实验1：矩阵的基本运算.doc

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1、1基础篇本篇包含五个线性代数的基础实验，从矩阵运算到方程组的求解；从向量组线性相关 性分析到矩阵的对角化；从矩阵特征值和特征向量求解到二次型的标准化及正定性的分析， 都给出了 MATLAB 的解决方法。实验 5 利用 MATLAB 的绘图功能，对线性代数若干概念的几 何意义进行了分析讨论。实验 1 矩阵的基本运算1.1 实验目的1.掌握 Matlab 软件的矩阵赋值方法； 2.掌握 Matlab 软件的矩阵加法、数乘、转置和乘法运算； 3.掌握 Matlab 软件的矩阵幂运算及逆运算； 4.掌握 Matlab 软件的矩阵元素群运算； 5.通过 Matlab 软件进一步理解和认识矩阵的运算规则。

2、1.2 实验指导MATLAB 是一种功能强大的科学及工程计算软件，它的名字由“矩阵实验室” （Matrix Laboratoy）组成，它具有以矩阵为基础的数学计算和分析功能，并且具有丰富 的可视化图形表现功能及方便的程序设计能力。它的应用领域极为广泛。本实验学习用 MATLAB 软件进行矩阵基本运算。 启动 MATLAB 后，将显示 MATLAB 操作界面，它包含多个窗口，其中命令窗口是最 常用的窗口，如图 1.1 所示。图 1.1 MATLAB 的操作桌面本实验所有例题的 MATLAB 命令都是在命令窗口中键入的。在本实验中用到2MATLAB 的运算符号及命令或函数列举如下： 1、运算符号

3、表 1.1 给出了本实验用到的 MATLAB 基本运算符号。表 1.1 MATLAB 的基本运算符号运算符号*/.说明赋值加减乘左除右除幂运算转置群运算2、命令或函数 表 1.2 给出了与本实验相关的 MATLAB 命令或函数。若要进一步了解和学习某个命令 或函数的详细功能和用法时，MATLAB 提供了一个 help 命令。表 1.2 与本实验相关的 MATLAB 命令或函数命令说明位置help inv在命令窗口中显示函数 inv 的帮助信息 创建矩阵例 1.1，矩阵行元素分割符号例 1.1；矩阵列元素分割符号例 1.1%注释行例 1.1eye(n)创建 n 阶单位矩阵例 1.1zeros(m

4、,n)创建 mn 阶零矩阵例 1.1zeros(n)创建 n 阶零方阵例 1.1ones(m,n)创建 mn 阶元素全为 1 的矩阵例 1.1rand(m,n)创建 mn 阶元素为从 0 到 1 的均匀分布的随机数矩阵例 1.2round(A)对矩阵 A 中所有元素进行四舍五入运算例 1.2inv(A)求矩阵 A 的逆例 1.3A-1用幂运算求矩阵 A 的逆例 1.31.3 实验内容例 1.1 用 MATLAB 软件生成以下矩阵：（1）（2）（3）（4） 066656239 A 100010001 B 0000C1111111111111111D解：（1）在 MATLAB 命令窗口输入： A=

5、9,3,2;6,5,6;6,6,0 % 矩阵同行元素以逗号或空格分割 或：A=9 3 2;6 5 6;6 6 0 % 行与行之间必须用分号或回车分隔 或：A=9 3 26 5 66 6 0结果都为： A =9 3 26 5 66 6 03（2）输入： B=eye(3) 结果为： B =1 0 00 1 00 0 1（3）输入： C = zeros(2)结果为： C =0 00 0（4）输入： D = ones(4)结果为： D =1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1Matlab 对矩阵赋值有直接输入和命令生成两种方法，本例中矩阵 A 就是键盘直接输入 的；而矩阵 B、C 和

6、 D 都是用 Matlab 命令而生成。例 1.2 随机生成两个 3 阶方阵 A 和 B，分别计算：（1）AB；（2）AB；（3）5A；（4）AB；（5）TA 解：输入： A=round(rand(3)*10) % rand(3)：生成 3 阶元素为 01 的随机实数方 阵% round（）：对矩阵元素进行四舍五入运算 B=round(rand(3)*10)结果为： A =10 2 35 10 99 3 7 B =1 2 30 3 59 7 1（1）输入： AB 结果为： ans =411 4 65 13 14 18 10 8其中“ans”表示这次运算的结果。 （2）输入： AB 结果为： a

7、ns =9 0 05 7 40 -4 6（3）输入： 5*A结果为： ans =50 10 1525 50 4545 15 35（4）输入： A*B结果为： ans =37 47 4386 103 7472 76 49（5）输入 A结果为 ans =10 5 92 10 33 9 7例 1.3 已知矩阵，分别计算：（1）；（2） 712010321 A5A1A解：输入： A=1,2,3;0,1,0;2,1,7结果为： A =1 2 30 1 02 1 7（1）输入：5A5结果为： ans =3409 2698 117150 1 07810 6177 26839（2）输入： inv(A)或输入

8、A-1 结果都为： ans =7 -11 -30 1 0 -2 3 1例 1.4 已知矩阵，且满足，计算矩 192250596 A 182401266 BBPA BAQ 阵和。PQ解：方法一：利用求逆矩阵的方法，输入： A=6,9,5;0,5,2;2,9,1 B=6,6,2;1,0,4;2,8,1 P=B*inv(A) Q=inv(A)*B方法二：利用 MATLAB 软件特有的矩阵“左除”和“右除”运算，输入： A=6,9,5;0,5,2;2,9,1 B=6,6,2;1,0,4;2,8,1P=B/A % 矩阵右除 Q=AB % 矩阵左除 两种方法的运算结果都为： A =6 9 50 5 22

9、9 1 B =6 6 21 0 42 8 1 P =0.8043 -1.3043 0.58700.5761 1.1739 -1.22830.0435 -0.0435 0.8696 Q =60.6087 1.4565 -1.20650.0435 0.7826 0.21740.3913 -1.9565 1.4565例 1.5 已知矩阵，分别按以下要求进行矩阵元素的群 107026305 A 254603312 B运算： （1）把矩阵 A 和矩阵 B 所有对应元素相乘，得到 9 个乘积，计算由这 9 个数所构成的同 形矩阵 C。 （2）对矩阵 A 中的所有元素进行平方运算，得到矩阵 D，求该矩阵。

10、解：Matlab 软件提供了矩阵元素群运算的功能，输入： A=5,0,3;6,2,0;7,0,1 B=2,1,3;3,0,6;4,5,-2结果为： A =5 0 36 2 07 0 1 B =2 1 33 0 64 5 -2（1）输入： C=A.*B % 在运算符号前加“.” ，其含义即为矩阵元素的群运算 结果为： C =10 0 918 0 028 0 -2（2）输入： D=A.2 % 在运算符号前加“.” ，其含义即为矩阵元素的群运算 结果为： D =25 0 936 4 049 0 11.4 实验习题1利用函数 rand 和函数 round 构造一个 55 的随机正整数矩阵 A 和 B，

11、验证以下等式是 否成立：（1）；（2）；（3）BAAB 22BABABATTTABAB72已知向量，请计算它们的内积。要求：43210107（1）用矩阵相乘命令计算；（2）用矩阵元素群运算的方法计算。3已知，用求逆矩阵和矩阵右除两种方法求矩阵 X。 0152095038125231135 X4、已知，其中，用求逆矩阵和矩阵左除两种方法求矩阵ABBA 200012021 BA。5、已知，求，。 4321532154215431543254321A5A1A8实验 2 行列式与方程组的求解2.1 实验目的1.掌握 Matlab 软件求行列式的命令； 2.掌握 Matlab 软件求矩阵秩的命令； 3.

12、掌握 Matlab 软件对矩阵进行初等行变换的命令； 4.掌握 Matlab 软件求解满秩线性方程组的各种方法； 5.掌握 Matlab 软件符号变量的应用； 6.通过 Matlab 软件验证与行列式相关的各种公式和定理，从而加深对相关概念的理解。2.2 实验指导本实验利用 MATLAB 软件来计算与行列式相关的各种运算问题，其中包括：行列式 的求解、矩阵秩的求解、矩阵逆的求解、利用克莱姆法则解方程组、验证行列式按行（列） 展开定理及符号变量在行列式中的应用等。 MATLAB 软件不仅拥有简单明了的命令窗口，而且也提供了程序编辑器。在实验 1 图 1.1 所示的 MATLAB 操作界面中，点击

13、左上方的小按钮，即可打开 MATLAB 的 M 文 件编辑器窗口，如图 2.1 所示，在这个窗口中可以编写扩展名为 M 的文件。图 2.1 MATLAB 的 M 文件编辑器表 2.1 给出了与本实验相关的 MATLAB 命令或函数。表 2.1 与本实验相关的 MATLAB 命令或函数命令功能说明位置A=.;在赋值语句后，若有一个分号“; ” ，它的含义是不在窗口中显示矩阵A。例 2.1U=rref(A)对矩阵 A 进行初等行变换，矩阵 U 为矩阵 A 的最简行阶梯矩阵。例 2.1clear清除工作空间中的各种变量，往往写在一个程序最前。例 2.1n=input()数据输入函数，单引号内的字符串

14、起说明作用。例 2.1ifelseifend条件语句，控制程序流程，和 C 语言功能类似。例 2.1m,n=size(A)计算结果为一个二维行向量，m,n 分别存放矩阵 A 的行数和列数。例 2.19=关系运算符号：等于例 2.1=关系运算符号：不等于例 2.1|逻辑运算符号：逻辑或例 2.1disp(.)显示单引号中的字符串例 2.1det(A)计算矩阵 A 的行列式例 2.1B(:,i)=b把向量 b 赋给矩阵 B 的第 i 列，要求矩阵 B 的列向量和向量 b 同形。例 2.1A,eye(5)创建一个 510 的矩阵，前 5 列为矩阵 A，后 5 列为单位矩阵 I例 2.2B(:,1:5

15、)取矩阵 B 的第 1 列至第 5 列例 2.2rank(A)计算矩阵 A 的秩例 2.2forendfor 循环语句，控制程序流程，和 C 语言功能类似。例 2.2T(1,:)=把一个空行赋给矩阵 T 的第 1 行，即：删除矩阵 T 的第一行。例 2.2A(i,j)引用矩阵 A 中第 i 行第 j 列的元素例 2.2format short以短格式显示例 2.2format long以长格式显示例 2.2syms x定义 x 为符号变量例 2.3factor(D) 对符号变量多项式 D 进行因式分解例 2.3solve(D)求符号变量多项式方程 D0 的解例 2.3randn(m,n)创建

16、mn 阶均值为 0，方差为 1 的标准正态分布的随机矩阵例 2.42.3 实验内容例 2.1 已知非齐次线性方程组：，要求用下列方法851035372227772902116115359131073280543265432154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx求解该方程组。 （1）求逆矩阵法； （2）矩阵左除法； （3）初等行变换； （4）克莱姆法则。 解：（1）把齐次线性方程组写为矩阵形式：，则，直接在 MATLAB 的bAx bAx1命令窗口输入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,

17、7,7,2;7,3,-5,3,10; % 赋值语句最后的分号“;” ，表示不在窗口中显示矩阵 A b=80;59;90;22;85; x=inv(A)*b %或：x=A-1*b 计算结果为： x =9.00003.0000102.00001.00002.0000（2）矩阵的乘法不遵守乘法交换律，Matlab 软件定义了矩阵左除和矩阵右除运算，针对方程组的矩阵形式，等式两端同时左除 A，得到：“” 。在 MATLAB 命bAx bAx 令窗口中输入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90

18、;22;85; x=Ab % 符号“”即为左除运算，注意它的方向。 结果为： x =9.00003.00002.00001.0000 2.0000（3）用初等行变换，把方程组的增广矩阵变换为最简行阶梯形式，从而得到方程组的解。 在 MATLAB 命令窗口中输入： A=6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10; b=80;59;90;22;85; U=rref(A,b) % 对增广矩阵A,b进行行初等变换 % 矩阵 U 为矩阵 A 的最简行阶梯形矩阵 运算结果为： U =1 0 0 0 0 90 1 0 0 0 30

19、0 1 0 0 20 0 0 1 0 10 0 0 0 1 2矩阵 U 即为方程组增广矩阵的最简行阶梯形矩阵，矩阵的最后一列即为方程组的解。（4）根据克莱姆法则，有：，其中是方程组的系数行列式，是用常数列向DDxi iDiD量 b 代替系数行列式的第 i 列所得到的行列式。用 Matlab 的 M 文件编辑器，编写 la01.m 文件如下： % 用克莱姆法则求解方程组 clear % 清除变量 n=input(方程个数 n) % 请用户输入方程个数 A=input(系数矩阵 A=) % 请用户输入方程组的系数矩阵 b=input(常数列向量 b=) % 请用户输入常数列向量 if (size(

20、A)=n,n) | (size(b)=n,1)% 判断矩阵 A 和向量 b 输入格式是否正确 disp(输入不正确,要求 A 是 n 阶方阵，b 是 n 维列向量)% disp：显示字符串11elseif det(A)=0 % 判断系数行列式是否为零disp(系数行列式为零，不能用克莱姆法则解此方程。) elsefor i=1:n % 计算 x1,x2,.xnB=A; % 构造与 A 相等的矩阵 BB(:,i)=b; % 用列向量 b 替代矩阵 B 中的第 i 列x(i)=det(B)/det(A); % 根据克莱姆法则计算 x1,x2,.xnendx=x % 以列向量形式显示方程组的解 en

21、d在 MATLAB 命令窗口中输入： la01得到以下人机对话结果： 方程个数 n5 n =5系数矩阵 A= 6,2,3,4,5;2,-3,7,10,13;3,5,11,-16,21;2,-7,7,7,2;7,3,-5,3,10 A =6 2 3 4 52 -3 7 10 133 5 11 -16 212 -7 7 7 27 3 -5 3 10常数列向量 b=80;59;90;22;85 b =8059902285 x =93212显然，当方程组的系数矩阵不是方阵，或系数行列式等于零时，逆矩阵法和克莱姆法 都不能实现方程组的求解，而初等行变换的方法适合各种线性方程组的求解，在下一个实 验中将继

22、续讨论 rref 命令的详细应用。关于矩阵的左除运算，有着多种的含义，在实验 3 和实验 5 中将逐步讨论它的其它功能。12例 2.2 求矩阵的逆，要求用以下方法：411183073920325911311363164627A（1）矩阵左除和右除运算； （2）初等行变换；（3）利用伴随矩阵求逆的公式。*AAAA* 1解：在实验 1 中，已经介绍了两种求矩阵逆的方法：一种是命令法：inv（A） ，一种是幂运 算法：A-1。下面分别给出求逆矩阵的其它方法。 （1）Matlab 软件定义了矩阵的左除运算和右除运算，给矩阵运算带来了很大的方便。从公式出发，等式两边同时右除矩阵，得“” ，从而求得矩阵

23、A 的IAA1AAIA/1逆阵；若从公式出发，等式两边同时左除矩阵，得“” ，同样可以求得矩IAA1AIAA1阵 A 的逆阵。需要注意的是，左除和右除不仅是矩阵的左右位置不同，其运算符号也是不 同的。 （2）用笔来计算一个具体 n 阶方阵 A 的逆阵时，往往采用初等行变换法，即：是把 n 阶矩阵和 n 阶单位矩阵并排放在一起，然后对 n2n 矩阵做初等行变换，当其变AIIA|为最简行阶梯矩阵时，如果该矩阵的前 n 列为单位矩阵，则该矩阵的后 n 列就是矩阵I的逆矩阵；如果该矩阵的前 n 列不是单位矩阵，则矩阵不可逆。A1AIA（3）根据，可以得到求逆矩阵公式：，其中为矩阵 AIAAAAA* A

24、AA* 1*A的伴随矩阵。 在 MATLAB 的 M 文件编辑器中，编写程序 la02.m： % 逆矩阵各种求法： clear A=-7,-2,-6,4,6;1,3,-6,3,11;3,-11,9,5,-2;-3,0,-2,9,-3;7,30,- 18,11,4;% 1.命令法： An1=inv(A)% 2.幂运算法： An2=A-1% 3.右除法： An3=eye(5)/A % eye(5)为 5 阶单位矩阵 % 4.左除法： An4=Aeye(5)% 5.初等行变换法：13B=rref(A,eye(5); % 对矩阵A , I 进行初等行变换 % B 为矩阵 A 的最简行阶梯矩阵 if(r

25、ank(B(:,1:5)=5) % 判断最简行阶梯矩阵 B 的前 5 列是否为单位 阵 An5=B(:,6:10) % 取出矩阵的后 5 列，并显示 elsedisp(A 不可逆); end% 6.伴随矩阵求逆法： for i=1:5 % 构造伴随矩阵的 55 个元素for j=1:5T=A; % 把矩阵 A 赋给矩阵 TT(i,:)=; % 删去矩阵 T 的第 i 行T(:,j)=; % 删去矩阵 T 的第 j 列% 此时，|T| 为矩阵 A 元素 aij 的余子式AA(j,i)=(-1)(i+j)*det(T); % 算出 aij 的代数余子式 % 并放入矩阵 AA 的第 j 行、第 i

26、列 % 当循环结束，矩阵 AA 即为 A 的伴随矩阵end end if det(A)=0 An6=AA/det(A) elsedisp(A 不可逆); end运算程序 la02，前四个方法计算结果相同：1.0e+004 *-1.5895 1.3448 -1.0646 1.6206 -0.63081.6298 -1.3789 1.0916 -1.6617 0.64682.5392 -2.1483 1.7007 -2.5889 1.00770.3631 -0.3072 0.2432 -0.3702 0.14410.9860 -0.8342 0.6604 -1.0053 0.3913后两个方法计算

27、结果相同：-15895 13448 -10646 16206 -630816298 -13789 10916 -16617 646825392 -21483 17007 -25889 100773631 -3072 2432 -3702 14419860 -8342 6604 -10053 3913从计算结果可以发现，前四个方法得到的是实数矩阵，而后两个方法得到的是整数矩 阵。如果在 Matlab 环境下，键入：format long（以上结果是在 format short 格式下得到的） ， 然后再重新运行该程序，会发现前四个方法的运算结果存在误差，这是计算机做数值运算 时，存在舍入误差的原

28、因。为了进一步观察计算机做数值运算所产生的误差，现在用上述14六种方法来计算矩阵的逆，前四种方法得到以下类似结果： 131211101010321 AWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 2.135044e-018. ans =1.0e+015 *-4.5036 -4.5036 4.50369.0072 9.0072 -9.0072-4.5036 -4.5036 4.5036显然此结果是不正确的，因为 A 不可逆。例 2.3 解方程：。02317231512

29、23112322 xx解：Matlab 软件定义了“符号变量”的概念。在 MATLAB 的 M 文件编辑器中，应用“符 号变量”编写程序 la03.m： % 求解符号行列式方程 clear all % 清除各种变量 syms x % 定义 x 为符号变量 A=3,2,1,1;3,2,2-x2,1;5,1,3,2;7-x2,1,3,2 % 给矩阵 A 赋值 D=det(A) % 计算含符号变量矩阵 A 的行列式 D f=factor(D) % 对行列式 D 进行因式分解% 从因式分解的结果，可以看出方程的 解 X=solve(D) % 求方程“D0”的解 在 MATLAB 的命令窗口输入： la

30、03运行结果为： A = 3, 2, 1, 1 3, 2, 2-x2, 1 5, 1, 3, 2 7-x2, 1, 3, 2 D = -6+9*x2-3*x4 f = -3*(x-1)*(x+1)*(x2-2) X = 1 -115 2(1/2) -2(1/2)向量 x 即为方程的解，MATLAB 针对符号变量可以得出解析解。例 2.4 请用 Matlab 软件验证行列式按行（列）展开公式：nkjkikjijiAAa1,0, 当当解：用 Matlab 程序构造了一个 5 阶随机数方阵 A。首先，按第一行展开：，验证 s 是否与 A 的行列式相等；其次，计算 A 的第一151512121111A

31、aAaAas行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和：，验351532123111AaAaAas算是否为 0。在 MATLAB 的 M 文件编辑器中，编写程序 la04.m：s % 验证行列式按行（列）展开公式 clearA=round(10*randn(5); % 构造 5 阶随机数方阵 D=det(A); % 计算矩阵 A 的行列式 % 矩阵 A 按第一行元素展开：s=a11*A11+a12*A12+a15*A15 s=0; for i=1:5T=A;T(1,:)=; % 删去阵矩第 1 行T(:,i)=; % 删去矩阵第 i 列% 此时，|T| 为矩阵 A 元素 a1i 的余子式s=s

32、+A(1,i)*(-1)(1+i)*det(T); ende=D-s % 验算 D 与 s 是否相等 在 MATLAB 的命令窗口中输入： la04计算结果为： e =0在 MATLAB 的 M 文件编辑器中，编写程序 la05.m： % 计算 5 阶方阵 A 的第一行元素与第三行元素对应的代数余子式乘积之和： % s=a11*A31+a12*A32+a15*A35 clearA=round(10*randn(5); % 构造 5 阶随机数方阵 s=0; for i=1:5T=A;T(3,:)=; % 删去矩阵第 3 行T(:,i)=; % 删去矩阵第 i 列% 此时，|T| 为矩阵 A 元素

33、 a3i 的余子式s=s+A(1,i)*(-1)(3+i)*det(T); end16s % 验算 s 是否为 0 在 MATLAB 命令窗口中输入： la05计算结果为： s =02.4 实验习题1利用函数 randn 和函数 round 构造一个 66 的随机整数矩阵 A，验证矩阵 A 的行列式 满足下列性质：（1），验证；TAB AB （2）把矩阵 A 的第二行和第五行进行对调后的矩阵为 B，验证AB（3）把矩阵 A 的第三列加到第一列后的矩阵为 B，验证AB 2构造 5 阶方阵，验证公式：，其中为矩阵的伴随矩阵，AIAAAAA*AA为同阶单位阵。I3. 求解非齐次线性方程组。12010

34、9956007421292954114146221047141413235432154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx4求下列矩阵的逆：（1） （2）931154161420221171351126112176552016101011010120007111230615351821071355求下列含符号变量的行列式，并要求把结果因式分解。（1）；（2）；（3）aaaaaaaaa110001100011000110001abbbabaaaababbba444422221111dcbadcbadcba17实验 3 向量组的相关性及方程组的通解

35、3.1 实验目的1.掌握 Matlab 软件分析向量组线性相关性的方法； 2.掌握 Matlab 软件求解线性方程组通解的各种方法； 3.通过 Matlab 软件进一步理解和认识齐次线性方程组解空间的概念。3.2 实验指导本实验利用 MATLAB 软件来分析向量组的线性相关性；向量的线性表示；齐次线性 方程组的通解及非齐次线性方程组的通解。 表 3.1 给出了与本实验相关的 MATLAB 命令或函数。表 3.1 与本实验相关的 MATLAB 命令或函数命令功能说明位置R,s=rref(A)把矩阵 A 的最简行阶梯矩阵赋给 R；s 是一个行向量，它的元素由 R 的基准元素所在的列号构成。例 3.

36、1length(s)计算向量 s 的长度，即向量 s 的维数。例 3.1end矩阵的最大下标，即：最后一行或最后一列。例 3.1null(A,r)计算齐次线性方程组 Ax0 的基础解系例 3.1x0=Ab求非齐次线性方程组 Axb 的一个特解 x0例 3.1fprintf按指定格式写文件，和 C 语言功能类似。例 3.2find(s)计算向量 s 中非零元素的下标例 3.2subs(A,k,n)将 A 中的所有符号变量 k 用数值 n 来替代例 3.33.3 实验内容例 3.1 求非齐次线性方程组的通解。 43192522319646372362632164425432154321543215

37、4321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：在 MATLAB 命令窗口，输入以下命令： A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;% 输入系数矩阵 A b=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量 b R,s=rref(A,b) % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给 R% 而 R 的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量 s 计算结果为： R =1 2 0 2 9 30 0 1 0 2 80 0 0 0 0 0180 0 0 0 0 0 s =1 3在得出该方程组增广矩阵的最简行阶梯矩阵 R 后，根据线性代数知识可以得到该

38、齐次 线性方程组的通解。下面，在 MATLAB 的 M 文件编辑器中，编写程序 la06.m，可以给出 该方程组的一个具体特解和对应齐次方程组的通解。 % 求齐次线性方程组的通解 clear A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19;% 输入系数矩阵 A b=-2;7;-23;43; % 输入常数列向量 b R,s=rref(A,b); % 把增广矩阵的最简行阶梯矩阵赋给 R% 而 R 的所有基准元素在矩阵中的列号构成了行向量 s m,n=size(A); % 矩阵 A 的行数、列数赋给了变量 m、n x0=zeros(n,1);

39、% 将特解 x0 初始化为 N 维零列向量 r=length(s); % 矩阵 A 的秩赋给变量 r x0(s,:)=R(1:r,end); % 将矩阵 R 的最后一列按基准元素的位置给特解 x0 赋 值 disp(非齐次线性方程组的特解为：) x0 % 显示特解 x0 disp(对应齐次线性方程组的基础解系为：) x=null(A,r) % 得到齐次线性方程组 Ax0 的基础解系 x 在 MATLAB 命令窗口中输入： la06运算结果为： 非齐次线性方程组的特解为： x0 =30800对应齐次线性方程组的基础解系为： x =-2 -2 -91 0 00 0 -20 1 00 0 119则方

40、程组的通解为：00803102090100200012321kkk此计算方法和与传统的笔算方法一致，所以其结果也是一致的。齐次线性方程组的特 解还可以用 Matlab 的矩阵左除运算来求得，直接在 MATLAB 命令窗口输入以下命令： A=2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19; b=-2;7;-23;43; x0=Ab % 用矩阵左除运算求得方程组特解 x0 x=null(A,r) % 得到齐次线性方程组 Ax0 的基础解系 x 运算结果为： Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 4.309