Q1： 经典控制与现代控制数学描述的区别？Q2： 状态变量.ppt

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1、第一章 线性系统的状态空间描述,辽宁科技大学,主讲教师：姜冠杰,Q1: 经典控制与现代控制数学描述的区别？Q2: 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？Q3: 状态空间模型的线性变换？Q4: 如何由微分方程求出系统状态空间描述？Q5: 如何由传递函数求出系统状态空间描述？Q6: 如何由方框图求出系统状态空间描述？Q7: 如何由状态变量图求出系统状态空间描述？,主要问题,Q1: 经典控制与现代控制数学描述的区别?,例:设有一个R-L-C网络，试求其数学描述。,Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别,经典控制理论模型,传递函数,微分方程,现代控制理论模型,Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别,经典

2、控制理论描述系统数学模型的方法： 外部模型；单输入单输出系统；时域内为高阶微分方程、复频域内为输入-输出关系的传递函数；从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并建立起一整套图解分析法，至今仍得到广泛地应用。,现代控制理论描述系统数学模型的方法：内外部描述：一阶微分方程组（时域）；多输入多输出系统；利用状态分析法，对系统进行一系列特性分析，来设计状态反馈和输出反馈,反映不出任何系统内部信息,Q1 经典控制与现代控制数学描述的区别,Q2:状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？,Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？,“状态”指系统过去、现在 和将来的运动状况。 指能够完全描述系统时间域动态

3、行为的一个最小变量组。 该变量组的每个变量称为状态变量。状态变量是描述系统内部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数；将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量（电网络中电容电压和电感电流）一个n阶系统仅有n个变量可以选择,Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？,对于给定的系统，状态变量的选择则不是唯一的。,状态变量选择的不同，状态方程亦不相同但可以通过线性变换实现相互转化,Q2 状态变量是如何选取的，具有唯一性吗？,Q3:

4、 状态空间模型的线性变换？,上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。,由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系,Q3 状态空间模型的线性变换？,状态空间的线性变换设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为,其中P为nn维的非奇异变换矩阵,值得指出的是:,变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和可逆的。,两种表达式之间存在什么关系?,状态空间模型的线性变换,设在状态变量 和 下,系统状态空间模型分别为,将变换关系 代入(A,B,C,D) 的状态方程中有,Q3 状态空间模型的线性变换？,由于变换矩阵P非奇异,则有,将上式与状态空间模型 比较,

5、则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系,补充资料:逆矩阵的计算常用的逆矩阵计算方法有如下2种:计算伴随矩阵法初等变换法(三角矩阵变换法)。,关键是求解P,Q3 状态空间模型的线性变换？,系统的特征值和特征向量状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。,Q3 状态空间模型的线性变换？,定义 设

6、v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的特征向量。将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0 其中I为nn的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。,Q3 状态空间模型的线性变换？,设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换,后,系统矩阵为,可见,系统经线性变换后,其特征值不变。,矩阵 的特征多项式为,即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。,Q3 状态空间模型的线性变换？,特征向量的计算如何求解特征值i对应的特征向量?求

7、解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=0由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量其他元素的值。,Q3 状态空间模型的线性变换？,例：求 的特征向量。,计算 的特征向量,解：,Q3 状态空间模型的线性变换？,得一特征向量,同理,令,P由A的特征向量构成,Q3 状态空间模型的线性变换？,* 为其两两相异的特征值，则其变换阵 P为范德蒙矩阵,1）化系数矩阵A为对角阵,定理1：,注： A 阵转化

8、为对角形以后。各状变量间的耦合关系即随之消除，称 之为状态解耦。,Q3 状态空间模型的线性变换？,定理2：,A具有重特征值 所对应的独立向量仍为m个，,其它(n-m)个特征值互异，则仍可将A化为对角形，且,Q3 状态空间模型的线性变换？,2）化系数矩阵A为约当阵,若A具有重特征值 ，只有一个独立向量与之对应，其余（n-m）个特征值互异，则只能将A化为约当阵。,定理3：,m阶约当块,Q3 状态空间模型的线性变换？,为了将一般式的矩阵A化成约当阵，必须确定变换矩阵P。其求法如下：设系统有n个重特征值 ，对应的特征向量为,由特征向量的定义得：,此时，变换矩阵为：,可以得到：,Q3 状态空间模型的线性

9、变换？,Q4:如何由微分方程求出系统状态空间描述？,2-1 由微分方程导出状态空间表达式,1、系统输入量中不含导数项,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述,2、系统输入量中含有导数项,状态变量的选取,令,关键：选取输出量导数为状态变量,1、系统输入量中不含导数项,将高阶微分方程化为状态变量 的一阶微分方程组,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述？,将一阶微分方程组化为向量形式,状态方程为：,输出方程为,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述？,线性微分方程为,选择的状态变量要使导出的一阶微分方程组等式的右边不出现 u 的导数项，所以通常把状态变量取为输出 y 和输入 u 的各阶导数的

10、适当组合。,2、系统输入量中含有导数项,选择状态变量,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述？,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述？,化为向量形式,状态方程为,输出方程为,Q4 如何由微分方程求出系统状态空间描述？,Q5: 如何由传递函数求出系统状态空间描述？,控制系统的传递函数为,将其化为部分分式的形式,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,1、传递函数有各异特征根,2、传递函数特征根有重根,1) 选择状态变量,1、传递函数有各异特征根,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,2）化为状态变量的一阶方程组,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,Q5 如何由传递函数求出系统状

11、态空间描述,利用留数定理求,3）化为向量形式,状态方程为,输出方程为,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,对角规范型,2、传递函数特征根有重根,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,2）化为状态变量的一阶方程组,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,3）化为向量形式,状态方程为,输出方程为,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,约当块,如果传递函数有k个重根,约当规范型,Q5 如何由传递函数求出系统状态空间描述,Q6: 如何由方框图求出系统状态空间描述？,已知系统方框图如图所示。,Q6 如何由方框图求出系统状态空间描述,均为积分环节或惯性环节,环节的输出选为状态变量,无需求总的传递函数,1）列写每一典型的传递函数,整理,Q6 如何由方框图求出系统状态空间描述,用向量矩阵形式表示,Q6 如何由方框图求出系统状态空间描述,Q7: 如何由状态变量图求出系统状态空间描述？,Q7 如何由状态变量图求出系统状态空间描述,加法器 积分器 放大器,状态变量图就是由积分器、放大器和加法器构成的图形表示每个积分器的输出定为状态变量,设一阶系统状态方程为,则其状态图为,Q7 如何由状态变量图求出系统状态空间描述,Q7 如何由状态变量图求出系统状态空间描述,Thank you！,