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1、级数运算中的几个小技巧Pb07210229 詹金春级数含有无穷多项,它的运算要讲究方法,否则运算量将会令我们望而却步。下面我举几个例子讲述一些小技巧。例 1 将函数 f(x)=exsinx 展开成 x 的幂级数。解:方法一 因为 ex=,, = 0! + Sinx=xn, = 0( 1)2 + 1(2 + 1)!= = 02! + 应用幂级数的乘法运算得exsinx= = 02!+ 1 ( 1)2( 1)!+12!( 2)2( 2)!+ 1( 1)!2 1=(计算过程相当复杂,数学公式输入有难度,这里从略)=) = 0(2 /2 2!方法二 由欧拉公式 eix=cosx+isinx,有 sin
2、x=(eix -e-ix)/2i 所以exsinx=ex(eix -e-ix)/2i=(e(i+1)x -e(1-i)x)/2i=1/2i = 01!() ( ) = 0(2 /2 2!, + 比较两种方法,注意到 sinx=(eix -e-ix)/2i 就可以明显减少计算量。例 设().求 fn(0) 解 由函数幂级数展开的唯一性,我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。f(x)=2x/(1+x4)=2x = 0( 1)4= = 0( 1)24 + 1, 1 1两边从 0 到 x 积分得 0f(x) = () (0)= = 0( 1)24 + 1= = 0( 1)2 4 + 2
3、4 + 2所以 f(x)=f(0)+ = 0( 1)2 4 + 24 + 2= + 4 = 0( 1)2 4 + 24 + 2因此 f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2, 其他的 f(n)(0)=0本题若直接求,明显会比上述方法难算。例 3 设 f(x)=x4/(1+x3),求 f(10)(0).解:因为 1/(1+x)=,-1x1 = 0( 1)所以 1/(1+x3)=, -1x1 = 0( 1)3所以 x4/(1+x3)= = 0( 1)3 + 4, - 1 x 1f(3n+4)(0)=,n=0,1,2,( 1)(3 + 4)! n=2 时,f(10)(0)=10!总结上面三题用到的小技巧如下:1 注意到 sinx=(eix -e-ix)/2i,可将 sinx 用 ex形式展开。2 由函数幂级数展开的唯一性,且级数为多项式时,各阶导数容易求,我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。3 将 x4单独提出来,不参与级数展开,利用基本函数的泰勒展开。这些只是众多小技巧中的一小部分,我们应该做学习上的有心人,不断积累这些小技巧,就可以教简洁地解决许多题目。