《等比数列的前n项和》教学设计.pdf

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1、1 等比数列的前n 项和教学设计一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看等比数列的前 n 项和是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养2.从学生认知角度看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n 项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后

2、面使用的过程中容易出错3.学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨4.重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点二、目标分析知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊

3、到一般、类比与转2 化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点三、过程分析学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：1.创设情境，提出问题在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是

4、前一格的两倍，直至第 64格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊 为什么呢？设计意图：设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性故事内容紧扣本节课的主题与重点此时我问：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和 这时我对他们的这种思路给予肯定设计意图：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学

5、关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔.2.师生互动，探究问题在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，263是什么数列？有何特征？应归结为什么数学问题呢？探讨 1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2 倍）23631+2+2+2+223631+2+2+2+2236364设s=1+2+2+2+23 探讨 2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以 2 则有，记为（2）式比较（1

6、）(2）两式，你有什么发现？设计意图：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：老师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2 呢？设计意图：经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了！让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心3.类比

7、联想，解决问题这时我再顺势引导学生将结论一般化，这里，让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导设计意图：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感对不对？这里的 q 能不能等于 1？等比数列中的公比能不能为1？q=1 时是什么数列？此时sn=？（这里引导学生对q进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础）再次追问：结合等比数列的通项公式an=a1qn-1,如何把 sn用 a1、an、q 表示出来？（引导学生得出公式的另一形式）设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面

8、使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力这一环节非常重要，尽管时间有时比较少，甚至仅仅几句话，然而却有画龙点睛之妙用4.讨论交流，延伸拓展s236364642=2+2+2+2+2公比为，qn如何求前 n项和 s？n1设等比数列a,首项为 a,646421sn11nn11na-a q(1-q)s=a-a qs=1-q在学生推导完成后,我再问:由得4 在此基础上，我提出：探究等比数列前n 项和公式，还有其它方法吗？我们知道,那么我们能否利用这个关系而求出sn呢？根据等比数列的定义又有234n123n-1aaaa=qaaaa，能否联想到等比定理从而求出sn

9、呢？设计意图：以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛围.以上两种方法都可以化归到11nnqsas,这其实就是关于ns的一个递推式，递推数列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，对学生的思维发展有促进作用.5.变式训练,深化认识首先，学生独立思考，自主解题，再请学生上台来幻灯演示他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结设计意图：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养

10、学生的参与意识和竞争意识6.例题讲解，形成技能设计意图：解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想7.总结归纳，加深理解以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结设计意图：以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力8.故事结束，首尾呼应最后我们回到故事中的问题，我们可以计算出国王奖赏的小麦约为1.84 2n-1n-2n11111111s=a+a q+a q+a q=a+q(a+a q+a q)1 1 1 1例1:求等比数列,前8项和；2 4 8 16631 1 111、等比数列,

11、前多少项的和是?2 4 8 1664,5101 1 1 12、等比数列,求第 项到第项的和.2 4 8 161 1 1 13、等比数列,求前 2n项中所有偶数项的和.2 4 8 1623n-11+a+a+a+a.例2：求和5 1019粒，大约 7000 亿吨，用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽10 米、厚 8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，显然国王兑现不了他的承诺设计意图：把引入课题时的悬念给予释疑，有助于学生克服疲倦、继续积极思维9.课后作业，分层练习必做：P129 练习 1、2、3、4 选作：（2）“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国

12、古诗的答案是多少？设计意图：出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间四、教法分析对公式的教学，要使学生掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的推导方法，理解公式的成立条件，充分体现公式之间的联系在教学中，我采用“问题探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率五、评价分析本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质.23nx+2x+3x+nx思考题(1):求和