专题15概率与统计(解答题)——三年(2022-2022)高考真题文科数学分项汇编(解析版)(1).docx

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1、专题 15概率与统计解答题1【2022年高考全国卷文数】某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20元；对于 D级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工本钱费为 25元/件，乙分厂加工本钱费为 20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分等级ABCD频数40202020厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频

2、数281734211分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率；2分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?【解析】1由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为 A级品的概率的估计值为 40100乙分厂加工出来的一件产品为 A级品的概率的估计值为 28100= 0.4 ；= 0.28 .2由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润6525575频数40202020因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为65 40 + 25 20 - 5 20 - 75 20 = 15 .10

3、0由数据知乙分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为利润7030070频数28173421因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为70 28 + 30 17 + 0 34 - 70 21 = 10 .100比拟甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.【点睛】此题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属 于根底题2【2022年高考全国卷文数】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区，调查

4、得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，20)，其中 xi 和 yi分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20xii=120=60，yii=120= 1200 ， xii=120- x ) = 80 ， y2ii=120- y ) = 9000 ， x2ii=1-x)yi -y) =8001求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；2求样本(xi，yi)(i=1，2，20)的相关系数(精确到 0.01)；附：相关系数 r=n(xi-x)(yi-y)i=1n(x - x )( y - y )2

5、n2iii=1i=1，1.4141 2020【解析】1由己知得样本平均数y=yi=60，从而该地区这种野生动物数量的估计值为60i=1200=120002样本(xi , yi ) (i = 1, 2,L, 20) 的相关系数20xi-x)20 20ii=1yi - y)i=1 r =i=1yi -y)8080 90002 2= 0.9433分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样理由如下：由2知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关由于各地块间植物 覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构

6、与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计【点晴】此题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能 力，是一道容易题.锻炼人次空气质量等级0,200(200,400(400,6001优216252良510123轻度污染6784中度污染7203【2022年高考全国卷文数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天：1分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；2求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；人次4

7、00人次400空气质量好空气质量不好3假设某天的空气质量等级为 1 或 2，那么称这天“空气质量好；假设某天的空气质量等级为 3 或 4，那么称这天“空气质量不好根据所给数据，完成下面的 22 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附： K2n(ad -bc)2=，(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】1由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：空气质量等级1234概率的估计值0.430.270.210

8、.092一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1 (100 20 + 300 35 + 500 45) = 350 1003根据所给数据，可得 2 2 列联表：人次400人次400空气质量好3337空气质量不好228根据列联表得= 5.8202100(338-2237)2K55457030由于5.820 3.841，故有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关【点睛】此题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处 理能力，属于根底题.4【2022年新高考全国卷】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查

9、了100 天空气中的2PM2.5和SO浓度单位：g/m3，得下表：SO2PM 2.50, 50(50,150(150, 4750, 3532184(35, 756812(75,11537101估计事件“该市一天空气中 PM 2.5 浓度不超过75 ，且SO2 浓度不超过150 的概率；2根据所给数据，完成下面的 2 2 列联表：SO2PM 2.50,150(150, 4750, 75(75,1153根据2中的列联表，判断是否有99% 的把握认为该市一天空气中 PM 2.5 浓度与SO2 浓度有关？附： K2n(ad -bc)2=，(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )P(K 2

10、k )0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】1根据抽查数据，该市 100天的空气中 PM2.5 浓度不超过 75，且SO2浓度不超过 150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估64计值为100= 0.64 2根据抽查数据，可得 2 2 列联表：SO2PM 2.50,150(150, 4750, 756416(75,11510103根据2的列联表得 K100 (64 10 -16 10)22 =7.484 80 20 74 26由于7.484 6.635 ，故有99% 的把握认为该市一

11、天空气中 PM 2.5 浓度与SO2 浓度有关满意不满意男顾客4010女顾客30205【2022年高考全国卷文数】某商场为提高效劳质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的效劳给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：1分别估计男、女顾客对该商场效劳满意的概率；2能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异？附： K2n(ad -bc)2=(a +b)(c +d )(a +c)(b +d )PK2k0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】1男、女顾客对该商场效劳满意的概率的估计值分别为0.8，0.6；2有95%的把握认为男、女顾客

12、对该商场效劳的评价有差异【解析】1由调查数据，男顾客中对该商场效劳满意的比率为 40 = 0.8，50因此男顾客对该商场效劳满意的概率的估计值为0.8女顾客中对该商场效劳满意的比率为 30 = 0.6 ，50因此女顾客对该商场效劳满意的概率的估计值为0.6 2100(4020-3010)22由题可得 K= 4.76250 50 70 30由于 4.762 3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场效劳的评价有差异y 的分组 - 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数224531476【2022年高考全国卷文数】某行业主管部门为了解

13、本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表1分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；2求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表精确到0.0174附：8.602【答案】1产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；2这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%，17%【解析】1根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为14 + 7 = 0.211002产值负增

14、长的企业频率为100= 0.02 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%2y=1 (-0.10 2 + 0.10 24 + 0.30 53 + 0.50 14 + 0.70 7) = 0.30 ，1005100s2 = 1n (y-y)2=1iii=1(-0.40)22+(-0.20)224+0253+0.20214+0.4027100=0.0296，0.029674s =0.02 0.17，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%7【2022年高考全国卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程

15、度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5，根据直方图得到 PC的估计值为 0.701求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；2分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表【答案】1a=0.35，b=0.10；2甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00【解析】1由得0.7

16、0 =a +0.20 +0.15 ， 故 a =0.35 b = 1- 0.05 - 0.15 - 0.70 = 0.10 2甲离子残留百分比的平均值的估计值为2 0.15 + 3 0.20 + 4 0.30 + 5 0.20 + 6 0.10 + 7 0.05 = 4.05乙离子残留百分比的平均值的估计值为3 0.05 + 4 0.10 + 5 0.15 + 6 0.35 + 7 0.20 + 8 0.15 = 6.008【2022年高考天津卷文数】2022年，我国施行个人所得税专项附加扣除方法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、

17、中、青员工分别有72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况1应从老、中、青员工中分别抽取多少人？2抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 A, B, C, D, E, F 享受情况如下表，其中“表示享受，“表示不享受现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访员工工程ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人i试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ii设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同，求事件 M 发生的概率11【答案】1应从老、中、青员工中分别抽取6人

18、，9人，10人；2i见解析，ii15【分析】此题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的根本领件数、古典概型及其概率计算公式等根本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力【解析】1由，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取 6 人，9 人，10 人2 i 从已知的6人 中 随 机 抽取2人的所有可能结果为A,B,A,C,A,D,A,E,A,F,B,C,B, D,B, E,B, F,C, D,C,E,C, F,D, E,D, F,E, F，共 15 种ii由表格知，符合题意的所有可能结果为A, B,A

19、, D,A, E,A, F,B, D,B,E ,B ,F,C, E,C, F,D, F,E, F，共 11 种所以，事件 M 发生的概率 P(M ) =11 159【2022年高考北京卷文数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于 2 000 元大于 2 000 元仅使用 A27 人3 人仅使用 B24

20、人1 人1估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；2从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；3上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000 元结合2的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由【答案】1该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数约为400；20.04；3见解析【解析】1由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30 人， 仅使用 B 的学生有 24+1=25 人，A，B两种支付

21、方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为 40 1000 = 400 1002记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元，那么P(C) =1 = 0.04 253记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元 假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，那么由2知， P(E) = 0.04答案例如1：可以认为有变化理由如下：P(E) 比拟小，概率比拟小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理

22、由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化， 所以可以认为有变化答案例如2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件， P(E) 比拟小，一般不容易发生，但还是有可能发生的， 所以无法确定有没有变化10【2022年高考全国卷文数】下列图是某地区2000年至2022年环境根底设施投资额y单位：亿元的折线图为了预测该地区 2022年的环境根底设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个线性回归模型根据 2000年至 2022年的数据时间变量t的值依次为1, 2, L, 17建立模型： y =-30.4+13.5t；根据 2022年至2022年的数据时间变量t 的值依次为1, 2, L, 7

23、 建立模型： y = 99 + 17.5t 1分别利用这两个模型，求该地区 2022年的环境根底设施投资额的预测值；2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由【答案】1模型：226.1亿元，模型：256.5亿元；2模型得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】1利用模型，该地区 2022年的环境根底设施投资额的预测值为$y=30.4+13.519=226.1亿元利用模型，该地区 2022年的环境根底设施投资额的预测值为$y=99+17.59=256.5亿元2利用模型得到的预测值更可靠 理由如下：i从折线图可以看出，2000 年至 2022年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=30.4+13

24、.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2022年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势2022年相对 2022年的环境根底设施投资额有明显增加，2022年至 2022年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2022年开始环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2022年至 2022年的数据建立的线性模型$y =99+17.5t 可以较好地描述 2022年以后的环境根底设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠ii从计算结果看，相对于 2022年的环境根底设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型

25、得到的预测值的增幅比拟合理，说明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分11【2022年高考全国卷文数】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据单位：m3和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50天的日用水量频数分布表日用水量0 ，0.1)0.1，0.2)0.2 ，0.3)0.3，0.4)0.4 ，0.5)0.5，0.6)0.6 ，0.7)频数13249265使用了节水龙头 50天的日用水量频数分布表日用水量0 ，0.1)0.1，0.2)0.2 ，0.3)0.3，0.4)0.4 ，0.5)0.5

26、，0.6)频数1513101651在答题卡上作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图：2估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3 的概率；3估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表【答案】1见解析；20.48；347.45m3【解析】1频率分布直方图如下:2根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3 的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3 的概率的估计值为 0.483该家庭未使用节水

27、龙头 50 天日用水量的平均数为x1 =1 (0.051+ 0.15 3 + 0.25 2 + 0.35 4 + 0.45 9 + 0.55 26 + 0.65 5) = 0.48 50该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为x2 =1 (0.051+ 0.15 5 + 0.2513 + 0.3510 + 0.4516 + 0.55 5) = 0.35 50估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48 - 0.35) 365 = 47.45(m 3) 12【2022年高考全国卷文数】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比拟两种生产方式的效率

28、，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人， 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间单位：min绘制了如下茎叶图：1根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式2求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：3根据2中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： K2n(ad -bc)2P(K 2 k) 0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828=，(a +b)

29、(c +d )(a +c)(b +d )【答案】1第二种生产方式的效率更高，理由见解析；2列联表见解析；3有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异【解析】1第二种生产方式的效率更高 理由如下：i由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80 分钟， 用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟因此第二种生产方式的效率更高ii由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟因此第二种生产方式的效率更高iii由茎叶图可知

30、：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高iv由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由

31、均可得分2由茎叶图知 m =79 + 81 = 80 2列联表如下：超过 m不超过 m第一种生产方式155第二种生产方式5153由于 K-2240(15 15 5 5)=106.635，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异20 20 20 2013【2022年高考北京卷文数】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值1从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四

32、类电影的概率；2随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；3电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格 中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1， 使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值到达最大？只需写出结论【答案】10.025；20.814；3增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率【解析】1由题意知，样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000 第四类电影中获得好评的电影部数是 2000.25=50，50故所求概率为2000= 0

33、.0252方法 1：由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4+500.2+3000.15+2000.25+8000.2+5100.1=56+10+45+50+160+51=372故所求概率估计为1-3722000= 0.814 方法 2：设“随机选取 1 部电影，这部电影没有获得好评为事件 B没有获得好评的电影共有 1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628 部由古典概型概率公式得 P(B) =1628 = 0.814 20003增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率14【2022年高考天津卷文数】某校甲、乙、丙三个年级的学生

34、志愿者人数分别为240，160，160现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动1应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？2设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承当敬老院的卫生工作i试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；ii设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级，求事件M发生的概率5【答案】1分别抽取3人，2人，2人；2i见解析，ii21【分析】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的根本领件数、古典概型及其概率计算公式等根本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力【解析】1由，甲、乙、丙三个年

35、级的学生志愿者人数之比为 322， 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人2i从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G， 共 21种ii由1，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是 F，G，那么从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种5所以，事件 M 发生的概率为 PM= 21