32复数代数形式的四则运算.ppt

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1、知识回顾知识回顾(4) 复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？(1) 虚数单位虚数单位(2) 复数的分类？复数的分类？(3) 复数相等的等价条件？复数相等的等价条件？例例2 2 已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数对应的点位于第二象限，求实数m m允许的取值范围。允许的取值范围。 表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题转化转化(几何问题几何问题)(代数问题代数问题)一种重要的数学思想：

2、一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m变式一：变式一：已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内在复平面内所对应的点在直线所对应的点在直线x-2y+4=0 x-2y+4=0上，求实数上，求实数m m的值。的值。 解：复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点是（内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2），）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2。例例2 2 已知复数已知复数z=(m

3、z=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i +m-2)i 变式二：变式二：证明对一切证明对一切m m，此复数所对应的点不可能，此复数所对应的点不可能位于第四象限。位于第四象限。点位于第四象限，证明：若复数所对应的020622mmmm则3221mmm 或即不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限.小结复数复数z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量O Z一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b)z=a+bi实数绝对值的几何意义实数绝对值的几何意义: :

4、复数的模其实是实数绝对值概念的推广复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOAa| |a| = | = |OA| | 实数实数a在数轴上所在数轴上所对应的点对应的点A到原点到原点O的的距离距离. .a aa a(0)(0) xOz= =a+ +biy| |z|=|=|OZ| |复数的模复数的模 复数复数 z= =a+ +bi在复平在复平面上对应的点面上对应的点Z(Z(a, ,b) )到到原点的距离原点的距离.的几何意义的几何意义: :Z(a,b)ab22复数的绝对值复数的绝对值 (复数的模复数的模) 的的几何意义几何意义: 例例 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i (2)z2

5、=- -3+4i (3)z3=5- -5i(2)(2)满足满足|z|=5(zC)|z|=5(zC)的的z z值有几个？值有几个？思考：思考：(1)(1)满足满足|z|=5(zR)|z|=5(zR)的的z z值有几个？值有几个？(4)z4=1+mi(mR) (5)z5=4a- -3ai(a0) 这些复这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 设设z=x+yi(x,yRz=x+yi(x,yR) )5|22yxz以原点为圆心以原点为圆心, , 半径为半径为5 5的的圆圆图形图形: :挑战自我挑战自我v 如果复数如果复数z的模不大于的模不大于1，而，而z的虚的虚

6、部的绝对值不小于部的绝对值不小于1/2，那么复数，那么复数z的对的对应点所组成的平面图形的面积是多少？应点所组成的平面图形的面积是多少？1.已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数）即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i.规定：规定：显然：两个复数的和（差）仍然是一个复数显然：两个复数的和（差）仍然是一个复数,而且可以

7、而且可以推广到多个复数相加（减）的情形。推广到多个复数相加（减）的情形。譬如：譬如： 3+4i+(-2-2i)=复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算z1+z2=z2+z1(z1+z2) +z3=z1+ (z2+z3)复数的加法，满足交换律、结合律，即对复数的加法，满足交换律、结合律，即对任意任意z1C，z2C，z3C运算律：运算律：),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是与复数 OZ () ()a cb d i+对应

8、的向量对应的向量.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？义吗？12( , )( , )(,)OZOZOZa bc dac bd=+=+=+ 几何意义几何意义类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？yxO1Z2Z 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2( , )OZc d= d)-bc

9、,-(a d)(c,-b)(a, 2112OZOZZZ向量向量 就是与复数就是与复数 对应的向量对应的向量.12ZZidbca)()(?|21的几何意义是什么zz 1|32|iz2 2、设、设a，b，r r为实常数，且为实常数，且r r0 0，则，则满足满足|z|z( (abi)|i)|r r的复数的复数z z对应复对应复平面上的点的轨迹是什么？平面上的点的轨迹是什么？ 以点以点( (a，b) )为圆心，为圆心，r r为半径的圆为半径的圆. .x xy yO Or rZ ZZ Z0 0问题探究问题探究3 3、满足、满足|z|z( (abi)|i)|z|z( (cdi i)|)|的的复数复数z

10、z对应复平面上的点的轨迹是什么？对应复平面上的点的轨迹是什么？ x xy yO OZ Z2 2Z Z1 1Z Z点点( (a，b) )与点与点( (c，d) )的连线段的垂直平的连线段的垂直平分线分线. . 问题探究问题探究4 4、设、设a为非零实数，则满足为非零实数，则满足|z|za| |z|za| |，|z|zai i| |z|zai i| |的复数的复数z z分别具有什么特征？分别具有什么特征？若若|z|za| |z|za| |，则，则z z为纯虚数或零；为纯虚数或零； 若若|z|zai| |z|zai| |，则，则z z为实数为实数.问题探究问题探究1 1、|z|z1 1|= |z|=

11、 |z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形练练 习习 1 1：例例1 计算计算(56 )( 2)(34 )iii-+ - -+例例2:若平行四边形若平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点

12、A,B,C分别分别对应复数对应复数3i,2-i,4+2i,以以AB、AC为邻边作一个平为邻边作一个平行四边形行四边形ABCD，求，求D点对应的复数点对应的复数?变式变式:若平行四边形若平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A,B,C分别分别对应复数对应复数3i,2-i,4+2i,求第四个顶点求第四个顶点D对应的复数对应的复数?的长的长及及点对应的复数点对应的复数，求，求四边形四边形为邻边作一个平行为邻边作一个平行、以以分别对应复数分别对应复数在复平面内，在复平面内，例例ADDABDCACAB,33,5,1CB,A,2.4321ziziziz 对应的复数对应的复数，求点，求点复数复数对应的对应的

13、，向量，向量对应的复数为对应的复数为向量向量，对应的复数为对应的复数为点点已知复平面内三点已知复平面内三点例例Ci -3BC2i1BAi2AC.B,A,3. z|23 | 1ziz例例4.已知复数已知复数 满足满足试求出复数试求出复数对应点的对应点的轨迹方程轨迹方程.yx练习练习| |34 |ziiz1,满足条件满足条件的复数的复数A.一条直线一条直线 B.两条直线两条直线C.圆圆 D.其它其它在复平面上对应点在复平面上对应点的轨迹是的轨迹是( )z|33 |3zi | | z2.复数复数满足满足,则则的最大值是的最大值是_;最小值是最小值是_.3 33C 1 1、设、设a，b，c，dRR，

14、则则( (ab)()(cd) )怎样展开？怎样展开？ ( (ab)()(cd) )acadbcbd问题探究问题探究2.2.复数的乘法法则：复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcad i（说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .i2(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 ,

15、 z2 ,z3 C,有有,()(),().zzzzzzzzzzz zzz zz z12211231231231 21 3()()abi cdi例例1.1.计算计算(2i i )(32i i)(1+ +3i i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的. .)(1biabia）（例例2 2：计算：计算222ibabiabia22ba 思考：思考：在复数集在复数集C内，你能将内，你能将 分解因式吗？分解因式吗？22yx 22 ()abi（ ）222babia222()() 2a biababi22 22aabib i222ababi 乘法公式在复数系中也是成立的，乘法公式

16、在复数系中也是成立的，运用乘法公式可以简化运算过程。运用乘法公式可以简化运算过程。1(34 )(34 )ii计算：（）21+i（2）（） 共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数两个复数叫做互为共轭复数.复数复数z=a+bi的共轭复数记作的共轭复数记作, zzabi即思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR R ) ), ,那么那么zzzz2a2bizz22ab3.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化

17、简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化dicbiadicbia)()()()(dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例例3.3.计算计算)43()21 (ii解解:iiii4321)43()21 ()43)(43()43)(21 (iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子分母同时乘一般分子分母同时乘以分母的共轭复数以分母的共轭复数)注注设设 ,则有则有:i2321 _3221;1. 0事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式._ _ 例例4 计算：计算：44142431,;nnnniiii（）21 112(1) ,;11iiiiii（ ）313(3)()22i2261,1,1,zazbziizza b 例已知复数且求的值。253(1) ,z izz例已知z-1=求的值。利用前面的结论，方法1，待定系数，方法2，解z练习练习课本课本P111-1,2,3 P112-1-5