2013年初中数学中考莱芜试题.doc

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1、 山东省莱芜市山东省莱芜市 2013 年中考数学试卷年中考数学试卷一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把 正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个分，选错、不选或选出的答案超过一个 均记零分，共均记零分，共 36 分）分）.1 （3 分） （2013莱芜）在，2，1 这四个数中，最大的数是（ ）A BC2D 1考点： 有理数大小比较3718684分析： 求出每个数的绝对值，根据两个负数比较大

2、小，其绝对值大的反而小比较即可解答：解：| |= ，| |= ，|2|=2，|1|=1， 12， 12，即最大的数是 ，故选 B 点评： 本题考查了绝对值和有理数的大小比较的应用，注意：两个负数比较大小，其绝对 值大的反而小2 （3 分） （2013莱芜）在网络上用“Google”搜索引擎搜索“中国梦”，能搜索到与之相关的 结果个数约为 45100000，这个数用科学记数法表示为 （ ）A 451105B45.1106C4.51107D 0.45110考点： 科学记数法表示较大的数3718684分析： 科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时， 要

3、看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 解答： 解：45 100 000=4.51107， 故选：C 点评： 此题主要考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3 （3 分） （2013莱芜）下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（ ）A 1 个B2 个C3 个D 4 个考点： 简单几何体的三视图3718684分析： 四个几何体的左视图：球是圆，圆锥是等腰三角形，正方体是正方形，圆柱是矩形

4、， 由此可确定答案 解答： 解：由图示可得：球的左视图是圆，圆锥的左视图是等腰三角形，正方体的左视图 是正方形，圆柱的左视图是矩形， 所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体 故选 B 点评： 本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题4 （3 分） （2013莱芜）方程=0 的解为（ ）A 2B2C2D考点： 解分式方程3718684专题： 计算题分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到 分式方程的解 解答：解：去分母得：x24=0，解得：x=2 或 x=2，经检验 x=2 是增根，分式方程的解为 x=2故选 A 点评

5、： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为 整式方程求解解分式方程一定注意要验根5 （3 分） （2013莱芜）一组数据：10、5、15、5、20，则这组数据的平均数和中位数分 别是（ ）A 10，10B10，12.5C11，12.5D 11，10考点： 中位数；加权平均数3718684分析： 根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可解答： 解：这组数据按从小到大的顺序排列为：5，5，10，15，20，故平均数为：=11，中位数为：10 故选 D 点评： 本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念6 （3 分） （2013

6、莱芜）如图所示，将含有 30角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条 直线其中一条上，若1=35，则2 的度数为（ ）A 10B20C25D30考点： 平行线的性质3718684分析： 延长 AB 交 CF 于 E，求出ABC，根据三角形外角性质求出AEC，根据平行线性 质得出2=AEC，代入求出即可 解答： 解：如图，延长 AB 交 CF 于 E，ACB=90，A=30， ABC=60， 1=35，AEC=ABC1=25，GHEF， 2=AEC=25， 故选 C 点评： 本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查 学生的推理能力7 （3 分） （2013莱芜）将半

7、径为 3cm 的圆形纸片沿 AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）A BCD 考点： 圆锥的计算3718684分析： 过 O 点作 OCAB，垂足为 D，交O 于点 C，由折叠的性质可知 OD 为半径的一半， 而 OA 为半径，可求A=30，同理可得B=30，在AOB 中，由内角和定理求 AOB，然后求得弧 AB 的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用 勾股定理求得其高即可 解答： 解：过 O 点作 OCAB，垂足为 D，交O 于点 C，由折叠的性质可知，OD= OC= OA，由此可得，在 RtAOD 中，A=30，

8、同理可得B=30， 在AOB 中，由内角和定理，得AOB=180AB=120弧 AB 的长为=2设围成的圆锥的底面半径为 r， 则 2r=2 r=1cm圆锥的高为=2故选 A点评： 本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断关键是由折叠的性质 得出含 30的直角三角形8 （3 分） （2013莱芜）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ） 等边三角形；矩形；等腰梯形；菱形；正八边形；圆A 2B3C4D 5考点： 中心对称图形；轴对称图形3718684分析： 根据轴对称及中心对称的定义，结合各项进行判断即可解答： 解：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴

9、对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意 综上可得符合题意的有 4 个 故选 C 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称 轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋 转 180 度后与原图形重合9 （3 分） （2013莱芜）如图，在O 中，已知OAB=22.5，则C 的度数为（ ）A 135B122.5C115.5D112.5考点： 圆周角定理37186

10、84分析： 首先利用等腰三角形的性质求得AOB 的度数，然后利用圆周角定理即可求解解答： 解：OA=OB， OAB=OBC=22.5，AOB=18022.522.5=135C= （360135）=112.5故选 D 点评： 本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质定理，正确理解定理是关键10 （3 分） （2013莱芜）下列说法错误的是（ ）A 若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B2+与 2互为倒数C若 a|b|，则 abD 梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半考点： 相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理3718684分析： 根据相交两圆的性质以及互为倒数和

11、有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出 即可 解答： 解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两 圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；B、2+与 2=互为倒数，2+与 2互为倒数，故此选项正确，不符合题意； C、若 a|b|，则 ab，此选项正确，不符合题意； D、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意； 故选：D 点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握 相关定理是解题关键11 （3 分） （2013莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点 A 的坐标为（1，） ， M 为坐标轴上一点，且使得

12、MOA 为等腰三角形，则满足条件的点 M 的个数为（ ）A 4B5C6D 8考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质3718684专题： 数形结合分析： 作出图形，利用数形结合求解即可解答： 解：如图，满足条件的点 M 的个数为 6 故选 C点评： 本题考查了等腰三角形的判定，利用数形结合求解更形象直观12 （3 分） （2013莱芜）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，三角 形边上的动点 M 从点 A 出发，沿 ABC 的方向运动，到达点 C 时停止设点 M 运动的路程为 x，MN2=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A BCD 考点： 动点问题的函数

13、图象3718684分析： 注意分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决解答： 解：等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点， AN=1 当点 M 位于点 A 处时，x=0，y=1 当动点 M 从 A 点出发到 AM=1 的过程中，y 随 x 的增大而减小，故排除 D；当动点 M 到达 C 点时，x=6，y=31=2，即此时 y 的值与点 M 在点 A 处时的值不相等故排除 A、C 故选 B 点评： 本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后 根据动点的行程判断 y 的变化情况二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5

14、小题，只要求填写最后结果，每小题填对得小题，只要求填写最后结果，每小题填对得 4 分，共分，共 20 分）分）.13 （3 分） （2013莱芜）分解因式：2m38m= 2m（m+2） （m2） 考点： 提公因式法与公式法的综合运用3718684专题： 计算题分析： 提公因式 2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解解答：解：2m38m=2m（m24）=2m（m+2） （m2） 故答案为：2m（m+2） （m2） 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公 因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为 止14 （3 分） （201

15、3莱芜）正十二边形每个内角的度数为 150 考点： 多边形内角与外角3718684分析： 首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解解答：解：正十二边形的每个外角的度数是：=30，则每一个内角的度数是：18030=150故答案为：150 点评： 本题考查了多边形的计算，掌握多边形的外角和等于 360 度，正确理解内角与外角 的关系是关键15 （4 分） （2013莱芜）M（1，a）是一次函数 y=3x+2 与反比例函数图象的公共点，若将一次函数 y=3x+2 的图象向下平移 4 个单位，则它与反比例函数图象的交点坐标为 （1，5） ， （） 考点： 反比例函数与一次函数

16、的交点问题；一次函数图象与几何变换3718684专题： 计算题分析： 将 M 坐标代入一次函数解析式中求出 a 的值，确定出 M 坐标，将 M 坐标代入反比 例解析式中求出 k 的值，确定出反比例解析式，根据平移规律求出平移后的一次函 数解析式，与反比例函数联立即可求出交点坐标 解答： 解：将 M（1，a）代入一次函数解析式得：a=3+2=5，即 M（1，5） ，将 M（1，5）代入反比例解析式得：k=5，即 y= ，一次函数解析式为 y=3x+24=3x2，联立得：，解得：或，则它与反比例函数图象的交点坐标为（1，5）或（ ，3） 故答案为：（1，5）或（ ，3）点评： 此题考查了一次函数与

17、反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函 数解析式，平移规律，熟练掌握待定系数法是解本题的关键16 （4 分） （2013莱芜）如图，矩形 ABCD 中，AB=1，E、F 分别为 AD、CD 的中点， 沿 BE 将ABE 折叠，若点 A 恰好落在 BF 上，则 AD= 考点： 翻折变换（折叠问题） 3718684分析： 连接 EF，则可证明EAFEDF，从而根据 BF=BA+AF，得出 BF 的长，在 Rt BCF 中，利用勾股定理可求出 BC，即得 AD 的长度 解答： 解：连接 EF，点 E、点 F 是 AD、DC 的中点，AE=ED，CD=DF= CD= AB= ，由折叠的性

18、质可得 AE=AE， AE=DE， 在 RtEAF 和 RtEDF 中，RtEAFRtEDF（HL） ，AF=DF= ，BF=BA+AF=AB+DF=1+ = ，在 RtBCF 中，BC=AD=BC= 故答案为： 点评： 本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接 EF，证明 RtEAFRtEDF， 得出 BF 的长，注意掌握勾股定理的表达式17 （3 分） （2013莱芜）已知 123456789101112997998999 是由连续整数 1 至 999 排列组 成的一个数，在该数中从左往右数第 2013 位上的数字为 7 考点： 规律型：数字的变化类3718684分析： 根据已知得出

19、第 2013 个数字是第 638 个 3 位数的第 3 位，进而得出即可解答： 解：共有 9 个 1 位数，90 个 2 位数，900 个 3 位数2013990=1914，=638，因此第 2013 个数字是第 638 个 3 位数的第 3 位， 第 638 个数为 637，故第 638 个 3 位数的第 3 位是：7 故答案为：7 点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出变化规律是解题关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 64 分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步 骤）骤）18 （9 分） （20

20、13莱芜）先化简，再求值：，其中 a=+2考点： 分式的化简求值3718684专题： 计算题分析： 先计算括号里面的，再将除法转化为乘法，然后代入求值解答：解：=当 a=时，原式=点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键19 （8 分） （2013莱芜）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月 中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三 种情况：A从不闯红灯；B偶尔闯红灯；C 经常闯红灯德工处将调查的数据进行了整 理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题 （1）求本次活动共调查了多少名学生

21、； （2）请补全（图二） ，并求（图一）中 B 区域的圆心角的度数； （3）若该校有 240 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图3718684分析： （1）根据总数=频数百分比，可得共调查的学生数； （2）B 区域的学生数=总数减去 A、C 区域的人数即可；再根据百分比=频数总数 计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出 B 区域的圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本的概率即可解答 解答：解：（1）（名） 故本次活动共调查了 200 名学生（2）补全图二，20012020=60（名） 故 B 区域的圆心角的度数是 108（3）（

22、人） 故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图 中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小20 （9 分） （2013莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心 通知附近两个小岛 A、B 上的观测点进行观测，从 A 岛测得渔船在南偏东 37方向 C 处， B 岛在南偏东 66方向，从 B 岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是 72 海里， A 岛上维修船的速度为每小时 20 海里，B 岛上维修船的速度为每

23、小时 28.8 海里，为及时 赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？ （参考数据：cos370.8，sin370.6，sin660.9，cos660.4）考点： 解直角三角形的应用-方向角问题3718684分析： 作 ADBC 的延长线于点 D，先解 RtADB，求出 AD，BD，再解 RtADC，求出AC，CD，则 BC=BDCD然后分别求出 A 岛、B 岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船 解答： 解：作 ADBC 的延长线于点 D 在 RtADB 中，AD=ABcosBAD=72cos66=720.4=28.8（海里） ， BD=ABsinBAD=72sin66=7

24、20.9=64.8（海里） 在 RtADC 中，（海里） ，CD=ACsinCAD=36sin37=360.6=21.6（海里） BC=BDCD=64.821.6=43.2（海里） A 岛上维修船需要时间（小时） B 岛上维修船需要时间（小时） tAtB， 调度中心应该派遣 B 岛上的维修船点评：本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出 BD 与 CD 的值是解题的关键21 （9 分） （2013莱芜）如图，在 RtABC 中，C=90，以 AC 为一边向外作等边三角 形 ACD，点 E 为 AB 的中点，连结 DE （1）证明 DE

25、CB； （2）探索 AC 与 AB 满足怎样的数量关系时，四边形 DCBE 是平行四边形考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质3718684分析：（1）首先连接 CE，根据直角三角形的性质可得 CE= AB=AE，再根据等边三角形的性质可得 AD=CD，然后证明ADECDE，进而得到ADE=CDE=30，再有DCB=150可证明 DECB；（2）当 AC=或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE，DCB+B=180进而得到B=30，再根据三角函数可推出AC=或 AB=2AC解答： （1）证明：连结 CE 点

26、E 为 RtACB 的斜边 AB 的中点，CE= AB=AEACD 是等边三角形， AD=CD在ADE 与CDE 中，ADECDE（SSS） ， ADE=CDE=30 DCB=150， EDC+DCB=180 DECB（2）解：DCB=150，若四边形 DCBE 是平行四边形，则 DCBE，DCB+B=180 B=30在 RtACB 中，sinB=，sin30=，AC=或 AB=2AC当 AC=或 AB=2AC 时，四边形 DCBE 是平行四边形点评： 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定， 关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质22 （10 分）

27、 （2013莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购 置长、短两种跳绳若干已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多 4 元，且购买 2 条长跳 绳与购买 5 条短跳绳的费用相同 （1）两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若学校准备用不超过 2000 元的现金购买 200 条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过 长跳绳的 6 倍，问学校有几种购买方案可供选择？考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用3718684专题： 计算题分析： （1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元，根据长跳绳的单价比短跳绳单 价的两倍多 4 元；购买 2 条长跳绳与购买 5 条短跳

28、绳的费用相同，可得出方程组， 解出即可； （2）设学校购买 a 条长跳绳，购买资金不超过 2000 元，短跳绳的条数不超过长跳 绳的 6 倍，可得出不等式组，解出即可 解答： 解：（1）设长跳绳的单价是 x 元，短跳绳的单价为 y 元由题意得：解得：所以长跳绳单价是 20 元，短跳绳的单价是 8 元（2）设学校购买 a 条长跳绳，由题意得：解得：a 为正整数， a 的整数值为 29，3，31，32，33 所以学校共有 5 种购买方案可供选择 点评： 本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键仔细审题， 设出未知数，找到其中的等量关系和不等关系23 （10 分） （2013莱

29、芜）如图，O 的半径为 1，直线 CD 经过圆心 O，交O 于 C、D 两点，直径 ABCD，点 M 是直线 CD 上异于点 C、O、D 的一个动点，AM 所在的直线交 于O 于点 N，点 P 是直线 CD 上另一点，且 PM=PN （1）当点 M 在O 内部，如图一，试判断 PN 与O 的关系，并写出证明过程； （2）当点 M 在O 外部，如图二，其它条件不变时， （1）的结论是否还成立？请说明理 由； （3）当点 M 在O 外部，如图三，AMO=15，求图中阴影部分的面积考点： 圆的综合题3718684分析： （1）根据切线的判定得出PNO=PNM+ONA=AMO+ONA 进而求出即可；（

30、2）根据已知得出PNM+ONA=90，进而得出PNO=18090=90即可得出答案；（3）首先根据外角的性质得出AON=30进而利用扇形面积公式得出即可 解答： （1）PN 与O 相切 证明：连接 ON， 则ONA=OAN， PM=PN，PNM=PMN AMO=PMN，PNM=AMO PNO=PNM+ONA=AMO+ONA=90 即 PN 与O 相切（2）成立 证明：连接 ON， 则ONA=OAN， PM=PN，PNM=PMN 在 RtAOM 中， OMA+OAM=90， PNM+ONA=90PNO=18090=90即 PN 与O 相切（3）解：连接 ON，由（2）可知ONP=90 AMO=1

31、5，PM=PN，PNM=15，OPN=30， PON=60，AON=30 作 NEOD，垂足为点 E，则 NE=ONsin60=1=S阴影=SAOC+S扇形 AONSCON= OCOA+CONE= 11+ 1= +点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对 应角的度数是解题关键24 （12 分） （2013莱芜）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0） 、B（1，0） 、C（2，1） ，交 y 轴于点 M（1）求抛物线的表达式； （2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F， 求线段

32、 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标； （3）抛物线上是否存在一点 P，作 PN 垂直 x 轴于点 N，使得以点 P、A、N 为顶点的三 角形与MAO 相似？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由考点： 二次函数综合题3718684分析： （1）把点 A、B、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；（2）由（1）中的抛物线解析式易求点 M 的坐标为（0，1） 所以利用待定系数法即可求得直线 AM 的关系式为 y= x+1由题意设点 D 的坐标为（） ，则点 F 的坐标为（） 易求 DF=根据二次函数最值的求法来求线段 D

33、F 的最大值； （3）需要对点 P 的位置进行分类讨论：点 P 分别位于第一、二、三、四象限四种情 况此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答 解答：解：由题意可知解得抛物线的表达式为 y=（2）将 x=0 代入抛物线表达式，得 y=1点 M 的坐标为（0，1） 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，则解得直线 MA 的表达式为 y= x+1设点 D 的坐标为（） ，则点 F 的坐标为（） DF=当时，DF 的最大值为 此时，即点 D 的坐标为（） （3）存在点 P，使得以点 P、A、N 为顶点的三角形与MAO 相似设 P（m，） 在 RtMAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由

34、题意可知，点 P 不可能在第一 象限 设点 P 在第二象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM，即 m2+11m+24=0解得 m=3（舍去）或 m=8又3m0，故此时满足条件的点不存在当点 P 在第三象限时，点 P 不可能在直线 MN 上，只能 PN=3NM，即 m2+11m+24=0解得 m=3 或 m=8此时点 P 的坐标为（8，15） 当点 P 在第四象限时，若 AN=3PN 时，则3，即m2+m6=0解得 m=3（舍去）或 m=2当 m=2 时，此时点 P 的坐标为（2， ） 若 PN=3NA，则，即 m27m30=0解得 m=3（舍去）或 m=10，此时点 P 的坐标为（10，39） 综上所述，满足条件的点 P 的坐标为（8，15） 、 （2， ） 、 （10，39） 点评： 本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三 角形的性质以及二次函数最值的求法需注意分类讨论，全面考虑点 P 所在位置的 各种情况