等比数列的前n项和教学案例设计.doc

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1、等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和教学案例设计教学案例设计一、教学内容分析一、教学内容分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书数学（5）（人教版）第二章第 5 节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导

2、。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。三、设计思想三、设计思想新课程改革纲要提出，要“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力”。对这一目标本

3、人认为更加注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。心理学家研究发现，922 岁的学生正处于创新思维的培养期，高中生正好处于这一关键年龄段，作为数学教师应因势力导，培养学生的创新思维能力。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。在生生、师生交流的过程中，体现对弱势学生更多的关心。四、教学目标四、教学目标理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力。通过对公式推导方法的探索与发现

4、，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。五、教学重点、难点五、教学重点、难点教学重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点是公式的推导方法和公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。教学准备：包括资源的收集、课件的制作、活动的准备等1.全日制普通高级中学教科书（必修）第一册（上）2.普通高中课程标准教科书数学（必修）5 及配套光盘3.两种教材的主要差异对比4.课件等比数列的前 n 项和改编六、教学过程设计：六、教学过程设计：学生是认知的主体，设计教学过程必须遵

5、循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：（一）创设情境，提出问题（一）创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？【设计意图设计意图】：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性。故事内容紧扣本节课的主题与重点。此时我问：同学们，你们知道西

6、萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数 。带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和。这时我对他们的这种思路给予肯定。【设计意图设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍。同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔。（二）师生互动

7、，探究问题（二）师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问： 是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？【学情预设学情预设】：探讨 1：设 ，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍）23631+2+2 +2 +223631+2+2 +2 +22363 64S =1+2+2 +2 +223631+2+2 +2 +2探讨 2： 如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则有 ，记为（2）式。比较（1）(2）两式，你有什么发现？【设计意图设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前 n项和的公式推导关键是变“

8、加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机。经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到： 。老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以 2 呢？【设计意图设计意图】：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心。（三）类比联想，解决问题（三）类比联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比

9、数列，首na项为，公比为 ，如何求前 n 项和？这里，让学生自主完成，1aqnS并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。【设计意图设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从236364 642S =2+2 +2 +2 +264 6421S已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。【学情预设学情预设】：在学生推导完成后，我再问：由得对不对？这里的 能不能等于 1？n n11(1-q)s = a -a qn 11 na -a qs =1-qq等比数列中的公比能不能为 1？时是什么数列？此时？1q nS （这里引导学生对 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的

10、例q题教学打下基础。）再次追问：结合等比数列的通项公式,如何把用1 1n naa qnS、 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）1anaq【设计意图设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用。（四）讨论交流，延伸拓展（四）讨论交流，延伸拓展在此基础上，我提出：探究等比数列前 n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出n-2 1111= a +q(a +a q+a q)

11、呢？根据等比数列的定义又有，能否联想nS234n123n-1aaaa= qaaaa到等比定理从而求出呢？nS2n-1 n1111s =a +a q+a q +a q【设计意图设计意图】：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到, 这其实就是关于的一个递推式，递推数列有非11nnSaqSnS常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.（五）变式训练（五）变式训练, ,深化认识深化认识例 1：求等比数列前 8 项和；1 1 1 1, , , 2 4 8 16变式 1、等比数列前多少

12、项的和是；1 1 1 1, , , 2 4 8 1663 64变式 2、等比数列求第 5 项到第 10 项的和；1 1 1 1, , , 2 4 8 16变式 3、等比数列求前 2n 项中所有偶数项的和。1 1 1 1, , , 2 4 8 16首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结。【设计意图设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成。通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识。（六）例题

13、讲解，形成技能（六）例题讲解，形成技能例 2：求和23n-11+a+a +a +a【设计意图设计意图】：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想。（七）总结归纳，加深理解（七）总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结。【设计意图设计意图】：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。（八）故事结束，首尾呼应（八）故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 1.841019 粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳

14、铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的 459 倍，显然国王兑现不了他的承诺。 【设计意图设计意图】：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维。（九）课后作业，分层练习（九）课后作业，分层练习必做：P66 练习 1：(1)、(2)；2选作：思考题：（1）求和.23nx+2x +3x +nx（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？【设计意图设计意图】：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间。七、教学反思：七、教学反思：对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙

15、去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系。在教学中，我采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段。点评：点评：本节课开始，设置了“棋盘上的数学”一例，让学生感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。教学设计重视“过程与方法”，符合新课标的理念，把重点放在公式的推导上。在探索公式的过程中，用到了许多重要的数学方法，如错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实。学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，这个推导过程有效地培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性，培养了学生解决问题的能力。本节课例子设计精巧。通过精讲一题（例 1），发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解（例 2），进一步渗透分类讨论的思想，培养分类讨论的思想和思维的缜密性；设计选作思考题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少，思考题体现数学的文化价值。这节课在民主和谐的课堂氛围里，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。