2111认识一元二次方程.ppt

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1、21.1 21.1 一元二次方程一元二次方程第第1 1课时课时 认识一元二次认识一元二次方程方程第二十一章第二十一章 一元二次方程一元二次方程课堂讲解课堂讲解u一元二次方程的定义一元二次方程的定义u一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式u一元二次方程的解一元二次方程的解(根根)u建立一元二次方程的模型建立一元二次方程的模型课时流程课时流程判断下列式子是否是一元一次方程：判断下列式子是否是一元一次方程：20.35x =+ +96.52x=+ +112x=+-+-回顾旧知回顾旧知一元一次方程一元一次方程1、只有、只有一个一个未知数未知数2、未知数的指数是、未知数的指数是一次一次3、方程的两边

2、都是、方程的两边都是整式整式在设计人体雕像时，在设计人体雕像时， 使雕像的上部使雕像的上部 (腰以上腰以上)与下部与下部(腰腰以下以下) 的高度比，的高度比， 等于下部与全部等于下部与全部(全身全身)的高度比，的高度比， 可可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为2 m，那，那么它的下部应设计为多高么它的下部应设计为多高?如图，雕像的上部高度如图，雕像的上部高度AC与下部高度与下部高度BC应有如下关系：应有如下关系： AC BCBC 2，即，即BC22AC.设雕像下部高设雕像下部高x m，可得方程，可得方程x22(2x)，整理得整理得 x22x40.ACB

3、导入新知导入新知 这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数中未知数x的最高次数是的最高次数是2. 如何解这类方程如何解这类方程?如何用这类方程解决一些实际问题如何用这类方程解决一些实际问题? 这就是本章要学习的主要内容这就是本章要学习的主要内容1知识点知识点一元二次方程的定义一元二次方程的定义问问 题（一）题（一）如图，有一块矩形铁皮，长如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽，宽50 cm在它的四个在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒

4、的底面积是能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形，那么铁皮各角应切去多大的正方形?设切去的正方形的边长是设切去的正方形的边长是x cm，则盒底的，则盒底的长为长为(1002x)cm，宽为，宽为(502x)cm.根据方根据方盒的底面积为盒的底面积为3600cm2，得，得 (1002x)(502x)3 600.整理，得整理，得4x2300 x1400=0化简，得化简，得x275x350=0解上面方程即可得出所切正方形解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸的具体尺寸.化简后的方程中化简后的方程中未知数的个数和未知数的个数和最高次数各是最高次数

5、各是多少？多少？问问 题（二）题（二）要组织一次排球邀请赛，要组织一次排球邀请赛， 参赛的每两个队之间都要参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛队参赛?全部比赛场数为全部比赛场数为 .设应邀请设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他 (x1) 个队各个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共是同一场比赛，所以全部比赛共 场场.

6、列方程列方程整理，得整理，得化简，得化简，得解上面方程即可得出参赛队数解上面方程即可得出参赛队数.4728= ()112x x-()11282x x-=2112822xx-=256xx-=思考：思考：方程方程 ， x275x+350=0， 有什么共同点？有什么共同点？2240 xx=+-+-256xx-=1、只含有、只含有一个一个未知数未知数2、未知数的最高次数是、未知数的最高次数是2次次3、等号的两边都是、等号的两边都是整式整式可以发现可以发现等号两边都是等号两边都是整式整式， 只含有只含有一个未知数一个未知数( 一元一元 )，并且未知数的并且未知数的最高次数是最高次数是2(二次二次) 的方

7、程，叫做的方程，叫做一元二次方程一元二次方程定义定义 例例1 下列方程：下列方程：x2y60；x2 2； x2x20；x225x36x0； 2x23x2(x22)，其中是一元二次方程的，其中是一元二次方程的 有有() A1个个B. 2个个C3个个D4个个 1xA导引：导引： 含有两个未知数；含有两个未知数；不是整式方程；不是整式方程；未知数的最高次数不是未知数的最高次数不是2整理后未知数的最高次数不是整理后未知数的最高次数不是2符合一元二次方程的符合一元二次方程的“三要素三要素”总总 结结一元二次方程的识别方法：一元二次方程的识别方法：整理前：整理前：整式方程，只含一个未知数；整式方程，只含一

8、个未知数；整理后：未知数的最高次数是整理后：未知数的最高次数是2. .下列关于下列关于x的方程一定是一元二次方程的是的方程一定是一元二次方程的是()Aax2bxc0 Bx21x20Cx2 2 Dx2x20如果如果方程方程(m3)xm27x 30是是关于关于x一元二次一元二次方程，方程，那么那么m的值为的值为()A 3 B 3 C 3 D以上都不对以上都不对11x2DC2知识点知识点一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0 (a0)这这种形式叫

9、做一元二次方程的一般形式种形式叫做一元二次方程的一般形式 .为什么规定为什么规定a0，b，c可以为可以为0吗？吗？一元二次方程的项和各项系数一元二次方程的项和各项系数a x+b x+ c =0二次项二次项系数系数一次项系一次项系数数a0二次项二次项一次项一次项常数项常数项指出方程各项的指出方程各项的系数时要带上前系数时要带上前面的符号面的符号.例例2 将方程将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方程的一化成一元二次方程的一 般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 和常数项和常数项解：解：二次项二次项系数系数一次项系数一次项系数常数项常数项去括号，

10、得去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x28x100.所以二次项系数为所以二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为常数项为10.总总 结结(1) ax2bxc0，当，当a0时，方程才是一元二次方时，方程才是一元二次方程，程， 但但b，c可以是可以是0.(2) 将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分分 母、去括号、移项、合并同类项等步骤母、去括号、移项、合并同类项等步骤(3) 指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出一元二次方程的某项时，应连同未

11、知数一起； 指出某项系数时应连同它前面的符号一起指出某项系数时应连同它前面的符号一起. 1 把方程把方程x(x2)5(x2)化成一般形式，则化成一般形式，则a，b， c的值分别是的值分别是() A1，3，10 B1，7，10 C1，5，12 D1，3，2A2将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出写出其中的其中的二次项系数、一次项系数和常数项：二次项系数、一次项系数和常数项： (1)5x214x；(2)4x281；(3)4x(x2)25； (4)(3x2)(x1)8x3.解：解：(1)移项，得移项，得5x24x10，其中二次项系数为，其中二次项系数为

12、5， 一一 次次项系项系数为数为4，常数项为，常数项为1. (2)移项，得移项，得4x2810，其中二次项系数为，其中二次项系数为4，一次，一次项系数项系数为为0，常数项为，常数项为81. (3)去括号，得去括号，得4x28x25，移项，得，移项，得4x28x250， 其中二次项系数为其中二次项系数为4，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为，常数项为25.(4)去括号，得去括号，得3x2x28x3，移项，合并同类项，移项，合并同类项， 得得3x27x10，其中二次项系数为，其中二次项系数为3，一次项系数，一次项系数 为为7，常数项为，常数项为1.3知识点知识点一元二次方程的解一元二次方程的解

13、( (根根) ) 使方程使方程左右两边相等左右两边相等的的未知数的值未知数的值就是这个一就是这个一元二次方程的元二次方程的解解，一元二次方程的解也叫做一元二，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的次方程的根根例例3 下面哪些数是方程下面哪些数是方程x2x20的根？的根？ 3，2，1，0，1，2，3当当x3时，左边时，左边9(3)210，则左边则左边右边，右边，所以所以3不是方程不是方程x2x20的解；的解；下面几个数同理可证下面几个数同理可证.经检验得经检验得1，2为原方程的根为原方程的根.解析：解析：总总 结结判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：判断一个数是不是一元二次方程的根的方法： 可

14、将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两可将这个数代入方程中，如果该数使方程左右两边相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数边相等，那么这个数就是方程的根；反之，如果该数不能使方程左右两边相等，那么这个数就不是方程的不能使方程左右两边相等，那么这个数就不是方程的根根 .1 方程方程x2x120的的两个两个根根为为() Ax12，x26 Bx16，x22 Cx13，x24 Dx14，x23D4知识点知识点建立一元二次方程的模型建立一元二次方程的模型 一元二次方程是刻一元二次方程是刻画现实世界的一个有效画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际数学模型，它是把实际问题中语言叙述的问题中语言叙述的

15、数量数量关系关系通过设未知数用一通过设未知数用一元二次方程来表达元二次方程来表达圆形的面积圆形的面积增长增长( (利润利润) )率率行程问题行程问题工程问题等工程问题等一元二次方程的模型：一元二次方程的模型：常用于一元二次方程常用于一元二次方程来建模的问题有：来建模的问题有：建立一元二次方程模型的一般步骤：建立一元二次方程模型的一般步骤：(1)审题审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之 间的关系；间的关系；(2)设出合适的未知数设出合适的未知数，一般设为，一般设为x；(3)确定等量关系确定等量关系；(4)根据根据等量关系等量关系列出一元二次方程，有时要化为

16、列出一元二次方程，有时要化为 一般形式一般形式 例例4 小雨在一幅长小雨在一幅长90 cm， 宽宽40 cm的油画四周外围镶上一条宽的油画四周外围镶上一条宽 度相同的边框，度相同的边框， 制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个 挂图面积挂图面积 的的54%，设边框的宽度为，设边框的宽度为x cm，根据题意，列出，根据题意，列出 方程方程本题涉及两个基本量：本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂油画的面积与整个挂图的面积图的面积在油画四周外围镶上宽度在油画四周外围镶上宽度为为x cm的边框，则整个挂的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？图的长与宽各增加了多少？

17、利用长方形的面积公利用长方形的面积公式和油画面积与整个式和油画面积与整个挂图面积之间的关系挂图面积之间的关系列方程列方程x904040+2x90+2x解：解：(902x)(402x)54%9040.总总 结结 建立一元二次方程模型解决实际问题时，建立一元二次方程模型解决实际问题时， 既既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式中隐含的一些常用关系式(如如面积公式面积公式、体积公式、体积公式、利润公式利润公式等等)进行列方程进行列方程1随州随州市市尚市尚市“桃花节桃花节”观赏人数逐年增加观赏人数逐年增加，据有关据有关部门统计，

18、部门统计，2014年约为年约为20万人次，万人次，2016年约为年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程，则下列方程中正确的是中正确的是( ) A20(12x)28.8 B28.8(1x)220 C20(1x)28.8 D 20(12x)20(1x)228.82 根据下列问题，列出关于根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程的方程，并将所列方程 化成一元二次方程的一般形式：化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是个完全相同的正方形的面积之和是25，求正，求正 方形的边长方形的边长x； (2)一个矩形的长比宽多一个矩

19、形的长比宽多2，面积是，面积是100，求矩形的，求矩形的 长长x； (3)把长为把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与的木条分成两段，使较短一段的长与 全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短 一段的长一段的长x.解：解：(1)列方程列方程4x225，移项，得，移项，得4x2250. (2)列方程列方程x(x2)100，去括号，得，去括号，得x22x100，移，移 项，得项，得x22x1000. (3)列方程列方程x1(1x)2，去括号，得，去括号，得xx22x1，移，移 项，合并同类项，得项，合并同类项，得x23x10.一元二次方程一元二次方程建立一

20、元二次方程的模型建立一元二次方程的模型一元二次方程的定义一元二次方程的定义一元二次方程的根一元二次方程的根一元二次方程的一般形一元二次方程的一般形式式a x+b x+ c =0使方程两边使方程两边相等的未知相等的未知数的值数的值1.整式整式2.一个未知数一个未知数3.最高次数为最高次数为2判别一元二次方程的判别一元二次方程的“两方法两方法”：(1) 根据根据定义定义要把握三点：一是整式方程；要把握三点：一是整式方程； 二是含二是含 有一个未知数；三是未知数的最高次数是有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.(2) 根据根据一般形式一般形式要把握两点：一是能化成要把握两点：一是能化成ax2bx c0的形式，且的形式，且a一定不能为一定不能为0，而，而b，c都可以都可以 为为0；二是判断是否为一元二次方程与其解的情；二是判断是否为一元二次方程与其解的情 况无关况无关 1.必做必做: 完成教材完成教材P4 T1-T72.补充补充: 请完成对应习题请完成对应习题