12.3角平分线的性质和判定.ppt

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1、角平分线的性质,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?,你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?,探究1：,E,角的平分线的作法,证明： 在ACD和ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的

2、 对应边相等） AC平分DAB（角平分线的定义）,尺规作角的平分线,观察领悟作法，探索思考证明方法：,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,A,为什么OC是角平分线呢？,想一想：,已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分AOB。,证明：在OMC和ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， OMC ONC（SSS） MOC=NOC 即：OC平分AOB,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明： PDOA，PEOB（已知

3、）PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的对应边相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2, 1= 2 PD OA ，PE OBPD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。, 如图，AD平分BAC（已知

4、）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,练习, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习,如图， OC是AOB的平分线， 又 _PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.求证：AC=BD.,在ABC中， C=90

5、，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3.求BD的长。,如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,这节课我们学习了哪些知识？,小 结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；,2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。, OC是AOB的平分线, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边距离相等).,几何语言:,，,1、在RtABC中，BD是角平分线，DEAB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？,知识应用,1 . 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， ED

6、B= 60，则 EBF= 度，BE= 。,60,BF,2 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE=。,角的平分线,6cm,练习,3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD

7、=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边、所在直线的距离相等,F,G,H,如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？,议一议,到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。,到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。,已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平分线上。,证明：,作射线OP, 点P在 角

8、的平分线上,在 RtPDO 和RtPEO 中，,（ HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP = OP （公共边）,PD = PE （ 已 知 ）,角平分线的判定,角平分线的判定的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,PD = PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,练一练,填空：(1). 1= 2,DCAC, DEAB _(_)(1). DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_ _)

9、,1= 2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,1.已知：如图，BEAC于E， CFAB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。求证： AD平分BAC 。,课堂练习,拓展与延伸,2.已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,3、已知PA=PB， 1+ 2=1800， 求证：OP平分AOB,A,O,B,P,1,2,E,F,E,D,F,M,N,例题2.如图，A

10、BC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P也在A的平分线上。,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF. PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,随堂练习,1.已知：如图，ABC的B的外角的平分线BD和C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在BAC的平分线上。,D,E,2.如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？,例1

11、 已知：在等腰RtABC中，AC BC，C90，AD平分 BAC，DEAB于点E。 求证：BDDE AC,变式 已知AB 15cm, 求DBE的周长,E,D,C,B,A,1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,2、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,1、画一个已知角的角平分线；,及画一条已知直线的垂线；,2、角平分线的性质：,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,3、角平分线的判定结论：,到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

12、,课堂小结,判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,用数学语言表示为：,性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,用数学语言表示为：,1.全等三角形的性质:,对应边、对应角、对应线段相等，周长、面积也相等。,2.全等三角形的判定:,知识点,一般三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS,直角三角形全等的判定：,SAS、ASA、AAS、SSS、HL,知识点,3.三角形全等的证题思路：,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。, QDOA，QEOB，QDQE（已知）点Q

13、在AOB的平分线上（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）,角的平分线上的点到角的两边的距离相等., QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 (已知） QDQE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）,二.角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,2.如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上, PDAB于D，PEBC于E,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于

14、E，PFAC于F,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.,又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBC,FMFH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.,FGFH（等量代换）,点F在DAE的平分线上,例题选析,例1：如图，D在AB上，E在AC上，且B =C，那么补充下列一具条件后，仍无法判定ABEACD的是( )AAD=AE B AEB=ADCCBE=CD DAB=AC,B

15、,例2：已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有( )A1对 B2对 C3对 D4对,D,例4:下面条件中, 不能证出RtABCRtA BC的是 (A.)AC=AC , BC=BC (B.)AB=AB , AC=AC(C.) AB=BC , AC=AC (D.)B=B , AB=AB,C,例5：如图，在ABC 中，AD BC，CE AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件： ，使AEHCEB。,BE=EH,E,证明：,课堂练习,1.已知BDCD，ABDACD，DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F.求

16、证：DEDF,证明：ABDACD（ ） EBDFCD（ ）又DEAE，DFAF（已知） EF900（ ）在DEB和DFC中 DEBDFC（ ） DEDF（ ）,全等三角形的对应边相等,AAS,垂直的定义,等角的补角相等,已知,2.点A、F、E、C在同一直线上，AFCE，BE = DF，BEDF。求证：ABCD。,证明：,3、如图：在ABC中，C =900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE= 。,12,c,A,B,D,E,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上。求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度

17、（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,5.如图，已知E在AB上，1=2， 3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,证明：,7.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,练习,7、如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出

18、一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF已知： EGAF 求证：,拓展题,8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF,9.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1） ；（2） ；,10.如图，在RABC中,ACB=450,BAC=900,AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC

19、垂直且平分DE.,11.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG为等腰直角三角形。,12.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1)要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；,（2)表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（30要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4)时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”,