定积分的计算方法与应用_郑重阳.doc-得力文库

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1、定积分的计算方法与应用郑重阳 (池州学院数学系，安黴池州 247100) 摘要：定积分是数学分析中的环节一一微积分的重要分支之元函数情况下，求微分实际上是一个求已知函数的导数，而求积分是求已知导数的原函数，所以微分与积分互为逆运算 .本文主要介绍定积分的相关计算方法，以及定积分在实际中的一些应用 . 关键词：定积分计算方法应用定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题 .定积分的思想在古代数学家的工作中就已经有了萌芽 . 比如古希腊时期阿基米德在公元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过拋物线弓形及其他图形的面积 .公元 263年我国刘黴提出的割圆术也是同一

2、思想 .在历史上，积分观念的形成比微分要早 .但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未形成，直到牛顿莱布尼茨公式建立以后，计算问题才得以解决，定积分才迅速建立发展起来 . 定积分的思想即“化整为零近似代替积零为整取极限定积分这种和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他知识领域及人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以直

3、代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建立起来 .可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近连续，以直代曲，局部线性化等 .定积分的概念及微积分基本公式，不仅是数学史上，而且是科学思想史上的重要创举 . 一、定积分的定义设区间 a， b上有 n- 1 个点，依次为的 _个分割 T=Ap A2， A 丄任取点 wA,， i=1， 2,， n，并作和式 () Ax】，称此和式为函数 f 在 a， b上的一个积分和，也称黎曼和 .设 f是定义在上 a， b的一个

4、函数， J 是一个确定的实数，若对任给的正数 s，总存在某 _正数 8,使得对 a， b的任何分割 T，以及在其上任取的点集 sj，只要 IITII0,埚 80，IITIIS S(T)-s(T)s 或 ZTWi Axs 若函数 f在 a， b上连续，且存在原函数 F， F， (x)=f(x)，xe a， b，则 f 在 a， b上可积，且 Jaf(x)dx=F(b)-F(a) 三、定理与性质 1. 若函数 f 在（ a， b)上连续，且存在原函数 F，即 F，(x)=f(x)， x E a， b，则 f 在 a， b上可积，且Jaf(x)dx=F(b)-F(a

5、). 2. 若 f 在 a， b上连续，则至少存在一点 se a， b，使得 _蘩 (x)dx=f(s) (b-a). 3. 若 f 在 a， b上连续，则 $(x)=jf(t)dt， xe a， b在 a，b 上处处可导 . 4. 若函数 f 在 a， b上连续， $在 a， P上可积，且满足$ (a)=a， $(P)=b， $(a， P)哿 a， b，则有定积分换元公式jbf (x)dx=jf(9(t)dt. 5. 若 u(x)， v(x)为 a， b上的可微函数，且 u (x)和v (x)都在 a， b上可积，则有定积分分部积分公式 Jau (x)v (x)dx=u (x)v(x)

6、Ia-Jau(x)v(x)dx. 6. 连续圯可积 . 7. 有限间断点 n 有界函数圯可积 . 8. 单调圯可积 . 9. 若 f 在 a， b上可积， k 为常数，则 kf 在 a， b上也可积，且細 =如 ). 10. 若 f， g 都在 a， b上可积，则 fg 在 a， b上也可积，且 Jaf(x)g(x)dx=Jaf(x)dxJag(x)dx. 际 .当然，不可缺少的还有空间想象能力和构思能力 . 参考文献： 1张禾瑞，郝銦新 .高等代数 M.高等教育出版社， 2007. 21 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组 .高等代数（第三版） M.高等教育出版社， 2004. 3黄益生 .高等代数 M.清华大学出版社， 2014. 基金项目：遵义师范学院基础教育研究课题（编号 13ZYJ 032),责州省科技厅联合基金项目（黔科合 J 字 LKZS201429 号 ). 参考文献： 1华东师范大学数学系 .数学分析 M.北京：高等教育出版社， 2010.

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