11. （2012 吉林长春吉林长春 3 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线2y=a x3+k与 y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 .【答案答案】18。【考点考点】二次函数的性质，等边三角形的性质。【分析分析】根据二

27、次函数的性质，抛物线2y=a x3+k的对称轴为 x=3。A 是抛物线2y=a x3+k与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另一 点，且 ABx 轴。A，B 关于 x=3 对称。AB=6。又ABC 是等边三角形，以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 63=18。12. （2012 甘肃兰州甘肃兰州 4 分）分）如图，M 为双曲线3y=x上的一点，过点 M 作 x 轴、y 轴的垂线，分别交直线 yxm 于点 D、C 两点，若直线 yxm 与 y 轴交于点 A，与 x 轴相交于点 B，则 ADBC 的值为 14【答案答案】23。【考点考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系

28、，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】如图，作 CEx 轴于 E，DFy 轴于 F， 在 yxm 中，令 x0，则 ym；令 y0，xm0，解得 xm。A(0，m)，B(m，0)。OAB 等腰直角三角形。ADF 和CEB 都是等腰直角三角形。设 M 的坐标为(a，b)，则 ab3，CEb，DFa。AD2DF2a，BC2CE2b，ADBC2a2b2ab23。三、解答题三、解答题1. （2012 上海市上海市 12 分）分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0） 、B（1，0） ，与 y 轴交于点 C，点 D 在线段 OC 上，OD=t，

29、点 E 在第二象限，ADE=90，tanDAE=1 2，EFOD，垂足为 F（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段 EF、OF 的长（用含 t 的代数式表示） ；（3）当ECA=OAC 时，求 t 的值【答案答案】解：（1）二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A（4，0） 、B（1，0） ，16a+24+c=0 a6+c=0，解得a=2 c=8 。15这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8。（2）EFD=EDA=90，DEF+EDF=90，EDF+ODA=90。DEF=ODA。EDFDAO。EFED=DODA。ED1=tanDAE=DA2，EF1=DO2。OD=t，EF1=

30、t2，EF=1t2。同理DFED=OADA，DF=2，OF=t2。（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8） ，OC=8。如图，连接 EC、AC，过 A 作 EC 的垂线交 CE 于 G 点ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等） 。在CAG 与OCA 中，OAC=GCA，AC=CA，ECA=OAC，CAGOCA（ASA） 。CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过 E 点作 EMx 轴于点 M，则在 RtAEM 中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+1t2，由勾股定理得： 2 22221AEAMEM4+t+ t22。在 RtAEG 中，由勾股定理得：

31、2 2222215EG= AEAD4+t+ t28t4424。在 RtECF 中，EF=1t2，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=4+25t444由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即22 2215t+ 10t= 4+t4424。解得 t1=10（不合题意，舍去） ，t2=6。t=6。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】 （1）已知点 A、B 坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。16（2）先证明EDFDAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通

32、过作辅助线构造一对全等三角形：CAGOCA，得到 CG、AG 的长度；然后利用勾股定理求得 AE、EG 的长度（用含 t 的代数式表示） ；最后在 RtECF 中，利用勾股定理，得到关于 t的无理方程，解方程求出 t 的值。2. （2012 福建莆田福建莆田 14 分）分） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(0，3)，B(6，3)，C(6，0)，抛物线2yaxbxc(a0)过点 A。(1)(2 分)求 c 的值； (2)(6 分)若 al，且抛物线与矩形有且只有三个交点 A、D、E，求ADE 的面积 S 的最大值；(3)(6 分)若抛物线与矩形有

33、且只有三个交点 A、M、N，线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O，交线段 BC 于点F。当 BF1 时，求抛物线的解析式【答案答案】解：(1)抛物线2yaxbxc过点 A(0，3)，c3。(2) al，2yxbx3 如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时， 抛物线与直线x6 的交点应落在 C 点或 C 点下方。 当 x6 时，y0。266b30，即11b2。又对称轴在 y 轴右侧，b0。011b2。由抛物线的对称性可知： bbAD22b2a21 。又ADE 的高BC3，S1 2b33b2。3 20，S 随 b 的增大而增大。当 b11 2时，S 的最大值31133

34、=224。17如图，当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时，抛物线与直线x6 的交点应落在线段 BC 上且不与点 B 重合，即 0Ey3。当 x6，则2y66b36b33 ，06b333，11 2b6。BE3(6b33)366b。S1 2ADBE1 2b(366b)3b2+18b。对称轴 b311 2，随 b 的增大而减小。当 b11 2时，S 的最大值33 4。综上所述：S 的最大值为33 4。(3)当 a0 时，符合题意要求的抛物线不存在。当 a0 时，符合题意要求的抛物线有两种情况：当点 M、N 分别在 AB、OC 边上时如图过 M 点作 MGOC 于点 G，连接

35、OMMGOA32MNO90。OF 垂直平分 MNOMON，1MNO=90，12。FB1，FC312。tan1FC21 OC63，tan2GN GMtan11 3。GN1 3GM1。设 N(n，0)，则 G(n1，0)，M(n1，3)。 AMn1，ONnOM。 在 RtAOM 中，222OMOAAM，222n3n1，解得 n5。 M(4，3)，N(5，0)。把 M(4，3)，N(5，0)分别代入2yaxby3，得18316a4b3 025a5b3 ，解得3a5 12b5 。抛物线的解析式为2312yxx355 。当点 M、N 分别在 AB、BC 边上时如图，连接 MFOF 垂直平分 MN，1NF

36、O90，MFFN。又0CB90，2CFO=90。12。BF1， FC2。tan1tan2FC21 OC63。在 RtMBN，tan1MB1=BN3，BN3MB。设 N(6，n)则 FN2n，BN3 一 n。MF2n，MB3n11n33 。在 RtMBF 中，222MFMBFB，2 2212n1n13。解得：123nn34， (不合题意舍去)，3BM4。AM631=544， M(154，3)，N(6，3 4) 。把 M(154，3)，N(6，3 4)分别代人2yaxby3，得221213ab344 336a6b34 ，解得1a2 21b8 。抛物线的解析式为2121yxx328 。综上所述，抛物

37、线的解析式为2312yxx355 或2121yxx328 。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，解二元一次方程组。19【分析分析】（1）将点 A 的坐标代入2yaxbxc即可求得 c 的值。（2）分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E分别在 AB、BC 边两种情况应用二次函数性质分别求解。（3）分抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上和抛物线与矩形的两个交点 D、E分别在 AB、BC 边两种情况应用待定系数法分别求解。3. （2012 甘肃兰州甘肃兰

38、州 10 分）分）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2bxc(a0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数 a、b、c 有如下关系：x1x2b a，x1x2c a把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点为 A(x1，0)，B(x2，0)利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB|x1x2|222 12122b4cb4acx +x4x x =aaa2b4ac=a。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为 C，显

39、然ABC 为等腰三角形(1)当ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；(2)当ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值【答案答案】解：（1）当ABC 为直角三角形时，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB2CE。抛物线与 x 轴有两个交点，b24ac0，则|b24ac|b24ac。20a0，AB22b4acb4ac=aa。又CE224acbb4ac=4a4a，22b4acb4ac=2a4a。2 2b4acb4ac=2，即22 2b4ac b4ac=4 。b24ac0，b24ac4。（2）当ABC 为等边三角形时，由(1)可知 CE3 2AB，22b4ac3b4ac=4a2a。b24a

40、c0，b24ac12。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。【分析分析】 （1）当ABC 为直角三角形时，由于 ACBC，所以ABC 为等腰直角三角形，过 C 作CEAB 于 E，则 AB2CE根据本题定理和结论，得到 AB2b4ac=a，根据顶点坐标公式，得到 CE24acb=4a，列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。（2）当ABC 为等边三角形时，解直角ACE，得 CE3 2AB，据此列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值。4. （2012 湖北湖北黄石黄石 10 分）分）已知抛物线 C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)，

41、若抛物线 C1经过点(0, 3)，方程2axbx3a0的两根为1x，2x，且12xx4。（1）求抛物线 C1的顶点坐标.（2）已知实数x0，请证明：1xx2,并说明x为何值时才会有1x2x.（3）若抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2，设1A(m,y )， 2B(n,y )是 C2上的两个不同点，且满足： 00AOB9，m0，n0.请你用含有m的表达式表示出AOB的面积 S，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数解析式。21（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则 P，Q 两点间的距离22 2121

42、(xx )(yy )）【答案答案】解：（1）抛物线过（,）点，3a。a 。x2bxx2bx=的两根为 x1，x2且12xx4，22 121212xx(xx )4x x = b +12且 b。b。22xxx四四四四四四四。抛物线的顶点坐标为（，） 。（2）x，11x2( x)0xx1x2x。当1x=0x时，即当 x时，有1x2x。 （3）由平移的性质，得 C2的解析式为：yx2 。(m，m2)，B（n，n2） 。AOB 为直角三角形，OA2OB2=AB2。m2m4n2n4（mn）2（m2n2）2，化简得：m n。AOB=242411mmnn22OAOB=，m n，AOB222 21112mn2m

43、22m211111(m)m212m2m2。AOB的最小值为，此时 m,(,)。直线 OA 的一次函数解析式为x。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析分析】 （1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数 a、b 的值已知抛物线图象与 y 轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到 a 的值） ；然后从方程入手求 b 的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式） ，结合根与系数的关系即可求出b 的值。22（2）将1xx配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线 C2的解析式；在 RtOAB 中，由勾股定理可确定 m、n 的关系式，然后用 m 列出AOB 的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定OAB 的最小面积值以及此时 m 的值，从而由待定系数法确定一次函数 OA 的解析式。别解：由题意可求抛物线 C2的解析式为：yx2。(m，m2)