矩阵的概念及其基本运算(完整版)实用资料.doc

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1、矩阵的概念及其基本运算（完整版）实用资料(可以直接使用，可编辑 完整版实用资料，欢迎下载）第二讲 矩 阵一、矩阵的概念及其基本运算1. 矩阵及其表示 基本矩阵: 行矩阵 列矩阵 零矩阵 负矩阵 方阵 特殊矩阵: 可交换矩阵 例如: 数量矩阵与任何同阶方阵都是可交换矩阵, 即秩1矩阵 例如: 不为零的行矩阵和列矩阵 , 其中2. 基本运算及其运算规律相等 (交换律） (传递律）加法 (交换律）(结合律) (零矩阵的作用)数乘法 （分配律）乘法 （其中）（结合律）（结合律）（左分配律）（右分配律）（单位矩阵的乘法作用） (零矩阵的乘法作用)矩阵的转置 * 相等与加法运算的条件* 乘法运算的条件*

2、乘法没有交换律 (例2.3, 例2.4, 例2.5)消去律 (例2.7)幂零律 (例如: )3. 矩阵应用用矩阵表示线性变换 用矩阵表示线性方程组 二、逆矩阵1. 方阵行列式及其性质方阵行列式 运算性质 2. 伴随矩阵及其性质伴随矩阵 运算性质 3. 逆矩阵及其性质若存在矩阵, 使得, 则称矩阵可逆, 称为的逆, 并记.性质: 1)逆矩阵唯一.2)若是同阶可逆矩阵, 则也是可逆矩阵, 且.3)矩阵可逆的充要条件是.且当时, .4)若可逆,数, 则都可逆, 且5)若可逆, 则4. 判定矩阵可逆的几个条件(1)矩阵可逆的充要条件是.(2)矩阵可逆的充要条件是, 存在矩阵, 使得.5. 逆矩阵的计算

3、方法(1)伴随矩阵法 当时, .(2)初等变换法 三、初等变换初等变换 P39初等矩阵 对单位矩阵实施一次初等变换后的矩阵 P39初等矩阵有三种类型 初等矩阵是可逆矩阵 初等矩阵的逆矩阵分别为初等变换的性质:定理1(P41 定理2.7) （） （） （）定理2(P44 定理2.10) 任何矩阵都与形如的矩阵等价（其中由唯一决定）. 称为矩阵的等价标准形.推论（P44 定理2.12） 对于任意矩阵, 一定存在可逆矩阵, 使得.推论（P44 定理2.11） 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵, 即可逆矩阵等于初等矩阵之积.6. 逆矩阵应用利用逆矩阵解线性方程组 利用逆矩阵求逆线性变换 四、分块矩阵分块

4、对角阵 , 其中是方阵分块对角阵的性质:(1) ;(2) 若, 则.五、习题解答1. P49 8.提示: 2. P49 10.提示: 是第一种初等矩阵, 其逆是自己. 由定理2.7易得.3. P49 11.提示: 4. P50 13.提示: 5. P49 12.提示: 运用P50 13.的结果：.6. P50 16.提示: 7. P50 17.提示: 设, 则,是实数矩阵. 产生矛盾, 故.8. P50 18. 证明: 可逆, 并求其逆.提示: 方法一 验证法方法二 构造法假设可逆, 是其逆, 则, 于是因此, 可逆, 且.9. P50 19. 证明: 可逆, 并求其逆.提示: 方法一 验证法

5、方法二 构造法假设可逆, 是其逆, 则, 于是因此, 可逆, 且.10. P50 22.结论: 与对角阵可交换的矩阵一定是对角阵.11. P50 4结论: 上（下）三角矩阵的积是上（下）三角矩阵；对角矩阵的积是对角矩阵.12. P51 5.提示: (1)一方面 另一方面 (2) 13. P51 6.提示: 六、知识扩展1. 已知, 设, 求.提示: 2. 设矩阵, 为2阶单位矩阵, 矩阵满足, 求. （2006 数四）提示: 3. 设, 而为正整数, 求. （1999 数三 四） (答案: )（可试着推测结果）提示:4. 设, , 其中为三阶可逆矩阵, 求. (2004 数四)提示: 5. 设

6、均为阶矩阵, 若, 求. （2005 数四）提示: 6. 设均为阶矩阵, , 求. （1998 数四） (答案: )提示: .7. 设矩阵, 求. （2002 数四）提示: 方法一 先求出, 再计算方法二 由8. 设是任一阶方阵, 为常数, 求. （1998 数二）提示: 方法一 因为的余子式, 故.方法二 加强条件法 如果是选择题, 可设可逆, , 则.9. 已知阶矩阵满足,证明: 可逆, 并求其逆. 若, 求. （2000 数二）提示: 方法一 ,故可逆, 且.方法二 ,故可逆, 且.10. 已知矩阵满足, 证明矩阵可逆. 若, 求矩阵. （2000数二）提示: 由故可逆. 且11. 设矩

7、阵满足 求矩阵. （1999 数二）提示: 由12. 设矩阵的伴随矩阵, 且 求矩阵. (2000 数一)提示: 13. 矩阵满足, 矩阵, 求. （2001数二）14. 已知阶矩阵满足条件, 求. (若) (1999 数四）提示: 由15. 设矩阵满足关系式, 求矩阵. (若, 求) （1987 数三 四）16. 设矩阵满足, 求.(若, 求) （1998 数三 四）提示: 方法一,方法二 若已知, 则必是可逆矩阵（方法一）, 则17. 设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 求满足的可逆矩阵. （2004 数一）提示: 因为, 所以.18. 设为3阶矩阵,

8、将第2行加到第1行得, 再将的第1列的-1倍加到第2列得到, 记, 则（A）; (B); (C); (D). （2006 数一）(答案: B)提示: 19. 设, 试给出间的关系式. 并证明同时可逆或同时不可逆.提示: 20. 设为阶可逆矩阵, 交换的第1行与第2行得矩阵, 分别为的伴随矩阵, 证明: 交换的第1列与第2列得矩阵. （2005 数一 二）第1章 矩阵及其基本运算MATLAB，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本书从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB的命令及其用法。1.1 矩阵的表示 数值矩阵的生成1实数值矩阵输入MATLAB的强大功能之一体现在能直接处理向量

9、或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（ ）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： Time = 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Time =11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X_Data = 2.32 3.43；4.37 5.98X_Data =2.43 3.434.37 5.98 vect_a = 1 2 3 4 5vect_a

10、=1 2 3 4 5 Matrix_B = 1 2 3； 2 3 4；3 4 5Matrix_B = 1 2 32 3 43 4 5 Null_M = %生成一个空矩阵2复数矩阵输入复数矩阵有两种生成方式：第一种方式例1-1 a=2.7;b=13/25; C=1,2*a+i*b,b*sqrt(a); sin(pi/4),a+5*b,3.5+1C= 1.0000 5.4000 + 0.5200i 0.8544 0.7071 5.3000 4.5000 第2种方式例1-2 R=1 2 3;4 5 6, M=11 12 13;14 15 16R = 1 2 3 4 5 6M = 11 12 13 1

11、4 15 16 CN=R+i*MCN = 1.0000 +11.0000i 2.0000 +12.0000i 3.0000 +13.0000i 4.0000 +14.0000i 5.0000 +15.0000i 6.0000 +16.0000i1.1.2 符号矩阵的生成在MATLAB中输入符号向量或者矩阵的方法和输入数值类型的向量或者矩阵在形式上很相像，只不过要用到符号矩阵定义函数sym，或者是用到符号定义函数syms，先定义一些必要的符号变量，再像定义普通矩阵一样输入符号矩阵。1用命令sym定义矩阵：这时的函数sym实际是在定义一个符号表达式，这时的符号矩阵中的元素可以是任何的符号或者是表达

12、式，而且长度没有限制，只是将方括号置于用于创建符号表达式的单引号中。如下例：例1-3 sym_matrix = sym（a b c；Jack，Help Me!，NO WAY!，）sym_matrix =a b cJack Help Me! NO WAY! sym_digits = sym（1 2 3；a b c；sin（x）cos（y）tan（z）sym_digits =1 2 3a b csin（x）cos（y）tan（z）2用命令syms定义矩阵先定义矩阵中的每一个元素为一个符号变量，而后像普通矩阵一样输入符号矩阵。例1-4 syms a b c ； M1 = sym（Classical）

13、； M2 = sym（ Jazz）； M3 = sym（Blues） syms_matrix = a b c； M1， M2， M3；int2str（2 3 5）syms_matrix = a b cClassical Jazz Blues 2 3 5把数值矩阵转化成相应的符号矩阵。数值型和符号型在MATLAB中是不相同的，它们之间不能直接进行转化。MATLAB提供了一个将数值型转化成符号型的命令，即sym。例1-5 Digit_Matrix = 1/3 sqrt（2） 3.4234；exp（0.23） log（29） 23（-11.23） Syms_Matrix = sym（Digit_Ma

14、trix）结果是：Digit_Matrix =0.3333 1.4142 3.42341.2586 3.3673 0.0000Syms_Matrix = 1/3， sqrt（2）， 17117/5000注意：矩阵是用分数形式还是浮点形式表示的，将矩阵转化成符号矩阵后，都将以最接近原值的有理数形式表示或者是函数形式表示。 大矩阵的生成对于大型矩阵，一般创建M文件，以便于修改：例1-6 用M文件创建大矩阵，文件名为example.mexm= 456 468 873 2 579 5521 687 54 488 8 1365 4567 88 98 21 5456 68 4589 654 5 987 5

15、488 10 9 6 33 77在MATLAB窗口输入：example;size(exm) %显示exm的大小ans= 5 6 %表示exm有5行6列。1.1.4 多维数组的创建函数 cat格式 A=cat(n,A1,A2,Am)说明 n=1和n=2时分别构造A1；A2和A1，A2，都是二维数组，而n=3时可以构造出三维数组。例1-7 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A4=cat(3,A1,A2,A3)A4(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9A4(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A4(:,:,3) = 0 -2 -

16、4 2 0 -2 4 2 0或用另一种原始方式可以定义：例1-8 A1=1,2,3;4,5,6;7,8,9;A2=A1;A3=A1-A2; A5(:,:,1)=A1, A5(:,:,2)=A2, A5(:,:,3)=A3A5(:,:,1) = 1 2 3 4 5 6 7 8 9A5(:,:,2) = 1 4 7 2 5 8 3 6 9A5(:,:,3) = 0 -2 -4 2 0 -2 4 2 01.1.5 特殊矩阵的生成命令 全零阵函数 zeros格式 B = zeros(n) %生成nn全零阵B = zeros(m,n) %生成mn全零阵B = zeros(m n) %生成mn全零阵B =

17、 zeros(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全零阵或数组B = zeros(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全零阵或数组B = zeros(size(A) %生成与矩阵A相同大小的全零阵命令 单位阵函数 eye格式 Y = eye(n) %生成nn单位阵Y = eye(m,n) %生成mn单位阵Y = eye(size(A) %生成与矩阵A相同大小的单位阵命令 全1阵函数 ones格式 Y = ones(n) %生成nn全1阵Y = ones(m,n) %生成mn全1阵Y = ones(m n) %生成mn全1阵Y = ones(d1,d2,d3) %生成d1d2d3全1阵或数组

18、Y = ones(d1 d2 d3) %生成d1d2d3全1阵或数组Y = ones(size(A) %生成与矩阵A相同大小的全1阵命令 均匀分布随机矩阵函数 rand 格式 Y = rand(n) %生成nn随机矩阵，其元素在（0，1）内Y = rand(m,n) %生成mn随机矩阵Y = rand(m n) %生成mn随机矩阵Y = rand(m,n,p,) %生成mnp随机矩阵或数组Y = rand(m n p) %生成mnp随机矩阵或数组Y = rand(size(A) %生成与矩阵A相同大小的随机矩阵rand %无变量输入时只产生一个随机数s = rand(state) %产生包括均

19、匀发生器当前状态的35个元素的向量rand(state, s) %使状态重置为srand(state, 0) %重置发生器到初始状态rand(state, j) %对整数j重置发生器到第j个状态rand(state, sum (100*clock) %每次重置到不同状态例1-9 产生一个34随机矩阵 R=rand(3,4)R = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919例1-10 产生一个在区间10, 20内均匀分布的4阶随机矩阵 a=10;b=20; x=a+(b-a

20、)*rand(4)x = 19.2181 19.3547 10.5789 11.3889 17.3821 19.1690 13.5287 12.0277 11.7627 14.1027 18.1317 11.9872 14.0571 18.9365 10.0986 16.0379命令 正态分布随机矩阵函数 randn格式 Y = randn(n) %生成nn正态分布随机矩阵Y = randn(m,n) %生成mn正态分布随机矩阵Y = randn(m n) %生成mn正态分布随机矩阵Y = randn(m,n,p,) %生成mnp正态分布随机矩阵或数组Y = randn(m n p) %生成m

21、np正态分布随机矩阵或数组Y = randn(size(A) %生成与矩阵A相同大小的正态分布随机矩阵randn %无变量输入时只产生一个正态分布随机数s = randn(state) %产生包括正态发生器当前状态的2个元素的向量s = randn(state, s) %重置状态为ss = randn(state, 0) %重置发生器为初始状态s = randn(state, j) %对于整数j重置状态到第j状态s = randn(state, sum(100*clock) %每次重置到不同状态例1-11 产生均值为0.6，方差为0.1的4阶矩阵 mu=0.6; sigma=0.1; x=mu

22、+sqrt(sigma)*randn(4)x = 0.8311 0.7799 0.1335 1.0565 0.7827 0.5192 0.5260 0.4890 0.6127 0.4806 0.6375 0.7971 0.8141 0.5064 0.6996 0.8527命令 产生随机排列函数 randperm格式 p = randperm(n) %产生1n之间整数的随机排列例1-12 randperm(6)ans = 3 2 1 5 4 6命令 产生线性等分向量函数 linspace格式 y = linspace(a,b) %在(a, b)上产生100个线性等分点y = linspace(a

23、,b,n) %在(a, b)上产生n个线性等分点命令 产生对数等分向量函数 logspace格式 y = logspace(a,b) %在（ ）之间产生50个对数等分向量y = logspace(a,b,n)y = logspace(a,pi)命令 计算矩阵中元素个数n = numel(a) %返回矩阵A的元素的个数命令 产生以输入元素为对角线元素的矩阵函数 blkdiag格式 out = blkdiag(a,b,c,d,) %产生以a,b,c,d,为对角线元素的矩阵例1-13 out = blkdiag(1,2,3,4)out = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0

24、4命令 友矩阵函数 compan格式 A = compan(u) %u为多项式系统向量，A为友矩阵，A的第1行元素为 -u (2:n)/u(1)，其中u (2:n)为u的第2到第n个元素，A为特征值就是多项式的特征根。例1-14 求多项式 的友矩阵和根 u=1 0 -7 6; A=compan(u) %求多项式的友矩阵A = 0 7 -6 1 0 0 0 1 0 eig(A) %A的特征值就是多项式的根ans = -3.0000 2.0000 1.0000命令 hadamard矩阵函数 hadamard 格式 H = hadamard(n) %返回n阶hadamard矩阵例1-15 h=had

25、amard(4)h = 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1命令 Hankel方阵函数 hankel格式 H = hankel(c) %第1列元素为c，反三角以下元素为0。H = hankel(c,r) %第1列元素为c，最后一行元素为r，如果c的最后一个元素与r的第一个元素不同，交叉位置元素取为c的最后一个元素。例1-16 c=1:3,r=7:10c = 1 2 3r = 7 8 9 10 h=hankel(c,r)h = 1 2 3 8 2 3 8 9 3 8 9 10命令 Hilbert矩阵函数 hilb格式 H = hilb(n) %返回n阶Hil

26、bert矩阵，其元素为H(i,j)=1/(i+j-1)。例1-17 产生一个3阶Hilbert矩阵 format rat %以有理形式输出 H=hilb(3)H = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 命令 逆Hilbert矩阵函数 invhilb格式 H = invhilb(n) %产生n阶逆Hilbert矩阵命令 Magic(魔方)矩阵函数 magic格式 M = magic(n) %产生n 阶魔方矩阵例1-18 M=magic(3)M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 命令 Pascal矩阵函数 pascal格式 A = pascal(n) %产生n

27、阶Pascal矩阵，它是对称、正定矩阵，它的元素由Pascal三角组成，它的逆矩阵的所有元素都是整数。A = pascal(n,1) %返回由下三角的Cholesky系数组成的Pascal矩阵A = pascal(n,2) %返回Pascal(n,1)的转置和交换的形式例1-19 A=pascal(4)A = 1 1 1 1 1 2 3 4 1 3 6 10 1 4 10 20 A=pascal(3,1)A = 1 0 0 1 -1 0 1 -2 1 A=pascal(3,2)A = 1 1 1 -2 -1 0 1 0 0 命令 托普利兹矩阵函数 toeplitz格式 T = toeplitz

28、(c,r) %生成一个非对称的托普利兹矩阵，将c作为第1列，将r作为第1 行，其余元素与左上角相邻元素相等。T = toeplitz(r) %用向量r生成一个对称的托普利兹矩阵例1-20 c=1 2 3 4 5; r=1.5 2.5 3.5 4.5 5.5; T=toeplitz(c,r)T = 1 5/2 7/2 9/2 11/2 2 1 5/2 7/2 9/2 3 2 1 5/2 7/2 4 3 2 1 5/2 5 4 3 2 1 命令 Wilkinson特征值测试阵函数 wilkinson格式 W = wilkinson(n) %返回n阶Wilkinson特征值测试阵例1-21 W=wi

29、lkinson(4)W = 3/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 1/2 1 0 0 1 3/2 W=wilkinson(7)W = 3 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 3 1.2 矩阵运算 加、减运算运算符：“”和“”分别为加、减运算符。运算规则：对应元素相加、减，即按线性代数中矩阵的“十”，“一”运算进行。例1-22 A=1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 6B=8, 1, 6; 3, 5, 7; 4, 9, 2A

30、B=A+BA-=A-B结果显示：A+B=9 2 74 7 105 12 8AB=-7 0 -5-2 -3 -4-3 -6 4 乘法运算符：*运算规则：按线性代数中矩阵乘法运算进行，即放在前面的矩阵的各行元素，分别与放在后面的矩阵的各列元素对应相乘并相加。1两个矩阵相乘例1-23X= 2 3 4 5; 1 2 2 1；Y=0 1 1; 1 1 0; 0 0 1; 1 0 0；Z=X*Y结果显示为：Z= 8 5 6 3 3 3 2矩阵的数乘：数乘矩阵上例中：a=2*X则显示：a =4 6 8 102 4 4 2向量的点乘（内积）：维数相同的两个向量的点乘。数组乘法：A.*B表示A与B对应元素相乘。

31、3向量点积函数 dot格式 C = dot(A,B) %若A、B为向量，则返回向量A与B的点积，A与B长度相同；若为矩阵，则A与B有相同的维数。C = dot(A,B,dim) %在dim维数中给出A与B的点积例 X=-1 0 2；Y=-2 -1 1;Z=dot(X, Y)则显示：Z =4还可用另一种算法：sum(X.*Y)ans= 44向量叉乘在数学上，两向量的叉乘是一个过两相交向量的交点且垂直于两向量所在平面的向量。在Matlab中，用函数cross实现。函数 cross格式 C = cross(A,B) %若A、B为向量，则返回A与B的叉乘，即C=AB，A、B必须是3个元素的向量；若A、

32、B为矩阵，则返回一个3n矩阵，其中的列是A与B对应列的叉积，A、B都是3n矩阵。C = cross(A,B,dim) %在dim维数中给出向量A与B的叉积。A和B必须具有相同的维数，size(A,dim)和size(B,dim)必须是3。例1-24 计算垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量。 a=1 2 3; b=4 5 6; c=cross(a,b)结果显示： c= -3 6 -3可得垂直于向量(1, 2, 3)和(4, 5, 6)的向量为(-3, 6, -3)5混合积混合积由以上两函数实现：例1-25 计算向量a=(1, 2, 3)、b=(4, 5, 6)和c=(-3,

33、6, -3) 的混合积解：a=1 2 3; b=4 5 6; c=-3 6 -3;x=dot(a, cross(b, c)结果显示：x = 54注意：先叉乘后点乘，顺序不可颠倒。6矩阵的卷积和多项式乘法函数 conv格式 w = conv(u,v) %u、v为向量，其长度可不相同。说明 长度为m的向量序列u和长度为n的向量序列v的卷积(Convolution)定义为：式中：w向量序列的长度为(m+n-1)，当m=n时，w(1) = u(1)*v(1)w(2) = u(1)*v(2)+u(2)*v(1)w(3) = u(1)*v(3)+u(2)*v(2)+u(3)*v(1)w(n) = u(1)

34、*v(n)+u(2)*v(n-1)+ +u(n)*v(1)w(2*n-1) = u(n)*v(n)例1-26 展开多项式解： w=conv(1,2,2,conv(1,4,1,1)w = 1 7 16 18 8 P=poly2str(w,s) %将w表示成多项式P = s4 + 7 s3 + 16 s2 + 18 s + 87反褶积（解卷）和多项式除法运算函数 deconv格式 q,r = deconv(v,u) %多项式v除以多项式u，返回商多项式q和余多项式r。注意：v、u、q、r都是按降幂排列的多项式系数向量。例1-27 ，则其卷积为u = 1 2 3 4v = 10 20 30c = conv(u,v)c = 10 40 100