2012年全国中考数学分类解析汇编专题3：函数问题.doc

《2012年全国中考数学分类解析汇编专题3：函数问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年全国中考数学分类解析汇编专题3：函数问题.doc（57页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 3：函数问题：函数问题一、选择题一、选择题1. （2012 海南省海南省 3 分）分）星期 6，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间 x（分钟）的函数图象。下列说法不一定正确的是【 】A小亮家到同学家的路程是 3 千米 B小亮在同学家逗留的时间是 1 小时 C小亮去时走上坡路，回家时走下坡路 D小亮回家时用的时间比去时用的时间少【答案答案】C。【考点考点】函数的图象。【分析分析】从函数的图象可知，小亮家到同学家的路程是 3 千米；小亮在同学家逗留的时间是8020=60（分钟）=1

2、 小时；小亮回家时用的时间为 9580=15（分钟） ，去时用的时间为 20 分钟，所以小亮回家时用的时间比去时用的时间少。故选项 A，B，D 都正确。对于选项 C，虽然小亮回家时用的时间比去时用的时间少，这只能说明小亮回家时骑自行车的速度加快了，而不一定就是小亮去时走上坡路，回家时走下坡路。故选 C。2. （2012 广东广州广东广州 3 分）分）如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数2 2ky =x的图象交于 A（1，2） 、B（1，2）两点，若 y1y2，则 x 的取值范围是【 】2Ax1 或 x1 Bx1 或 0x1 C1x0 或 0x1 D1x0 或 x1【答案答案】D。【考点

3、考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析分析】根据图象找出直线在双曲线下方的 x 的取值范围：由图象可得，1x0 或 x1 时，y1y2。故选 D。3. （2012 广东梅州广东梅州 3 分）分）在同一直角坐标系下，直线 y=x+1 与双曲线1y=x的交点的个数为【 】A0 个 B1 个 C2 个 D不能确定【答案答案】C。【考点考点】反比例函数与一次函数的交点问题。【分析分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：直线 y=x+1 的图象经过一、二、三象限，双曲线1y=x的图象经过一、三象限，直线 y=x+1 与双曲线1y=x有两个交点。故选 C。4. （2012 浙江衢州浙江衢州 3

4、 分）分）已知二次函数 y= x27x+，若自变量 x 分别取 x1，x2，x3，且0x1x2x3，则对应的函数值 y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】Ay1y2y3 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy2y3y1【答案答案】A。【考点考点】二次函数图象上点的坐标特征。【分析分析】根据 x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断 y1、y2、y3的大小关系：二次函数2115yx7x22 ，此函数的对称轴为：b7x=712a22 。70x1x2x3，三点都在对称轴右侧，a0，对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小。y1y2y3。故选 A。35. （2012 广东广东河河源源 3 分）分）在同一坐

5、标系中，直线 yx1 与双曲线 y 的交点个数为【 】1xA0 个 B1 个 C2 个 D不能确定【答案答案】A。【考点考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。【分析分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立 yx1 和 y 得，x1 ，整理，得1x1xx 2x10。14=50，x 2x10 有两不相等的实数根。直线 yx1 与双曲线 y 有两个交点。故选 A。1x6. （2012 福建厦门福建厦门 3 分）分）已知两个变量 x 和 y，它们之间的 3 组对应值如下表所示.x101y113则 y 与 x 之间的函数关系式可能是【 】Ayx By

6、2x1 Cyx2x1 Dy3x【答案答案】B。【考点考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：A根据表格对应数据代入不能全得出 y=x，故此选项错误；B根据表格对应数据代入均能得出 y=2x+1，故此选项正确；C根据表格对应数据代入不能全得出 yx2x1，故此选项错误；D根据表格对应数据代入不能全得出 y ，故此选项错误。3x故选 B。7. （2012 福建漳州福建漳州 4 分）分）在公式 I=U R中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系可用图象大致表示为【 】A BC D4【答

7、案答案】D。【考点考点】跨学科问题，反比例函数的图象。【分析分析】在公式 I=U R中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻 R 之间的函数关系不反比例函数关系，且 R为正数，选项 D 正确。故选 D。8. （2012 福建三明福建三明 4 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】A 2 个 B 3 个 C4 个 D5 个【答案答案】C。【考点考点】等腰三角形的判定。【分析分析】如图，分 OP=AP（1 点） ，OA=AP（1 点） ，OA=OP（2点）三种情况讨论。以 P，O，A 为

8、顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。9. （2012 湖北宜昌湖北宜昌 3 分）分）已知抛物线 y=ax22x+1 与 x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】A第四象限 B第三象限 C第二象限 D第一象限【答案答案】D。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。1419956【分析分析】抛物线 y=ax22x+1 与 x 轴没有交点，=44a0，解得：a1。抛物线的开口向上。又b=2，抛物线的对称轴在 y 轴的右侧。抛物线的顶点在第一象限。故选 D。10. （2012 湖南益阳湖南益阳 4 分）分）在一

9、个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】5A B C D【答案答案】B。【考点考点】跨学科问题，函数的图象。【分析分析】根据在一个标准大气压下水加热到 100后水温不会继续增加，而是保持 100不变，据此可以得到函数的图象。故选 B。11. （2012 湖南张家界湖南张家界 3 分）分）当 a0 时，函数 y=ax+1 与函数ya x在同一坐标系中的图象可能是【 】A.BCD【答案答案】C。【考点考点】反比例函数和一次函数的图象性质。【分析分析】当 a0 时，y=ax+1 过一二三象限，经过点（0，1） ，ayx过一三象限；当 a0 时

10、，y=ax+1 过一二四象限，ayx过二四象限。选项 A 的 y=ax+1，a0，经过点（0，1） ，但ayx的 a0，不符合条件；选项 B 的 y=ax+1，a0， ，ayx的 a0，但 y=ax+1 不经过点（0，1） ，不符合条件；选项 C 的 y=ax+1，a0，经过点（0，1） ，ayx的 a0，符合条件；选项 D 的 y=ax+1，a0， ，ayx的 a0，但 y=ax+1 不经过点（0，1） ，不符合条件。故选 C。12. （2012 四川乐山四川乐山 3 分）分）二次函数 y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（1，0） 设 t=a+b+1，则 t 值的变化

11、范围是【 】A0t1 B0t2 C1t2 D1t1【答案答案】B。6【考点考点】二次函数图象与系数的关系。【分析分析】二次函数 y=ax2+bx+1 的顶点在第一象限，且经过点（1，0） ，ab+1=0，a0，b0，由 a=b10 得 b1，0b1，由 b=a+10 得 a1，1a0。由得：1a+b1。0a+b+12，即 0t2。故选 B。13. （2012 四川广安四川广安 3 分）分）时钟在正常运行时，时针和分针的夹角会随着时间的变换而变化，设时针与分针的夹角为 y 度，运行时间为 t 分，当时间从 3：00 开始到 3：30 止，图中能大致表示 y 与 t 之间的函数关系的图象是【 】A

12、 B C D【答案答案】D。【考点考点】函数的图象。【分析分析】根据分针从 3：00 开始到 3：30 过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到 75，即可得出符合要求的图象：设时针与分针的夹角为 y 度，运行时间为 t 分，当时间从 3：00 开始到 3：30 止，当 3：00 时，y=90，当 3：30 时，时针在 3 和 4 中间位置，故时针与分针夹角为：y=75，又分针从 3：00 开始到 3：30 过程中，时针与分针夹角先减小，一直到重合，再增大到 75，只有 D 符合要求。故选 D。14. （2012 四川德阳四川德阳 3 分）分）设二次函数2yxbxc，当x1时，总有y

13、0，当1x3时，总有y0，那么 c 的取值范围是【 】A.c3 B.c3 C.1c3 D.c3【答案答案】B。【考点考点】二次函数的性质。【分析分析】当 x1 时，总有 y0，当 1x3 时，总有 y0，当 x=1 时，y=0，即 1+b+c=0。7当 1x3 时，总有 y0，当 x=3 时，y=9+3b+c0。联立解得：c3。故选 B。15. （2012 辽宁本溪辽宁本溪 3 分）分）如图，已知点 A 在反比例函数4y=x图象上，点 B 在反比例函数ky=x(k0)的图象上，ABx 轴，分别过点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D，若 OC=1 3OD，则 k 的值为【 】A、10

14、 B、12 C、14 D、16【答案答案】B。【考点考点】反比例函数的图象和性质。【分析分析】由已知，设点 A（x，4 x） ，OC=1 3OD，B（3x，k 3x） 。4k=x3x，解得 k=12。故选 B。16. （2012 贵州贵阳贵州贵阳 3 分）分）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，当5x0 时，下列说法正确的是【 】A有最小值5、最大值 0 B有最小值3、最大值 6C有最小值 0、最大值 6 D有最小值 2、最大值 6【答案答案】B。【考点考点】二次函数的图象和最值。【分析分析】由二次函数的图象可知，85x0，当 x=2 时函数有最大值，y最大=6；当 x=

15、5 时函数值最小，y最小=3。故选B。17. （2012 山东菏泽山东菏泽 3 分）分）已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，那么一次函数ybxc和反比例函数ayx在同一平面直角坐标系中的图象大致是【 】ABC D【答案答案】C。【考点考点】一次函数、反比例函数和二次函数的图象性质。【分析分析】由二次函数的图象知：二次函数图象开口向下，a0，由二次函数的图象知：二次函数图象的对称轴为=02bx355 。小明说的有道理。【考点考点】一次函数的应用。【分析分析】 （1）根据此“酸奶”以每瓶 3 元购进，5 元售出，该超市某一天购进 20 瓶酸奶进行销售，即可得出 y 与 x 的函数关系式，再利

16、用 y 大于 0 得出 x 的取值范围。（2）根据频数分布表得出总数，从而得出平均数即可。（3）利用每天购进 19 瓶销售酸奶的利润 y（元）与售出的瓶数 x（瓶）之间的函数关系式，得出在 10 天当中，利润为 28 元的有 1 天，33 元的有 2 天，8 元的有 7 天，从而得出总利润，比较即可得出答案。3. （2012 天津市天津市 10 分）分）已知抛物线 y=ax2+bx+c（02ab）的顶点为 P（x0，y0） ，点 A（1，yA） 、B（0，yB） 、C（1，yC）在该抛物线上（）当 a=1，b=4，c=10 时，求顶点 P 的坐标；求ABCy yy-的值；（）当 y00 恒成立

17、时，求ABCy yy的最小值【答案答案】解：（）若 a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为 y=x2+4x+10。y=x2+4x+10=（x+2）2+6，抛物线的顶点坐标为 P（2，6） 。点 A（1，yA） 、B（0，yB） 、C（1，yC）在抛物线 y=x2+4x+10 上，yA=15，yB=10，yC=7。ABCy15=5yy107。（）由 02ab，得0bx12a。-（3）小兰家 6 月份的用水量为 26 吨，她家要缴水费 32615=63 元。【考点考点】一元一次方程和一次函数的应用。【分析分析】 （1）利用已知得出 4 月份用水 22 吨，水费 51 元，5 月份用水 20

18、 吨，水费 45 元，求出市场价收费标准为：（5145）（2220）=3（元/吨） ，进而得出每吨水的基本价。（2）利用（1）中所求不同水价，再利用当 n15 时，m=2n，当 n15 时，分别求出即可。（3）根据（2）中所求得出，用水量为 26 吨时要缴水费。9. （2012 贵州黔东南贵州黔东南 12 分）分）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天 120 元，并且各自推出不同的优惠方案甲家是 35 人（含 35 人）以内的按标准收费，超过 35 人的，超出部分按九折收费；乙家是 45 人（含

19、45 人）以内的按标准收费，超过 45 人的，超出部分按八折收费如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？【答案答案】解：设总人数是 x，当 x35 时，选择两个，宾馆是一样的；当 35x45 时，选择甲宾馆比较便宜；当 x45 时，甲宾馆的收费是：y甲=35120+0.9120（x35）=108x+420；乙宾馆的收费是 y乙=45120+0.8120（x45）=96x+1080。当 y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55；当 y甲y乙时，即 108x+42096x+1080，解得：x55；当 y甲y乙时，即 108x+42096x+1080，解得：x55。

20、综上所述，当 x35 或 x=55 时，选择两个宾馆是一样的；当 35x55 时，选择甲宾馆比较便宜。当 x55 时，选乙宾馆比较便宜。【考点考点】一次函数的应用。【分析分析】当 x35 时，选择两个，宾馆是一样的；当 35x45 时，选择甲宾馆比较便宜，当 x35 时，两个宾馆的收费可以表示成人数 x 的函数，比较两个函数值的大小即可。2910. （2012 湖北荆门湖北荆门 10 分）分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2

21、=4x1x2求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值【答案答案】解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y=0 得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1） （k+2）0，解得 k2即 k2 且 k1。综上所述，k 的取值范围是 k2。（2）x1x2，由（1）知 k2 且 k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*） ，将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=2

22、k k1，x1x2=k+2 k1，2k2k k1=4k+2 k1，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去） 。所求 k 值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x1 2）2+3 2，且1x1，由图象知：当 x=1 时，y最小=3；当 x=1 2时，y最大=3 2。y 的最大值为3 2，最小值为3。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析分析】 （1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2k

23、x2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于 k 的方程，求出 k 的值。充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。11. （2012 湖南长沙湖南长沙 10 分）分）在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以 25 万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入 100 万元购买生产设备，进行该产品的生产加工已知生产这种产品的成本价为每件 20 元经过市场调研发现，该产品的销售单价定在 25 元到 30 元30之间较为合理，并且该产品的年销售量 y（万件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式为： 40x 25x30y250.5x 30 。1212ss tt。

24、其实际意义是刹车后到 t2时间内的平均速到 t1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析分析】 （1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求） ，即可求得答案。（4）求出11s t与22s t，用差值法比较大小。24. （2012 吉林长春吉林长春 10 分）分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+42 交 x 轴与点 A,交直线 y=x 于点 B,抛物线2y=ax2x+c分别交线段 AB、O

25、B 于点 C、D，点 C 和点 D 的横坐标分别为 16 和 4，点 P 在这条抛物线上（1）求点 C、D 的纵坐标（2）求 a、c 的值（3）若 Q 为线段 OB 上一点，且 P、Q 两点的纵坐标都为 5，求线段 PQ 的长（4）若 Q 为线段 OB 或线段 AB 上的一点，PQx 轴，设 P、Q 两点之间的距离为 d（d0） ，点 Q 的横50坐标为 m，直接写出 d 随 m 的增大而减小时 m 的取值范围（参考公式：二次函数2y=ax +bx+c a0图像的顶点坐标为2b4acb 2a4a形）【答案答案】解：（1）点 C 在直线 AB：y=2x+42 上，且 C 点的横坐标为 16，y=

26、216+42=10，即点 C 的纵坐标为 10。D 点在直线 OB：y=x 上，且 D 点的横坐标为 4，点 D 的纵坐标为 4。（2）由（1）知点 C 的坐标为（16，10） ，点 D 的坐标为（4，4） ，抛物线2y=ax2x+c经过 C、D 两点，256a32c10 16a8c4 ，解得：1a8 c10 。抛物线的解析式为21y=x2x+108。（3）P 为线段 OB 上一点，纵坐标为 5，P 点的横坐标也为 5。点 Q 在抛物线上，纵坐标为 5，215=x2x+108，解得12x82 6x82 6形。当点 Q 的坐标为（82 6，5） ，点 P 的坐标为（5，5） ，线段 PQ 的长为

27、2 63；当点 Q 的坐标为（82 6 ，5） ，点 P 的坐标为（5，5） ，线段 PQ 的长为2 63。所以线段 PQ 的长为2 63或2 63。（4）当 0m4 或 12m16 时，d 随 m 的增大而减小。【考点考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。【分析分析】 （1）点 C 在直线 AB：y=2x+42 上，将 C 点的横坐标，代入即可求出 C 点的纵坐标，同理可知：D 点在直线 OB：y=x 上，将 D 点的横坐标，代入解析式即可求出 D 点的纵坐标。（2）抛物线2y=ax2x+c经过 C、D 两点，列出关于 a 和 c

28、二元二次方程组，解出 a 和 c 即可。51（3）根据 Q 为线段 OB 上一点，P、Q 两点的纵坐标都为 5，则可以求出 Q 点的坐标，又知 P点在抛物线上，求出 P 点的坐标即可，P、Q 两点的横坐标的差的绝对值即为线段 PQ 的长。（4）根据 PQx 轴，可知 P 和 Q 两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和 B 点的坐标，当 Q 是线段 OB 上的一点时，结合图形写出 m 的范围，当 Q 是线段 AB 上的一点时，结合图形写出 m 的范围即可：根据题干条件：PQx 轴，可知 P、Q 两点的横坐标相同，抛物线 y=2211y=x2x+10=x8+288，顶点坐标为（8，2） 。联立y

29、x y2x42 ，解得点 B 的坐标为（14，14） 。当点 Q 为线段 OB 上时，如图所示，当 0m4 或12m14 时，d 随 m 的增大而减小；当点 Q 为线段 AB 上时，如图所示，当 14m16 时，d随 m 的增大而减小。综上所述，当 0m4 或 12m16 时，d 随 m 的增大而减小。25. （2012 湖北荆州湖北荆州 12 分）分）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2求 k 的值；当 kxk+2

30、 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值【答案答案】解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=2x+3，其图象与 x 轴有一个交点。当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y=0 得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1） （k+2）0，解得 k2即 k2 且 k1。综上所述，k 的取值范围是 k2。（2）x1x2，由（1）知 k2 且 k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*） ，将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=2k k1，x1x2=k+2 k1，2k2

31、k k1=4k+2 k1，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去） 。所求 k 值为1。52如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x1 2）2+3 2，且1x1，由图象知：当 x=1 时，y最小=3；当 x=1 2时，y最大=3 2。y 的最大值为3 2，最小值为3。【考点考点】抛物线与 x 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析分析】 （1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的

32、关系，建立关于 k 的方程，求出 k 的值。充分利用图象，直接得出 y 的最大值和最小值。26. （2012 湖北随州湖北随州 12 分）分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地, 两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程 y1(km)与行驶的时间 x(h)之间的函数关系,如图中线段 AB 所示；慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间 x(h)之间的函数关系,如图中线段 OC 所示。根据图象进行以下研究。解读信息：(1)甲、乙两地之间的距离为 km；(2)线段 AB 的解析式为 ; 线段 OC 的解析式为 ；问题解决：(3)设快、慢车之间的距离为 y(km)，求 y 与慢车行驶时间

33、 x(h)的函数关系式，并画出函数的图象。【答案答案】解：（1）450。（2）y1=450150x（0x3） ；y2=75x（0x6） 。（3）根据（2）得出：122450225x(0x2)yy (2x3)450150x75x (2x3)y225x450(2x3)y (3x6)75x(3x6)75x(3x6) 。1212ss tt。其实际意义是刹车后到 t2时间内的平均速到 t1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析分析】 （1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给

34、的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求） ，即可求得答案。（4）求出11s t与22s t，用差值法比较大小。28. （2012 广西来宾广西来宾 12 分）分）已知抛物线 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A（3，0）和点 C，与 y 轴交于点 B（0，3） （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点 D，使得点 D 到点 B、C 的距离之和最小，并求出点 D 的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点 P，使得ABP 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案答案】解：（1）抛物线 y=ax2+2x+c

35、 的图象经过点 A（3，0）和点 B（0，3） ，9a6c0 c3 ，解得a1 c3 。抛物线的解析式为：2yx2x3 。（2）22yx2x3x14 ，对称轴为 x=1。令2yx2x30 ，解得56x1=3，x2=1，C（1，0） 。如图 1 所示，连接 AB，与对称轴 x=1 的交点即为所求之 D 点，由于 A、C 两点关于对称轴对称，则此时 DB+DC=DB+DA=AB 最小。设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，由 A（3，0） 、B（0，3）可得：3kb0 b3 ，解得k1 b3 。直线 AB 解析式为 y=x3。当 x=1 时，y=2，D 点坐标为（1，2） 。（3）结论：存在。如

36、图 2，设 P（x，y）是第一象限的抛物线上一点，过点 P 作 PNx 轴于点 N，则 ON=x，PN=y，AN=OAON=3xABPPNAAOBPNOBSSSS形形111OBPNON PN AN OA OB222 111393yxy3x3 3xy22222 形形形形形形形形P（x，y）在抛物线上，2yx2x3 ，代入上式得：22 ABP3933327Sxyx3xx22222 8 形形形形形形。当 x= 3 2时，SABP取得最大值。当 x= 3 2时，23315y23=224 ，P（3 2，15 4） 。在第一象限的抛物线上，存在一点 P，使得ABP 的面积最大，P 点的坐标为（3 2，15 4） 。【考点考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质。【分析分析】 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）连接 AB，与对称轴 x=1 的交点即为所求之 D 点为求 D 点坐标，求出直线 AB 的解析式，57然后令 x=1 求得 y，即可求出 D 点坐标。（3）求出ABP 的面积表达式这个表达式是一个关于 P 点横坐标的二次函数，利用二次函数求极值的方法可以确定 P 点的坐标。