2013年初中数学中考北京试题解析.doc

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1、 2 013 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷数学试卷 解析解析满分 120 分，考试时间 120 分钟一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。1. 在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）中，北京市提出了总计约 3 960 亿元的投资计划。将 3 960 用科学计数法表示应为A. 39.6102 B. 3.96103 C. 3.96104 D. 3.96104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要 正确确定 a 的值以及 n 的值3 9603.

2、961032. 43的倒数是A. 34B. 43C. 43 D. 34答案：D解析：(0)a a 的倒数为1 a，所以，43的倒数是343. 在一个不透明的口袋中装有 5 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于 2 的概率为A. 51B. 52C. 53D. 54答案：C解析：大于 2 的有 3、4、5，共 3 个，故所求概率为534. 如图，直线a，b被直线c所截，ab，1=2，若3=40，则4 等于A. 40 B. 50C. 70 D. 80答案：C解析：121 2（18040）70，由两直线平行，内错相等，得470。5. 如图，为估算某河

3、的宽度，在河对岸边选定一个目标点 A，在近岸取点 B，C，D，使得 ABBC，CDBC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得 BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度 AB 等于A. 60m B. 40mC. 30m D. 20m答案：B解析：由EABEDC，得：CECD BEAB，即1020 20AB，解得：AB406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B 既是轴对称图形，又是中心对称图形；C 只是轴对称图形；D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有 A 符合。7. 某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体

4、育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时）5678人数1015205则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是A. 6.2 小时 B. 6.4 小时 C. 6.5 小时 D. 7 小时答案：B解析：平均体育锻炼时间是5090 14040 506.4 小时。8. 如图，点 P 是以 O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦 AP的长为x，APO 的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是答案：A解析：很显然，并非二次函数，排除B；采用特殊位置法；当P点与A点重合时，此时0 xAP，0PAOS；当P点与B点重合时，此时2 xAP，0PAOS；本题最重要的为当1

5、xAP时，此时APO为等边三角形，41 43PAOS；排除B、C、D.选择A.【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分）9. 分解因式：aabab442=_答案：2(2)a b解析：原式2(44)a ba2(2)a b10. 请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_答案：yx21解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于 0，经过点（0,1）即可。11. 如图，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5，AD=12，则四边形 ABOM 的周长为_答案：2

6、0解析：由勾股定理，得 AC13，因为 BO 为直角三角形斜边上的中线，所以，BO6.5，由中位线，得 MO2.5，所以，四边形ABOM 的周长为：6.52.5652012. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：1xt，双曲线xy1。在上取点 A1，过点 A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过点 B1作y轴的垂线交于点 A2，请继续操作并探究：过点A2作x轴的垂线交双曲线于点 B2，过点 B2作y轴的垂线交于点 A3，这样依次得HOPBA到上的点 A1，A2，A3，An，。记点 An的横坐标为na，若21a，则2a=_，2013a=_；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a不能取的值是_答

7、案：解析：根据3, 21A求出 21, 21B；根据 21, 21B求出 21,23 2A；根据 21,23 2A求出 32,23 2B；根据 32,23 2B求出 32,31 3A；根据 32,31 3A求出 3,31 3B；根据 3,31 3B求出3, 24A；至此可以发现本题为循环规律，3 次一循环，367032013；31 32013aa；重复上述过程，可求出1,111aaA、 1111,aaB、 111 21,1 aaaA、 1,11111 2aa aaB、 1,111113aa aA、 1,11 1 13aaB、1,114aaA；由上述结果可知，分母不能为0，故1a不能取0和1.【

8、点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的.三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分）13. 如图，已知 D 是 AC 上一点，AB=DA，DEAB，B=DAE。求证：BC=AE。解析：14. 计算：10)41(45cos22)31 (。解析：16、解不等式组： xxxx23123解析：16. 已知0142 xx，求代数式22)()32(yyxyxx的值。解析：17. 列方程或方程组解应用题：某园林队计划由 6 名工人对 180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了 2 名工人，结果比计划提前 3 小时完成任务。若

9、每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。解析：18已知关于x的一元二次方程04222kxx有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值。解析：四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分）19如图，在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=21BC，连结DE，CF。（1）求证：四边形 CEDF 是平行四边形；（2）若 AB=4，AD=6，B=60，求 DE 的长。解析：20如图，AB 是O 的直径，PA，PC 分别与O 相切于点A，C，PC 交 AB 的延长线于点 D，DEPO 交 PO 的延长线于点 E。（1

10、）求证：EPD=EDO（2）若 PC=6，tanPDA=43，求 OE 的长。解析：21第九届中国国际园林博览会（园博会）已于 2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分：（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为 0.04 平方千米，牡丹园面积为_平方千米；（2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍，水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日接待游客量和单日最多接待游客量

11、中的某个量近似成正比例关系，根据小娜的发现，请估计将于 2015 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）。第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量 （万人次）单日最多接待游客量 （万人次）停车位数量 （个）第七届0.86约 3 000第八届2.38.2约 4 000第九届8（预计）20（预计）约 10 500第十届1.9（预计）7.4（预计）约_解析：22阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，在边长为)2(aa的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE=BF=CG=DH=1，当AFQ=BGM=CHN=DEP=45时，求正方形 MNPQ

12、的面积。小明发现：分别延长 QE，MF，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形 MNPQ 的面积。参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF，再分别过点 D，E，F 作BC，AC，AB 的垂线，得到等边RPQ，若33RPQS，则 AD 的长为_。解析：五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第

13、 25 题 8 分）23在平面直角坐标系xOy中，抛物线222mxmxy（0m）与y轴交于点 A，其对称轴与x轴交于点 B。（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；（3）若该抛物线在12x这一段位于直线的上方，并且在32 x这一段位于直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。解析：【解析】（1）当0x 时，2y .(02)A，抛物线对称轴为212mxm (1 0)B，（2）易得A点关于对称轴的对称点为(22)A，则直线l经过A、B.没直线的解析式为ykxb则22 0kb kb ，解得2 2k b 直线的解析式为22yx （3）抛物线对称轴为

14、1x 抛物体在23x这一段与在10x 这一段关于对称轴对称结合图象可以观察到抛物线在21x 这一段位于直线l的上方在10x 这一段位于直线l的下方；抛物线与直线l的交点横坐标为1；当1x 时，2 ( 1)24yx 则抛物线过点（-1，4）当1x 时，224mm，2m 抛物线解析为2242yxx.【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线AB关于对称轴对称，抛物线在23x这一段位于直线 AB 的下方，关于对称轴对称后抛物线在10x 这一段位于直线l的下方；再结合抛物线在21x 这一段位于直线l的上方;从而抛物线必过点4 , 1.24在ABC 中，AB=AC

15、，BAC=（600），将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60得到线段 BD。（1）如图 1，直接写出ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，BCE=150，ABE=60，判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结 DE，若DEC=45，求的值。解析：【解析】（1）1302（2）ABE为等边三角形证明连接AD、CD、 ED线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段 BD则BCBD，60DBC又60ABE 160302ABDDBEEBC 且BCD为等边三角形.在ABD与ACO中ABAC ADAD BDCD ABDACD（SSS）11 22BADCADBAC 150BCE1118

16、0(30)15022BEC 在ABD与EBC中EABCDBECBAD EBCABD BCBD ABDEBC（AAS） ABBEABE为等边三角形（3）60BCD，150BCE1506090DCE 又45DECDCE为等腰直角三角形DCCEBC 150BCE(180150 )152EBC而130152EBC30【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.25对于平面直角坐标系xOy中的点 P 和C，给出如下定义：若C 上存在两个点A，B，使得APB=60，则称 P 为C 的关联点。已知点 D（21，21），E（0

17、，-2），F（32，0）（1）当O 的半径为 1 时，在点 D，E，F 中，O 的关联点是_；过点 F 作直线交y轴正半轴于点 G，使GFO=30，若直线上的点 P（m，n）是O 的关联点，求m的取值范围；（2）若线段 EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。解析：【解析】(1) ED、； 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点；需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹的角度为60；由图1可知60APB，则30CPB，连接BC，则rBCCPBBCPC22sin；若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足rd20；由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；点P到

18、原点的距离212OP；过O作x轴的垂线OH，垂足为H；3232tanOGOFOGF；60OGF；360sinOGOH；23sinOPOHOPH；图 1CBAPxyMP2G(P1)图 2HOF60OPH；易得点1P与点G重合，过2P作xMP2轴于点M；易得302OMP；330cos2OPOM；从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段21PP上；30m；(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；考虑临界情况，如图 3；即恰好FE、点为圆K的关联时，则2212EFKNKF；此时1r；故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r

19、的取值范围为1r.【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.xy图 3NKEF20132013 年北京市中考数学试题难点解析年北京市中考数学试题难点解析2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2012 年有所下降。从近四年（2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，

20、更加重视对数学思想方法和学生综合素质能 力的考察， 体现了“实践与操作， 综合与探究， 创新与应用”的命题特点， 与中考考试说明 中 C 级要求相呼应。一、试题的基本结构：整个试卷五道大题、25 个题目，总分 120 分。 其中包括选择题选择题（共 8 个题目，共 32 分）、 填空题填空题（共 4 个题目，共 16 分）、 解答题解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共 13 个 题目，共 72 分）。 1. 题型与题量题型与题量 选择题填空题解答题题数分值题数分值题数分值83241613722. 考查的内容及分布考查的内容及分布 从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学课程标准所列的主要

21、知识点，并且对初中数 学的主要内容都作了重点考查。 内容数与代数图形与空间统计与概率分值6047133. 每道题目所考查的知识点每道题目所考查的知识点题型题号考查知识点1科学记数法2有理数的概念（倒数）3概率选 择 题4平行线的性质5相似三角形6轴对称、中心对称7平均数8圆中的动点的函数图像9因式分解（提公因式法、公式法）10抛物线的解析式11矩形、中位线填 空 题12函数综合找规律（循环规律）13三角形全等证明14实数运算（0 次幂、-1 次幂、绝对值、特殊角三角函数）15解一元一次不等式组16代数式化简求值（整体代入）17列分式方程解应用题解 答 题 一18一元二次方程（判别式、整数解）1

22、9梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质）20圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质）21统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表）解 答 题 二22操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形）23代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、 数形结合思想、二次函数解析式的确定）24几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角）解 答 题 三25代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、 数形结合）二、命题主要特点：第 8、12、22、23、24、25 题依旧是比较难的题型，其

23、他题型属于基础或者中档 题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布： 题型年份2010201120122013第第 8 8 题题 （创新题）立体立体图图形形展展开图开图动点动点函函数数图图象象动点动点函函数数图图象象动点动点函函数数图图象象第第 2222题题 （操作与探究）轴对称、正方 形平移、等积变 换几何坐标化、 方 程与方程组正方形、等边三 角形、全等三角 形第第 2323题题（综合题）（代（代数数综综合合） 反比例函数、旋 转、恒等变形（代（代数数综综合合）二次函数、一 次 函数、等腰 直角 三角形、 数形结 合（代（代数数综综合合）二次函数、一 次 函数、一元 二次 方程、函 数图象

24、 平移、 数形结合（代（代数数综综合合）一次函数、二 次 函数、 图形 对称 数形结合第第 2424题题 （综合题）（代（代几几综综合合） 二次函数、等腰 直角三角形、分 类讨论、数形结 合（几（几何何综综合合） 旋转、等腰直角 三角形、等边三 角形、直角三角 形、平行四边形（几（几何何综综合合） 轴对称、等腰三 角形、倒角（几（几何何综综合合） 等边三角形、等 腰直角三角形、 旋转、倒角第第 2525题题 （综合题）（几（几何何综综合合） 等腰三角形、轴 对称、倒角（代（代几几综综合合） 一次函数、圆、 平行四边形、分 类讨论（代（代几几综综合合） “新定义” 、 一次 函数、圆、相似（代（

25、代几几综综合合）一次函数、圆、特殊直角三角 形特点一、特点一、题目总体难度降低，23 题代数综合和 25 题代几综合等压轴题理解题意仍有 一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。特点二、特点二、题型设置上较以往有微调，例如第 1、2 题位置调整；第 18 题的一次函数综 合体换成了一元二次方程；第 19 题回归对梯形的考察；第 20 题第(1)问没有考察切线的证 明等。 特点三、特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了 25 题中的新定义“关联点”之外， 其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。 特点四、特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的

26、减小，去年中考第 25 题占了一整页纸， 阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。 特点五、特点五、计算量大幅下降，去年计算题 19 题、20 题是几何计算题，有一定的难度， 计算量普遍大，但今年的 19 题、20 题不论解题难度还是计算难度都骤降。 特点六、特点六、填空第 12 题考察循环规律，与前 2 年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到1A。特点八、特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第 8 题、解答 题第 20 题。解答题第 25 题都涉及圆的知识。特点九、特点九、考察学生对于知识点的深入理

27、解能力逐渐加大。解答题第 23 题第三小问，重 点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。三、重难易错题目点评：1. 易错题目易错题目易错题号错误原因8易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像12前 2 年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律）17分式方程应用题忘记检验2. 难题难题难题题号不得分原因22没看懂题，不理解图 2 的作用是什么23利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键24对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角 证明三角形全等也是本题的难点25题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的 2 倍总体来看，2013 年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生 上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信 2014 年也会是 这种形式。