复变函数与积分变换 48学时.ppt

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1、第二章 解析函数,解析函数是复变函数研究的主要对象1 介绍复变函数导数概念和求导法则2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐明解析与可导的关系3 介绍一些常用的初等函数，说明它们的解析性。,2.1 解析函数的概念,一、复变函数的导数,1导数的定义,设函数,在开区域D内有定义,是D内任一点，令,如果,在,处可导，A 为,在,处的导数,定义1,存在，记作A,称,记作：,即,或写成微分形式,故也称,则称,如果,在区域D内处处可导（可微），,在D内可导（可微）。,例1,解,因为,所以,例2,证明,在全平面处处不可导。,证明,因为对任意一点,分别考虑直线,及直线,在前一直线上，上式恒等于0；,在后一直线,上

2、，上式恒等于1。,上式没,有极限，,由于,2 可导与连续,定理1,证明,对于任意的,存在,令,则,由,有,3 求导法则,(c为复常数),(c为复常数),是两个互为反函数的,单值函数，,例3,(1)利用法则6，得：,例4,解,利用法则1,2,3，得：,的反函数为,由法则7，得：,解,4 函数可导的条件,定理2(CauchyRiemann),在区域D内有定义，,可导，则,且满足方程,此时，,的导数可写成,C-R(CauchyRiemann)条件),(2.3),(2.4),证明：,则依任何方式,其中,沿实轴趋于零，则,不妨先让,沿虚轴趋于零，则又有,再让,比较上两式，则得,注意 ：,本定理表明，若函

3、数,（2.4）可求得点的导数,则依据公式,这比由导数定义求,导方便得多。, CR条件只是导数存在的一个必要条件。,例5,证明：函数,处处不可导。,证明,因此，在复,即C-R条件不成立，,平面的任何点处，,不可导。,处的可导性。,讨论,解,例6,即函数,但若让,所以函数,处的不可导。,定理3 (函数可导的充分必要条件),可导的充分必要条件是,(C-R条件),可微且满足C-R条件,证明：,“必要性”,可导，,则对充分小的,有,其中,设,且,则,比较上式的实部和虚部，即得,其中,根据二元实函数的微分定义，,可微，且有,即CR条件成立。,“充分性”,其中，,无穷小量。,高阶的,由CR条件，可令,则有,

4、即,其中,且,所以,即,推论,在点(x,y) 处连续，且满足C-R条件，则复,变函数,处可导。,二、解析函数的概念,1 解析函数的定义,定义2,如果函数,每一点解析，则称,例1：,函数,在复平面中每一点都有导数，,所以它们在整个复平面内处处解析。,例2：我们可以验证,在复平面内处处,不解析。,孤立奇点,的奇点；,特别地，,一去心邻域内处处解析，,的孤立奇点。,例如,函数,没有定义，导数当然也不存在，,处不解析，,也是的孤立奇点。,注意,函数的奇点并非都是孤立奇点，以后我们讨论的奇点主要是孤立奇点。,函数在一点处解析与可导是两个不等价的概念。,函数在区域内的解析与可导是等价的。,2函数解析的条件

5、,定理4,解析的充分必要条件是,处可微且满足C-R条件,(C-R条件),运算法则,在区域D内解析的两个函数,的和、差、,积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；,函数,平面上的区域G内解析，,如果对D内,的每一个点,那么,复合函数,在D内解析。,注：,析的；,在不,含使分母为零的点的区域内是解析函数，,使分母,为零的点是它的孤立奇点。,例7,判断下列函数是否解析：,(1),(2),解,(1),在复平面内处处解析。,所以,(2),四个偏导数存在且连续。但C-R条件只在,上满足。,所以，,只在以上两条,直线上可导，,从而处处不解析。,例8,函数,在复平面内处处解析？,解,四个偏导数都连续，因此只有当,处处解析。,例9,证明：,并满足下列,条件之一，,恒取实数；,在E内解析；,在E内为非零常数；,证：,恒取实数；,函数,在E内解析，,故,无关，,由,与,在E内解析得,从而,无关，,在E内为非零常数；,所以,在等式两边关于 x , y 求偏导，,则有,u、v不能同时为零；,即以上关于u、v的齐,次线性方程组有非零解，,其系数行列式为零，,即,利用C-R条件，上式变为,即,为解析函数，,且,例10,求其实部,和这个解析函数,解,所以,所以,所以它的实部为,实常数。,