2013年初中数学中考莆田试题解析.doc

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1、 福建省莆田市福建省莆田市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷一、精心选一选：本大题共一、精心选一选：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分。每小题给出的四个选项中有且分。每小题给出的四个选项中有且 只有一个选项是符合题目要求的，答对的得只有一个选项是符合题目要求的，答对的得 4 分，答错、不答或答案超过一个的一律得分，答错、不答或答案超过一个的一律得 0 分。分。 1 （4 分） （2013莆田）2013 的相反数是（ ）A 2013B2013CD 考点： 相反数分析： 直接根据相反数的定义求解解答：解：2013 的相反数为2013故选 B 点评：本题考查了相

2、反数：a 的相反数为a2 （4 分） （2013莆田）下列运算正确的是（ ）A （a+b）2=a2+b2B3a22a2=a2C2（a1）=2a1D a6a3=a2考点： 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的除法专题： 计算题分析： A、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断； B、原式合并得到结果，即可作出判断； C、原式去括号得到结果，即可作出判断； D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断 解答： 解：A、原式=a2+2ab+b2，本选项错误；B、3a22a2=a2，本选项正确；C、2（a1）=2a+2，本选项错误；D、a6a3=a3，本选项错误，

3、故选 B 点评： 此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法， 熟练掌握公式及法则是解本题的关键3 （4 分） （2013莆田）对于一组统计数据：2，4，4，5，6，9下列说法错误的是（ ）A众数是 4B中位数是 5C极差是 7D平均数是 5考点： 极差；加权平均数；中位数；众数分析： 根据平均数、众数、中位数和极差的定义分别进行计算，即可求出答案解答： 解：4 出现了 2 次，出现的次数最多， 则众数是 4； 共有 6 个数，中位数是第 3，4 个数的平均数， 则中位数是（4+5）2=4.5；极差是 92=7；平均数是：（2+4+4+5+6+9）6=5； 故选 B

4、 点评： 此题考查了平均数、众数、中位数和极差，求极差的方法是用一组数据中的最大值 减去最小值，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的 那个数（或最中间两个数的平均数） ，众数是一组数据中出现次数最多的数4 （4 分） （2013莆田）如图，一次函数 y=（m2）x1 的图象经过二、三、四象限，则 m的取值范围是（ ）A m0Bm0Cm2D m2考点： 一次函数图象与系数的关系分析：根据一次函数图象所在的象限得到不等式 m20，据此可以求得 m 的取值范围解答：解：如图，一次函数 y=（m2）x1 的图象经过二、三、四象限，m20，解得，m2 故选 D 点评： 本题主要考

5、查一次函数图象在坐标平面内的位置与 k、b 的关系解答本题注意理解： 直线 y=kx+b 所在的位置与 k、b 的符号有直接的关系k0 时，直线必经过一、三象限k0 时，直线必经过二、四象限b0 时，直线与 y 轴正半轴相交b=0 时， 直线过原点；b0 时，直线与 y 轴负半轴相交5 （4 分） （2013莆田）如图是一个圆柱和一个长方体的几何体，圆柱的下底面紧贴在长 方体的上底面上，那么这个几何体的俯视图可能是（ ）A BCD 考点： 简单组合体的三视图分析： 找到从上面看所得到的图形即可解答： 解：从上面可看到一个长方形里有一个圆 故选 C 点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体

6、的上面看得到的视图6 （4 分） （2013莆田）如图，将 RtABC（其中B=35，C=90）绕点 A 按顺时针方向旋转到AB1C1的位置，使得点 C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A 55B70C125D145考点： 旋转的性质分析： 根据直角三角形两锐角互余求出BAC，然后求出BAB，再根据旋转的性质对应边 的夹角BAB即为旋转角 解答： 解：B=35，C=90，BAC=90B=9035=55，点 C、A、B1在同一条直线上，BAB=180BAC=18055=125，旋转角等于 125 故选 C 点评： 本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，

7、明 确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键7 （4 分） （2013莆田）如图，ABC 内接于O，A=50，则OBC 的度数为（ ）A 40B50C80D100考点： 圆周角定理分析： 连接 OC，利用圆周角定理即可求得BOC 的度数，然后利用等腰三角形的性质即可 求得 解答： 解：连接 OC 则BOC=2A=100， OB=OC，OBC=OCB=40故选 A点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键8 （4 分） （2013莆田）下列四组图形中，一定相似的是（ ）A 正方形与矩形B正方形与菱形C菱形与菱形D 正五边形与正五边形考点： 相似图形分析： 根据相似图形的

8、定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形解答： 解：A、正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符 合题意； C、菱形与菱形，对应边不值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意； D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符 合题意 故选：D 点评： 本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键二、细心填一填：本大题共二、细心填一填：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分）分）9 （4 分） （2013

9、莆田）不等式 2x40 的解集是 x2 考点： 解一元一次不等式专题： 计算题分析： 利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加 4 再除以 2，不等号的方向不变解答：解：不等式 2x40 移项得，2x4， 系数化 1 得， x2 点评： 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变 符号这一点而出错 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整 式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不 变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变10 （4 分） （2013莆田）小明同学在“百度”搜索引擎中输

10、入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为 8650000，将这个数用科学记数法表示为 8.65106 考点： 科学记数法表示较大的数分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数解答： 解：8 650 000=8.65106，故答案为：8.65106 点评： 此题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的

11、值11 （4 分） （2013莆田）如图，点 B、E、C、F 在一条直线上，ABDE，BE=CF，请添加 一个条件 AB=DE ，使ABCDEF考点： 全等三角形的判定专题： 开放型分析： 可选择利用 AAS 或 SAS 进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即 可 解答： 解：添加 AB=DE BE=CF， BC=EF， ABDE， B=DEF， 在ABC 和DEF 中，ABCDEF（SAS） 故答案可为：AB=DE 点评： 本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定 定理12 （4 分） （2013莆田）已知在 RtABC 中，C=90，sinA=，则

12、 tanB 的值为 考点： 互余两角三角函数的关系分析：根据题意作出直角ABC，然后根据 sinA=，设一条直角边 BC 为 5，斜边 AB 为13，根据勾股定理求出另一条直角边 AC 的长度，然后根据三角函数的定义可求出 tnaB解答：解：sinA=，设 BC=5，AB=13，则 AC=12，故 tanB=故答案为：点评： 本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的 定义和勾股定理的运用13 （4 分） （2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有 的三角形都是直角三角形，若正方形 A、B、C、D 的面积分别为 2，5，1，2则最大的

13、正 方形 E 的面积是 10 考点： 勾股定理分析： 根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积和即 为最大正方形的面积 解答： 解：根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为S2，S1+S2=S3，于是 S3=S1+S2，即 S3=2+5+1+2=10 故答案是：10点评： 本题考查了勾股定理的应用能够发现正方形 A，B，C，D 的边长正好是两个直角 三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C，D 的面积和即 是最大正方形的面积14 （4 分） （2013莆田）经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两

14、种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为 考点： 可能性的大小分析： 列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多 少即可 解答： 解：画树状图得出：一共有 4 种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是： 故答案为： 点评： 本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比15 （4 分） （2013莆田）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 P 在 DC 边上且 DP=1，点 Q 是 AC 上一动点，则 DQ+PQ 的最小值为 5 考点： 轴对称-

15、最短路线问题；正方形的性质分析： 要求 DQ+PQ 的最小值，DQ，PQ 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 DQ，PQ 的值，从而找出其最小值求解 解答： 解：如图，连接 BP， 点 B 和点 D 关于直线 AC 对称， QB=QD， 则 BP 就是 DQ+PQ 的最小值， 正方形 ABCD 的边长是 4，DP=1， CP=3，BP=5，DQ+PQ 的最小值是 5 故答案为：5点评： 此题考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，得出 DQ+PQ 的 最小时 Q 点位置是解题关键16 （4 分） （2013莆田）统计学规定：某次测量得到 n 个结果 x1，x2，xn当函数 y=+

16、取最小值时，对应 x 的值称为这次测量的“最佳近似值”若某次测量得到 5 个结果 9.8，10.1，10.5，10.3，9.8则这次测量的“最佳 近似值”为 10.1 考点： 方差专题： 新定义分析： 根据题意可知“量佳近似值”x 是与其他近似值比较，根据均值不等式求平方和的最小 值知这些数的底数要尽可能的接近，求出 x 是所有数字的平均数即可 解答： 解：根据题意得： x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）5=10.1； 故答案为：10.1 点评： 此题考查了一组数据的方差、平均数，掌握新定义的概念和平均数的平方和最小时 要满足的条件是解题的关键三、耐心做一做：本大题共三、耐心

17、做一做：本大题共 9 小题，共小题，共 86 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤。算步骤。17 （8 分） （2013莆田）计算：+|3|（2013）0考点： 实数的运算；零指数幂3718684专题： 计算题分析： 本题涉及零指数幂、平方根、绝对值等考点针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果 解答：解：原式=2+31=4点评： 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的 关键是掌握零指数幂、平方根、绝对值等考点的运算18 （8 分） （2013莆田）先化简，再求值：，其中a=3考点：

18、分式的化简求值分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于 乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 a 的值代入计 算即可求出值 解答： 解：原式=，当 a=3 时，原式=2点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公 分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式19 （8 分） （2013莆田）莆田素有“文献名邦”之称，某校就同学们对“莆田历史文化”的了 解程度进行随机抽样调查，将调查结果制成如图所示的两幅统计图：根据统计图的信息，解答下列问题： （1）本次共调查 60 名学生； （2）条形

19、统计图中 m= 18 ； （3）若该校共有学生 1000 名，则该校约有 200 名学生不了解“莆仙历史文化”考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图3718684分析： （1）根据了解很少的有 24 人，占 40%，即可求得总人数； （2）利用调查的总人数减去其它各项的人数即可求得；（3）利用 1000 乘以不了解“莆仙历史文化”的人所占的比例即可求解 解答： 解：（1）调查的总人数是：2440%=60（人） ， 故答案是：60；（2）m=6012246=18，故答案是：18；（3）不了解“莆仙历史文化”的人数是：1000=200故答案是：200 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统

20、计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20 （8 分） （2013莆田）定义：如图 1，点 C 在线段 AB 上，若满足 AC2=BCAB，则称 点 C 为线段 AB 的黄金分割点 如图 2，ABC 中，AB=AC=1，A=36，BD 平分ABC 交 AC 于点 D （1）求证：点 D 是线段 AC 的黄金分割点； （2）求出线段 AD 的长考点： 黄金分割分析： （1）判断ABCBDC，根据对应边成比例可得出答案 （2）根据黄金比值即可求出 AD 的长度 解答： 解：（1）

21、A=36，AB=AC， ABC=ACB=72， BD 平分ABC， CBD=ABD=36，BDC=72， AD=BD，BC=BD， ABCBDC，=，即=，AD2=ACCD 点 D 是线段 AC 的黄金分割点（2）点 D 是线段 AC 的黄金分割点，AD=AC=点评： 本题考查了黄金分割的知识，解答本题的关键是仔细审题，理解黄金分割的定义， 注意掌握黄金比值21 （8 分） （2013莆田）如图，ABCD 中，AB=2，以点 A 为圆心，AB 为半径的圆交边 BC 于点 E，连接 DE、AC、AE （1）求证：AEDDCA； （2）若 DE 平分ADC 且与A 相切于点 E，求图中阴影部分（扇

22、形）的面积考点： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；扇形面积的计算分析： （1）由四边形 ABCD 是平行四边形，AB=AE，易证得四边形 AECD 是等腰梯形， 即可得 AC=DE，然后由 SSS，即可证得：AEDDCA； （2）由 DE 平分ADC 且与A 相切于点 E，可求得EAD 的度数，继而求得 BAE 的度数，然后由扇形的面积公式求得阴影部分（扇形）的面积 解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ADBC， 四边形 AECD 是梯形， AB=AE， AE=CD， 四边形 AECD 是等腰梯形， AC=DE， 在AED 和DCA 中，AE

23、DDCA（SSS） ；（2）解：DE 平分ADC， ADC=2ADE， 四边形 AECD 是等腰梯形， DAE=ADC=2AED， DE 与A 相切于点 E， AEDE， 即AED=90， ADE=30， DAE=60，DCE=AEC=180DAE=120，四边形 ACD 是平行四边形， BAD=DCE=120，BAE=BADEAD=60，S阴影=22= 点评： 此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定与性质以及平 行四边形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用22 （10 分） （2013莆田）如图，直线 l：y=x+1 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，

24、点 C与原点 O 关于直线 l 对称反比例函数 y= 的图象经过点 C，点 P 在反比例函数图象上且位于 C 点左侧，过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线分别交直线 l 于 M、N 两点 （1）求反比例函数的解析式； （2）求 ANBM 的值考点： 反比例函数与一次函数的交点问题专题： 计算题分析： （1）连接 AC，BC，由题意得：四边形 AOBC 为正方形，对于一次函数解析式，分 别令 x 与 y 为 0 求出对于 y 与 x 的值，确定出 OA 与 OB 的值，进而 C 的坐标，代 入反比例解析式求出 k 的值，即可确定出反比例解析式； （2）过 M 作 MEy 轴，作 NDx 轴，根据

25、P 在反比例解析式上，设出 P 坐标得出 ND 的长，根据三角形 AND 为等腰直角三角形表示出 AN 与 BM 的长，即可求出所 求式子的值 解答： 解：（1）连接 AC，BC，由题意得：四边形 AOBC 为正方形，对于一次函数 y=x+1，令 x=0，求得：y=1；令 y=0，求得：x=1，OA=OB=1，C（1，1） ，将 C（1，1）代入 y= 得：1=，即 k=1，则反比例函数解析式为 y= ；（2）过 M 作 MEy 轴，作 NDx 轴，设 P（a， ） ，可得 ND= ，ME=|a|=a，AND 和BME 为等腰直角三角形，AN=（ ）=，BM=a，则 ANBM=（a）=2点评：

26、 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴 的交点，坐标与图形性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解 本题的关键23 （10 分） （2013莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴 对称图形） 矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长 AB=4 米，ABC=60设 AE=x 米（0x4） ，矩形 EFGH 的面积为 S 米2（1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草已知红色花草的价格为 20 元/米2，黄色花草的价格为 40 元/米2当 x 为何值时，购

27、买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）？考点： 二次函数的应用；菱形的性质；矩形的性质专题： 应用题分析： （1）连接 AC、BD，根据轴对称的性质，可得 EHBD，EFAC，BEF 为等边三 角形，从而求出 EF，在 RtAEM 中求出 EM，继而得出 EH，这样即可得出 S 与 x 的函数关系式 （2）根据（1）的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为 W，则可得出 W 关于 x 的二次函数关系式，利用配方法求最值即可 解答： 解：（1）连接 AC、BD，花坛为轴对称图形， EHBD，EFAC， BEFBAC， ABC=60， ABC、BEF 是等边三角形，EF=BE=A

28、BAE=4x，在 RtAEM 中，AEM=ABD=30，则 EM=AEcosAEM=x，EH=2EM=x，故可得 S=（4x）x=x2+4x（2）易求得菱形 ABCD 的面积为 8cm2，由（1）得，矩形 ABCD 的面积为x2，则可得四个三角形的面积为（8+x24x） ， 设总费用为 W，则 W=20（x2+4x）+40（8+x24x）=20x280x+320=20（x2）2+240，0x4，当 x=2 时，W 取得最小，W最小=240元 即当 x 为 2 时，购买花草所需的总费用最低，最低费用为 240元点评： 本题考查了二次函数的应用，首先需要根据花坛为轴对称图形，得出 EHBD，EFA

29、C，重点在于分别得出 EF、EH 关于 x 的表达式，另外要掌握配方法 求二次函数最值的应用24 （12 分） （2013莆田）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下，与 x 轴交于点A（3，0）和点 B（1，0） 与 y 轴交于点 C，顶点为 D（1）求顶点 D 的坐标 （用含 a 的代数式表示） ； （2）若ACD 的面积为 3 求抛物线的解析式； 将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点 P，且PAB=DAC，求平 移后抛物线的解析式考点： 二次函数综合题分析：（1）已知抛物线与 x 轴的两交点的横坐标分别是3 和 1，设抛物线解析式的交点式y=a（x+3） （x1）

30、 ，再配方为顶点式，可确定顶点坐标；（2）设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E，先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式，求出点 E 的坐标，即可得到 DE 的长，然后由 SACD= DEOA 列出方程，解方程求出 a 的值，即可确定抛物线的解析式； 先运用勾股定理的逆定理判断出在ACD 中ACD=90，利用三角函数求出tanDAC= 设 y=x22x+3=（x+1）2+4 向右平移后的抛物线解析式为 y=（x+m）2+4，两条抛物线交于点 P，直线 AP 与 y 轴交于点 F根据正切函数的定义求出OF=1分两种情况进行讨论：（）如图 2，F 点的坐标为（0，1） ， （）如图2，F 点的坐标

31、为（0，1） 针对这两种情况，都可以先求出点 P 的坐标，再得出m 的值，进而求出平移后抛物线的解析式 解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（3，0）和点 B（1，0） ，抛物线解析式为 y=a（x+3） （x1）=ax2+2ax3a，y=a（x+3） （x1）=a（x2+2x3）=a（x+1）24a，顶点 D 的坐标为（1，4a） ；（2）如图 1，设 AC 与抛物线对称轴的交点为 E抛物线 y=ax2+2ax3a 与 y 轴交于点 C，C 点坐标为（0，3a） 设直线 AC 的解析式为：y=kx+t，则：，解得：，直线 AC 的解析式为：y=ax3a，点 E

32、的坐标为：（1，2a） ，DE=4a（2a）=2a，SACD=SCDE+SADE= DEOA= （2a）3=3a，3a=3，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=x22x+3；y=x22x+3，顶点 D 的坐标为（1，4） ，C（0，3） ，A（3，0） ，AD2=（1+3）2+（40）2=20，CD2=（10）2+（43）2=2，AC2=（0+3）2+（30）2=18，AD2=CD2+AC2， ACD=90，tanDAC= ，PAB=DAC，tanPAB=tanDAC= 如图 2，设 y=x22x+3=（x+1）2+4 向右平移后的抛物线解析式为 y=（x+m）2+4，两条抛物线交于点 P，直

33、线 AP 与 y 轴交于点 FtanPAB= ，OF=1，则 F 点的坐标为（0，1）或（0，1） 分两种情况：（）如图 2，当 F 点的坐标为（0，1）时，易求直线 AF 的解析式为 y= x+1，由，解得，（舍去） ，P 点坐标为（ ，） ，将 P 点坐标（ ，）代入 y=（x+m）2+4，得=（ +m）2+4，解得 m1= ，m2=1（舍去） ，平移后抛物线的解析式为 y=（x ）2+4；（）如图 2，当 F 点的坐标为（0，1）时，易求直线 AF 的解析式为 y= x1，由，解得，（舍去） ，P 点坐标为（ ，） ，将 P 点坐标（ ，）代入 y=（x+m）2+4，得=（ +m）2+4

34、，解得 m1=，m2=1（舍去） ，平移后抛物线的解析式为 y=（x）2+4；综上可知，平移后抛物线的解析式为 y=（x ）2+4 或 y=（x）2+4点评： 此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质， 勾股定理的逆定理，三角函数的定义，三角形的面积、两函数交点坐标的求法，函 数平移的规律等知识，综合性较强，有一定难度，解题的关键是方程思想、数形结 合思想与分类讨论思想的应用25 （14 分） （2013莆田）在 RtABC，C=90，D 为 AB 边上一点，点 M、N 分别在 BC、AC 边上，且 DMDN作 MFAB 于点 F，NEAB 于点 E （1）特殊验

35、证：如图 1，若 AC=BC，且 D 为 AB 中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若 ACBC 如图 2，若 D 为 AB 中点， （1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； 如图 3，若 BD=kAD，条件中“点 M 在 BC 边上”改为“点 M 在线段 CB 的延长线上”，其 它条件不变，请探究 AE 与 DF 的数量关系并加以证明考点： 相似形综合题分析： （1）如答图 1，连接 CD，证明ANDCDM，可得 DM=DN；证明NED DFM，可得 DF=NE，从而得到 AE=NE=DF； （2）若 D 为 AB 中点，则分别证明DENMFD，AENMFB，由线

36、段比例 关系可以证明 AE=DF 结论依然成立证法二提供另外一种证明方法，可以参考； 若 BD=kAD，证明思路与类似；证法二提供另外一种证明方法，可以参考 解答： （1）证明：若 AC=BC，则ABC 为等腰直角三角形，如答图 1 所示，连接 OD，则 CDAB，又DMDN，1=2 在AND 与CDM 中，ANDCDM（ASA） ， DM=DN 4+1=90，1+3=90，4=3， 1+3=90，3+5=90，1=5， 在NED 与DFM 中，NEDDFM（ASA） ， NE=DF ANE 为等腰直角三角形，AE=NE，AE=DF（2）答：AE=DF 证法一：由（1）证明可知：DENMFD，

37、即 MFEN=DEDF同理AENMFB，即 MFEN=AEBFDEDF=AEBF，（ADAE）DF=AE（BDDF） ，ADDF=AEBD，AE=DF 证法二：如答图 2 所示，过点 D 作 DPBC 于点 P，DQAC 于点 QD 为 AB 中点， DQ=PC=PB易证DMFNDE，易证DMPDNQ，；易证AENDPB，AE=DF答：DF=kAE 证法一：由同理可得：DEDF=AEBF，（AEAD）DF=AE（DFBD）ADDF=AEBDBD=kAD DF=kAE 证法二：如答图 3，过点 D 作 DPBC 于点 P，DQAC 于点 Q易证AQDDPB，得，即 PB=kDQ由同理可得：，；又，DF=kAE 点评： 本题是几何探究与证明综合题，考查了相似三角形与全等三角形的判定与性质题 中三个结论之间逐级递进，体现了从特殊到一般的数学思想