定积分的计算与应用.doc

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1、1学士学位论文学士学位论文定积分的计算与应用定积分的计算与应用系系 别：别： 应用数学系应用数学系 学科专业：学科专业： 数学与应用数学数学与应用数学 姓姓 名：名： 杨小洁杨小洁 学学 号：号： 2004060207 指导教师：指导教师： 刘俊俏刘俊俏 二二 OO 八年六月八年六月i定积分的计算与应用定积分的计算与应用摘要摘要 本文介绍了定积分的相关知识，全文分为三部分.第一部分介绍定积分的知识背景，古希腊的阿基米德用“穷竭法” ，刘微用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积，法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质、观点求积, 牛顿、莱布尼茨的积分概念的创立，所有这些

2、对研究定积分的实际应用意义深远.第二部分，对定积分一些基本计算方法，比如换元法、分部积分法要灵活运用，这部分总结了几类定积分的计算技巧及一个定理.第三部分展开讨论定积分的应用，例如求面积、变力做功旋转体积用等基本应用，还有在经济方面和实际生活中的应用. 正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维，才使得高等数学 主要是微积分 巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题,并且在实际中得到广泛运用.关键词关键词 定积分 计算 应用iiCalculation and Application of Definite Integral Abstract This paper presents a se

3、t of points related knowledge, the full text is divided into three parts. The first introduced integral part of the background, the ancient Greek of Archimedes “exhaustion“, Liu Weis “cutting a round “ have calculated the Geometry of the area and volume, the French mathematician Fermat, Pascal both

4、calculated the volume by use the “split summation“ infinitesimal and the views of the nature of integration, Newton, the creation of Leibniz the integral concept, all of these points of the study p scheduled in practical applications is far-reaching significance. Part II, some of the basic points of

5、 the calculation method, for example for-element method, the Division points is flexibility in the use of law,it summing up this part of the integral types of computing skills and a theorem. Part III will discuss Integration of applications, such as for size, the volume change of Work by rotating th

6、e basic application, and in the economy and applications in real life. It is precisely for the process of seeking integral contained rich dialectical thinking, that makes higher mathematics - - Mainly calculus - clever and effective solve the elementary mathematics which can not solve the problem, a

7、nd it was widely used in practice.Key words Definite integral Calculation Application目目 录录引言 .1第一章 定积分的起源史与发展 .1第二章 定积分的计算 .42.1 定积分一个特殊计算 .52.2 定积分计算中的技巧性 .62.3 应用定积分折证明一些等式.10第三章 定积分应用 .113.1 微元法.113.2 定积分基本应用.133. 3 在实际生活中的应用 .14总结 .18致谢 .18参考文献 .181引言引言定积分是数学分析中十分重要的思想方法和计算方法，通过研究定积分的计算方法和性质，如：牛

8、顿-莱布尼茨公式，有理函数和无理根式的积分，积分中值定理，换元积分法与分部积分法等，可以应用定积分解决物理，经济方面的问题.定积分所蕴含的知识内容颇多，而且杂乱琐碎，是高等数学和数学分析的重点和难点内容，但定积分的计算与应用很少有人专门做系统的研究，本论文将系统全面的利用所学知识和所查资料，对定积分的计算和应用从理论到实践，做详细、全面和系统的研究，不仅可以作为学习定积分的同学的参考资料，而且有重要的使用价值，可以为物理学中的变力做功等提供强有力的理论支持和保障，因此选择该题目不仅具有教学研究的重大理论价值，而且有重要的实践和应用价值，同时还可以提供给一些数值积分的方法，使定积分能更好的应用于

9、实际生活当中.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题，古希腊的阿基米德用“穷竭法” ，我国的刘微用“割圆术”都曾计算过一些几何体的面积和体积.对于定积分性质的研究，1997 年朝云芷写了关于积分中值定理构造证明，对于定积分应用的研究，1987 年王维宝在高师理科学刊中研究了定积分在梯形面积逆向问题中的应用等等.第一章第一章 定积分的起源史与发展定积分的起源史与发展定积分的创立是数学史上一个具有划时代意义的创举，也是人类文明的一个伟大成果。定积分发展的历史过程定积分的发展大致可以分为三个阶段:古希腊数学的准备阶段,17 世纪的创立阶段以及 19 世纪的完成阶段.见参考文献1.1.1.准备阶段准

10、备阶段2主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.古希腊数学的发展史大致分为三个时期.(1) 初期的古希腊数学并不是单独的一个分支,而是与天文、哲学密不可分的,其研究对象以几何学为主.安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题,是近代极限理论的雏形.公元前5世纪以德谟克利特为代表的“原子论”学派,用原子论的观点解释数学,他认为:线段、面积和立体都是由一些不可再分的原子构成的,而计算面积、体积就是将这些“原子”累加起来,这种不甚严格的推理方法已带有古朴的积分思想.(2) 第二个时期:古希腊的数学逐渐脱

11、离哲学和天文学,成为独立的科学,出现了三大数学家欧几里德、阿基米德和阿波罗尼奥斯.其中在公元前3世纪数学家兼物理学家阿基米德将穷竭法与原子论观点结合起来,获得了许多重要结果,利用穷竭法,借助于几何直观,求出了抛物线弓形的面积及阿基米德螺线第一周围成的区域的面积,其思想方法是分割求和,逐次逼近.积分的基本思想,是将所求的量分割成若干细小的部分,找出某种关系之后,再把这些细小的部分用便于计算的形式积累起来,最后求出未知量的值.(3) 古希腊数学的第三个时期:主要是在三角学和代数方面取得的发展,随着亚历山大城被罗马人占领,希腊数学至此告一段落. 直到14世纪末,欧洲资本主义萌芽,人们才继续了数学方面

12、的研究.整个16世纪,积分思想一直围绕着“求积问题”发展,它包括两个方面:一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了“分割求和”及无穷小的性质的观点求积,更加接近现代的求定积分的方法.可见,利用“分割求和”及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用.2 2.创立阶段创立阶段主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼茨的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼茨几乎是同时且相互独立地进入了微积分的大门.17世3纪数学的发展、笛卡儿坐标系的建立将变量引入数以及函数思想、极限思想的发展,都为牛顿、莱布尼茨对微积分的

13、进一步研究创造了条件.牛顿从1664年开始研究微积分,主要贡献反映在1671年、1676年发表的流数术与无穷级数、曲线求积术两篇论文和1687年的自然哲学之数学原理中.早期的微积分常称为“无穷小分析”, 从牛顿的“流数法”中可见一斑.“流数法”的主要思想是把连续变动的量称为“流量”,流量的微小改变称为“瞬”即“无穷小量”,将这些变量的变化率称为“流数”.用小点来表示流数,如， 表示. x. y变量，对时间的流数.他指出:曲线在某给定点处切线的斜率就xy,0f x y 是 的流数与 流数之比,从而导出对的导数就是的流数与 流数之比,即yxyxyx相当于现在的.dyy dxx在此基础上,牛顿又提出

14、了反问题: 给定表示与流数之比之间的方程,x.yx求函数,即反微分.他讨论了如何借助反微分来计算面积.这是历史上 yf x第一次以明显的形式给出了的其中表示曲线下的dAydxA yf xaxb面积,这个定理给出了计算面积方法的根据,使得计算趋于一般化、系统化.用现在的符号表示就是面积.莱布尼兹从1673年开始研究微积分问题,他baAydx在数学笔记中指出:求曲线的切线依赖于纵坐标与横坐标的差值之比(当这些差值变成无穷小时);求积依赖于在横坐标的无限小区间上纵坐标之和或无限小矩形之和,并且莱布尼茨开始认识到了求和与求差运算的可逆性,他用表示dy曲线上相邻点的纵坐标之差,把 表示为所有这些差的和,

15、明确指出:dyydy“”意味着和, 意味着差,从和差的互逆关系可知“”和的互逆关系.这dd样莱布尼茨明确指出了:作为求和过程的积分是微分之逆,实际上也就是今天的定积分.牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本方法,但是,他们留下了大量的事4情要后人去解决,首先是微积分的主要内容的扩展,其次是微积分还缺少逻辑基础.18世纪,伯努利、欧拉、拉格朗日、克雷尔、达朗贝尔、马克劳林等数学家,随着对函数和极限研究的深入,把定积分概念推广到二重积分、三重积分,也对微积分基础作了深刻的研究,并且无穷级数、微分方程、变分法等微积分分支学科也初具规模,但微积分的逻辑基础问题还没有得到圆满解决.3.3.完成阶段完成阶段19

16、世纪的前20年,微积分的逻辑基础仍然不够完善,如一般的函数概念尚未建立,微积分的许多基本概念,如无穷小、无穷大、导数、微分、积分仍无精确定义等.从19世纪20年代至19世纪末,微积分的理论基础基本完成,波尔查诺通过极限给出了函数连续的概念及导数的严格定义,柯西完全摆脱了微积分对几何和物理意义的依赖,引入了严格的分析表述和理论,形成了现代体系,他继续并发展了前人已有的积分作为微分和的思想,用极限给出了积分的定义,指出“”不能理解为一个和式,而是和式，当无限11 1nnkkk ksf xxx 1kkxx减小时,能“最终达到的某个极限值” ，这个 就是函数在区间nsss f x上的定积分.他认为人们

17、在应用定积分之前,必须首先确定积分的存在性,0,x x柯西定义了函数,证明了当在上连续时，在 0xxF xf t dt f x0,x x F x上连续、可导,且.继之柯西证明了的全部原函数彼此0,x x Fxf x f x只相差一个常数,因此,他把不定积分写成:x0,并由此推 0xxf x dxf t dtC出了牛顿-莱布尼茨公式.至此,微积分基本定理给出了 00xxf x dxF xF x严格证明和最确切的表示形式.魏尔斯特拉斯将柯西关于极限的定性描述,改成定量刻划,即“”语言.完成了分析算术化的工作.最后戴德金定义了无理数,揭示出实数的连续性,完成了微积分的基本理论工作.5第二章第二章 定

18、积分的计算定积分的计算关于定积分的计算方法，本章做了系统总结，基本方法：换元法和用含参量积分的性质计算定积分，特殊计算及应用对称性周期性计算定积分.见参考文献32.12.1 定积分一个特殊计算定积分一个特殊计算计算函数 f(x)的定积分,通常是先求出它的一个原函数,再利用牛顿莱布尼茨公式求解.然而,对于有些被积函数,要想直接求出它的原函数是比较困难的.这里介绍利用转化的思想,求满足一定条件的函数 f(x)的定积分的一种方法.定理：设函数在闭区间上连续，若存在常数和.使得 f x, a b0，则 f xf abxg x 1bbaaf x dxg x dx证明： 由 f xf abxg x可得 b

19、bbaaaf x dxf abx dxg x dx令 则，当从增到时， 从单调递减到abxtdxdt xabtba所以 babbabaaf abx dxf t dtf t dtf x dx代入原式得 bbaaf x dxg x dx即 1bbaaf x dxg x dx0例 1 求0sin sin2 sin3xxxdx 6解 因为 0f xfx=-sin sin2 sin3xxx sin sin2 sin3xxx=0所以 原式=01002dx 例 2 求2 0sin 1 cosxxdxx因为 0f xfx=22sin()sin 1 cos1 cosxxxx xx=2sin 1 cosx x 所

20、以 =2 0sin 1 cosxxdxx2 01sin 2 1 cosxdxx =2 01cos2cos1dxx=0arctan cos2x=242.22.2 定积分计算中的技巧性定积分计算中的技巧性1 1 换元法对于原函数不能用初等函数来表示的，此时利用定积分性质和换元积分法往往可以使一些积分相互抵消，最终求得这个定积分的值.见参考文献24.例 1 计算12 0ln 1 1xIdxx7解 : 令 得xtgt40ln 1Itgt dt40cossinlncosttdt t 40coscos2lncostt dtt402coscos44lncost dtt444000ln2ln coslncos

21、4dttdttdt 对于第二个积分，令，有4tu 40ln cos4tdt 40lncostdt所以 40ln2ln28Idt 我们并求出的原函数 算出了其定积分值.2ln 1 1x x 2.2.用含参量积分的性质计算定积分有些定积分，用换元法和分部积分法不易计算出来，甚至有的原函数不能用初等函数表示出来，此时可借助于含参量积分.在被积函数中引入参量积分.利用含参量积分的性质：积分号下可求导性或积分顺序可交换性计算定积分.例 2 计算12 0ln 1 1xdxx 引入参量 a 12 0ln 1 1axI adxx8于是 00I 1II； 1 / 22 0111.ln2ln 111124xaIa

22、dxaxaxa再积分得 ，从而，于是. 1 /0ln214Ia daI 21ln24I 1ln28II3.3.利用对称性计算定积分(1) 利用对称区间上的奇偶性计算定积分：如果为奇函数，则 f x；如果为偶函数，则. 0aaf x dx f x 02aaaf x dxf x dx例 1 计算 1 2221 2arcsin1xdx x解： 因为是偶函数，积分区间是对称的，所以22arcsin1xx11 2222210 2arcsin2arcsinarcsin 1xdxx dx x 3324例 2 计算 1 21ln1xxxdx解：因为 为奇函数，为偶函数，所以是奇函2ln1xxx2ln1xxx数

23、又因为积分区间对称，所以 1 21ln10xxxdx(2) 计算 ，其中非奇非偶且不易积分，则因为 aaIf x dx f x f x令 ，所以有tx 00aaf x dxfx9 00aaaaf x dxf x dxf x dx 00aa fx dxf x dx=. 0a f xfxdx如果比更易积分就可以利用此式，由此还可以推出； f xfx f x如果是奇函数，为偶函数，. f x 0aaf x dx f x 02aaaf x dxf x dx例 3 求 4141 sinIxdx解： 44412 00 4111 sin221 sin1 sincosdxIxdxIdxxxx此解法是借助于定积

24、分的直观几何意义为了借助于直观形象帮助问题的解决在缺少对称因素的情况下制造“对称性”从而将所求问题转化为另一个简单的等价问题.4.利用函数的周期性计算定积分设是周期为的连续函数，为常数，易知 f x0T T a（1），周期函数在长度等于周期的 20 2T Ta TTaf x dxf x dxf x dx f xT任意闭区间上，定积分的值相等，与区间端点的位置无关.（2）， （为整数） nTTaaf x dxnf x dxn10（3）2200sinsincoscos0xdxxdxxdxxdx正弦函数、余弦函数在周期区间上的积分等于零.(4 ) 余弦函数在半周期区间上的积分等于零.20coscos

25、xdxxdx0例 4 计算 2 426cosIxdx解： 222222440000 2996cos12 cos31 cos26 cos2cos444xdxIxdxxdxxdxxdx这是因为的半周期为，的周期为cos2x2cos4x2定积分计算的数量是无限的，而题型是有限的，只要掌握好各类题型的解法技巧，才能不变应万变，找到解题的切入点和突破口.见参考文献9.2.32.3 应用定积分折证明一些等式应用定积分折证明一些等式1. 证明不等式运用定积分来证明不等式,一般要用到定积分的如下性质:设与 f x都在上可积,且,则特别当 g x, a b f xg x bbaaf x dxg x dx时,有

26、0f x . 0bag x dx 例 已知，是实数，并且 ，其中 是自然对数的底.证明：.abeabebaab11证明：当时，要证，只要证eabbaablnlnbaab即 当时，因为，从而lnlnab abeaxb21 ln0x x2lnlnlnln1 ln0bbbaaabaxxxddxbaxxx所以当时，即.eablnlnab abbaab2 2. 根据等式的特点,作出辅助函数,直接积分,从而证明等式.证明 112 023111.2311nn nnnn nxCCCC xxxxnn证明：设. 0122.1nnn nnnnf xCC xC xC xx因为 12 02310.231xn nnnn

27、nCCCf x dx C xxxxn而 101111nx nxxdxn所以 112 023111.2311nn nnnn nxCCCC xxxxnn可得 1x 121 021.2311nn nnn nCCCCnn第三章第三章 定积分应用定积分应用3.13.1 微元法微元法定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则: 为求总量，在取极限过程中，当时，一方面使Un12积分和中的积分元素转化为总量的微分 这是 niiixf1)(iixf)(U,)(dxxfdU 对总量的否定，这次否定的结果得到

28、了的微分 这是对总量的无限项UU,dUU细分；另一方面，当时，积分和转化为对微分的无限项相n niiixf1)(dU加，这是对的否定，这一次否定的结果得到了总量，这是对的无限积dUUdU累.利用定积分解应用问题的根本方法叫做微元法，或称元素法.定积分应用问题由两个共同特点：（1）所求的总量依赖于一个变量在某个区间上Uxab，连续取值情况.（2）关于变量在上具有可加性，即如果在区间Uxab，内任入个分点，把分成小ab，1n012.inaxxxxxbab，n段，记小区间 上，的量值为.则1,iixxU1,2,.iUIn，显然当的长度无限减小时，的值也无12.NUUUU 1,iixxiUiU限减小.

29、因此，求总量的实质就是要找一个定义在上的连续函数 Uab， U x满足，.的值相当于函数的微分.整个计算 0U a U bUiU U x dU x过程包括两个步骤，先将所涉及的区间离散化，把要求的总量化整为ab，U零，即让，对每个用它的近似值代替，即在区12.NUUUU iUdU间上任意一点处构造出总量的微分.然后再积零为整，把所有ab，xU dU x的近似值加起来，既计算在区间上的定积分.简单地说，先化整为 dU xab，零后积零为整就叫做微元法，把在区间上总量转化为在上任意ab，Uab，一点处求总量的微分的思想就是微元法的原理.见参考文献7.xU dU x微元法解应用问题的关键是构造应用问

30、题的，首先应该重点处理直 dU x13角坐标系下微元的计算，然后再向极坐标和参数方程情况推广.利用直角坐标系计算微元的方法一般这样：在积分变量的定义区间上取一个动点xab，及其增量，在小区间上，对求面积和体积问题，根据草图利用几xdx, x xdx何体的边界曲线函数或平行截面面积函数采取边界上以直代曲的原则 yf x写出，其中表示某个连续函数.见参考文献 dU xf xdxy dx y56.3.23.2 定积分基本应用定积分基本应用本节分别从求面积、求体积两方面内容说明定积分的基本应用,应用定积分求平面图形的面积和体积.1.1.求面积求面积xy4yx22yx2, 28,4例 如图,计算由曲线，

31、所围成图形的阴影部分的面积.22yx4yx分析：先根据所给曲线方程，在坐标系中画出曲线，确定所围图形的范围；然后根据图形的范围，比较两条曲线的位置关系；最后用定积分求所围图形的面积.14解：解方程组得出交点坐标为，所以所求图形的面积22 4yx yx2, 28,4为=18442232244226yyySydyy2.2. 应用定积分求立体的体积应用定积分求立体的体积例 如图，求椭圆 绕轴旋转而成的旋转体的体积22221xy bay解 : 因为 2 222 2aybxb所求体积是曲边三角形 AOB 绕轴旋转一周而成的旋转体体积的 2 倍.y旋转体的体积公式为 2 22 2bbaVbxdxb所以椭圆

32、绕轴旋转而成的旋转体的体积为 22221xy bayv2 22 2 02babxdxbxy2 23 2 0123bab xxb24 3a b153. 3 在实际生活中的应用在实际生活中的应用本节内容是定积分在实际生活中的应用，例如求路程、在经济方面的应用、在电路方面的应用及一些物理上的应用.1.1.定积分在日常生活中的应用定积分在日常生活中的应用例 某商场某品牌衬衫的需求函数是，如果价格定在每件 50 元，650.15pq试计算消费者剩余.见参考文献8分析：消费者剩余是指消费者一定数量的某种商品愿意支付的最高价格与这些商品的实际市场价格之间的差额.当衬衫的价格为 50 元时，由计算出消费者对衬

33、衫的需求量，由消费者剩余公式，求出消650.15pqq费者剩余.解：由=50，得=10000p650.15pqq所以消费者剩余为： 元100000650.1550qdq100003 20150.19149953.58qq消费者剩余是消费者的主观心里评价，它反映出消费者通过购买和消费商品所感受到的状态的改善.2.2.定积分在电路中的应用定积分在电路中的应用应用定积分计算消耗在电阻元件上的功，此问题主要出现在机电一体化专业等课程中，主要应用于计算交流电路中消耗在电阻 R 上的功.由电工学知识可知，经过时间 t，直流电流 I 消耗在电阻 R 上的功为.对于交流电来RtIW2说，电流强度是一个随时间变

34、化的量，因此电功的计算要用到定积分。)(tii 交流电的电流强度虽是变化的，但在很短的时间间隔内，可以近似地看作)(ti是不变的（即近似地把交流电看作直流电）见参考文献10.因而就可以求得16在 dt 时间内的功的微元.于是在一个周期0，T内消耗在电阻 RdttRidW)(2上的功 W 为dttRiWT)( 023.3.定积分在推到平面壁静水压力计算公式的应用定积分在推到平面壁静水压力计算公式的应用随着我国现代化建设的快速发展，如一些水利工程的兴建、桥梁工程担负兴建，在这些工程中都需要涉及到静水压力的计算，如何准确把静水压力计算出来，对于保证工程稳定性结构物的设计非常重要，下面对定积分在平面壁

35、静水压力计算公式推导中的应用做一说明.见参考文献6.关于静水压力的计算,在以往我们所求某一平面板上的静水压力时，一般的板都是平放的（即板面与水深方向垂直）.因为由压强的计算公式可知它三水深的函数.所以板上任意点的压强都是相等的.应用相应的物理知Prh 识可得：压力等于压强乘以面积（即）FPs定积分在推导静水压力中的应用举例,在一些水利工程中，水库中平面壁的闸门起到挡水作用从而使水库能够蓄水，板面与水深方向往往平行，在这种情况下板上端到下端各点的压强不相等，不能用上面的方法进行计算.要计算整个壁上的静水总压力的大小，可采用如下的方法，如图所示为某水库的闸门，常为 h 宽为 B，所在水库的容量为

36、r,静水压力可以这样计算.取如图所示的坐标进行分析，取板面上到微小段作为研究对象，xxdx可将微小面积上的各点压强视为相等，则微小面积上的压力，dsBdxdFPds整个板的静水压力等于无数个这样微小段上的压力之和，可按下述过程列总静水压力积分式： dFPdsPrxdsBdx所以 dFrxBds得总静水压力 220022hhrx Brh BFrxBdx当闸门上端离水面有一定的距离，规格同上述情况，如图所示：这使取17到一小段作为研究对象，同样得到微小段的面积.此微小面积上压强xxdxds相等，可按下述过程列总静水压力积分式： dsBdx1Pr hxdFPds1dFr hx Bdx得总静水压力为

37、22 111 00011 22hhh Fr hx Bdxrh Bxrx Brh Bhrh BhB总结总结对于定积分这个古老的数学分支，它的发展趋向于系统化地总结出其计算方法和性质，尤其是一些计算技巧灵活性、一题多解、多题通解，定积分积分区间影响积分难度的大小，定积分被积函数和积分变量对定积分的影响，如何利用这些因素来简化定积分的计算是一个很重要的课题；它的另一个发展趋向是应用方面和数值积分方面，就是将实际问题进行数学抽象，建立数学模型，通过微元法，转化为定积分，然后运用数值积分来对实际问题进行求解，可以解决许多实际问题，如求路程，求面积体积及物理上的计算消耗在电阻元件上的功等等，如何将其形成系

38、统化的方法，那些实际问题可以用该方法来解决，是应用数学需要解决的问题. 18致谢致谢本文在写作过程中得到了刘俊俏老师的精心指导和鼓励, 刘老师经常利用课余时间对大家的论文的选题、结构以及对论文中存在的问题做大量的辅导工作,致此向他表示诚挚的谢意！刘老师渊博的知识,严谨的治学态度,孜孜不倦的工作热情给我们留下了深刻的印象,我获益菲浅,这将是我以后学业上一笔宝贵的财富.也感谢所有帮助过我的老师和同学，以及我院充分的图书杂志电子网络资源和有丰富图书作参考.本文在撰写时间、水平,文中的疏忽和不足之处在所难免,恳请有关专家、老师和读者加以批评和指正,以待完善.参考文献参考文献1李迪.中外数学史教程M.福

39、州:福建教育出版社,1993. 2毛刚源.高等数学解题方法技巧归纳M.武汉:华中科技大学出版社,2001.3辛兴云.算定积分的一个定理及应用J.邢台学院学报，2003， （02）110-1114沈最意.算定积分的特殊方法J.浙江海洋学院学刊，1995， （03）55-605王成英.分有关概念的教学设计J孝感学院学报.2005， （06）88-906李强.基础应用教程M.北京:中国水利水电出版社,2004.7吴方同.定积分教学的新探索J.高等教学研究，2001（04）120-1228于长庆.定积分在经济学中的应用J.廊坊师范学院学报，1995(04)66-689邓俊谦.应用数学基础M.上海:华东师范大学出版社,2000.10复旦大学数学系：数学分析M.上海：上海科学技术出版社.1962.