第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩.精品文档.第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置、时间t以及三个速度分量，这七个量组成的有序数组称为七维向量。更一般地，本章将引入n维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。 1 n维向

2、量 作为二维向量、三维向量的推广，现给出n维向量的定义定义1 n 个数组成的有序数组（），称为n维向量。数称为向量的第i个分量（或第i个分量）。 向量通常用希腊字母等来表示。向量常写为一行 有时为了运算方便，又可以写为一列 前者称为行向量，后者称为列向量。行向量、列向量都表示同一个n维向量。设都是n维向量，当且仅当它们各个对应的分量相等，即时，称向量与向量相等，记作，。分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=若，则称为的负向量，记为。 下面讨论n维向量的运算。定义2 设都是n维向量，那么向量叫做向量与的和向量，记做，即 向量与的差向量可以定义为+，即 定义3 设是n维向量，是一个数，那么向

3、量叫做数与向量的数量乘积（简称数乘），记为，即 向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算满足下列运算规律性质1 设都是n维向量，是常数，则（1） （2） （3） +0=（4） 0（5） （6） （7） （8） n维行向量也可以看成1行n列的矩阵，n维列向量可以看成n行1列的矩阵。n维向量的线性运算与矩阵的运算是基本一致的。2 线性相关与线性无关 这一节，我们将进一步研究n维向量之间的线性关系。其中向量组的线性相关与线性无关是非常重要的概念，许多代数问题的研究都涉及到这个概念。定义1 已知n维行（列）向量组， 如果存在不全为零的一组数，使 0 （2.1）则称向量组线性相关，否则

4、称向量组线性无关。例如，n维行向量组，若有一组数，使(2.1)式成立，即则显然必有，从而向量组线性无关。而对向量组，不难验证0 ，所以它是线性相关的。定义2 对于n维行（列）向量，如果存在一组数，使 则称向量是向量组的一个线性组合，或称向量可以由向量组线性表示（或线性表出）。定理1 向量组（m2）线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示。证 必要性。设线性相关，则存在m个不全为零的数，使 =0不妨设0，于是 故可以由线性表示 充分性。不妨设可以由线性表示，即则有一组不全为零的数，使=0所以向量组是线性相关的。证毕。定理2 设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，

5、且表示法是唯一的。证 假设线性相关，则存在一组不全为零的数，使得0若=0，则不全为零，且 0这与线性无关相矛盾。因此0，故即可以由向量线性表示。再证唯一性。设有下列任意两个线性表示式两式相减得 =0由于线性无关，所以必有即 所以由线性表示的表示方法是唯一的。 性质1 在向量组中，若有部分向量构成的向量组线性相关，则全体向量组也线性相关；反之，若全体向量组线性无关，则任意部分向量组也线性无关。证 不妨设线性相关，那么存在不全为零的数，使得 =0从而=0因为不全为零，所以，0，0不全为零。故全体向量组也线性相关。剩下的结论用反证法立即可知。推论1 含有零向量的向量组必线性相关。例1 设n维向量=，

6、其中第i个分量为1，其余分量为0，为任一n维向量，则可以由线性表示。证 因为 故可以由线性表示。 例2 两个向量线性相关的充要条件是或，即与的分量对应成比例。证 由定理1可知，与线性相关的充要条件是：可以由线性表示或可以由线性表示，所以两个向量与线性相关的充要条件是或，即与的分量对应成比例。例3 设线性无关，证明也线性无关证 设有一组数，使=0 （2.2）即 =0因为线性无关，所以这是三个方程三个未知数的齐次线性方程组，它的系数行列式D=所以由克莱姆法则可知，此方程组只有零解，即这表明只有当全为零时，（2.2）式才成立，即也线性无关。3 向量组的秩与等价向量组又上节的性质1可知：若向量组线性无

7、关，则任意部分向量均线性无关。若向量组线性相关，那么是否能找到向量个数最多的线性无关向量组？为了研究这些问题，我们需要引进极大线性无关组的概念和向量组的秩的概念。一极大线性无关组定义1 设向量组A，如果： （1）A中有r个向量线性无关；（2）A中任一向量都可以由线性表示。则称是向量组A的一个极大线性无关组（或极大无关组）。 例1 全体n维实向量构成的向量组记作，求的一个极大线性无关组。解 我们知道，（参照本章2例1）线性无关，又任一向量都可表示为 所以，是的极大线性无关组。例2 试在向量组中找出它的一个极大线性无关组。解 与的对应分量不成比例，所以，线性无关。又因为，故线性相关，所以线性相关。

8、又有 所以中的任一向量都可由，线性表示，故，是向量组的一个极大线性无关组。 二等价向量组定义2 设向量组A：；B：。若B中任一向量都可以由A中的向量线性表示，则称B可以由A线性表示。如果B可以由A线性表示，而且A也可以由B线性表示，则称A与B等价。定理1 如果线性无关的向量组A：可以由向量组B：线性表示，则。证 反证法，假设，由于A可以由B线性表示，故中的每一个向量都可以由线性表示，所以可设则 =0由于 =0 是一个关于的齐次线性方程组，因为未知数个数s大于方程个数t ，所以有非零解。即存在不全为零的数，使=0这与线性无关矛盾。从而假使不成立，故。推论1 设两个线性无关的向量组A：和B：。如果

9、A与B等价，则。三向量组的秩由向量组的极大线性无关组定义可知，一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价，又由定理1知，它们所含向量的个数相同。定义3 向量组A的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组的秩，记作，简记为。定理2 如果向量组A可以由向量组B线性表示，则。证 记。设向量组A的一个极大线性无关组为；向量组B的一个极大线性无关组为，由于向量组A可以由向量组B线性表示，则向量组也可以由向量组B线性表示，又由于向量组B可以由线性表示。所以也可以由线性表示，由定理1知，。即，。推论2 向量组A与向量组B等价，则。推论3 个维向量一定线性相关。定理3 设维向量组 r（rn）维向量组则（1）

10、如果线性相关，那么也线性相关； （2）如果线性无关，那么也线性无关。证 （1）线性相关，则存在一组不全为零的常数，使 =0则由前r个等式可知 =0故也线性相关。（2）逆否命题显然成立。 4 矩阵的秩 相抵标准型 一矩阵的行秩与列秩对于矩阵A，我们把它的每一行（列）称为A的一个行（列）向量。定义1 设矩阵A，A的行（列）向量组的秩称为A的行（列）秩。阶梯形矩阵其中，则A的行秩=3，列秩=3。这是因为：若把A按行分块为 则由=0容易推出，数必须全为零，所以线性无关，而0。所以A的行秩等于3。若再把A按列分块为同样，由0可推出，故线性无关，又易证中任意4个向量都线性相关（因为的第四个分量都为零，又由

11、于任意4个三维向量都线性相关），所以，是向量组的一个极大线性无关组，因此A的列秩也等于3。由此例子可以得到一般的结论：阶梯形矩阵的行秩等于列秩，其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数。定理1 如果对矩阵A作初等行变换将其化为B，则B的行秩等于A的行秩。证 只需证明每作一次倍乘、倍加和对换行变换，矩阵的行秩都不变。设A是矩阵，A的 m个行向量记为。（1） 对换A的某两行位置，所得到的矩阵B的m个行向量仍是A的m个行向量，显然B的行秩等于A的行秩。（2） 把A的第i行乘非零常数c得矩阵B，则B的m个行向量为。显然，B的行向量组与A的行向量组是等价的。故根据本章3的推论2知，B的行秩等于A的行秩。（3）

12、把A的第i行乘非零常数c加到A的第行得矩阵B 记作=B显然，B的行向量组可以由A的行向量组线性表示。又有，得，故，A的行向量组也可由B的行向量组线性表示。因此A与B等价，则A与B的行秩也相等。初等行变换也不改变矩阵的列秩，这是因为：定理2 对矩阵A作初等行变换将其化为B，则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即 A=（）=B则向量组与有相同的线性相关性。证 对矩阵A作初等行变换化为B，就是用若干个初等矩阵左乘A使之等于B。记，则有， PA=B 从而 取 则，记故对于线性方程组=0，因为P为可逆矩阵，所以，0与=0是同解的齐次线性方程组。 =0，即为 =0 =0，即为 =0由于上述两等

13、式是同解方程，所以与有相同的线性相关性。 定理2也提供了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简便而有效的方法。例1 求向量组 的秩和它的一个极大线性无关组，并把其余向量表示为所求的极大线性无关组的线性组合。 解 以为列作矩阵A，并对A作初等行变换记B=。容易看出B的列向量线性无关，而可由线性表示因此，是向量组的一个极大线性无关组，且显然，的秩为3。由定理1和定理2知：初等行变换既不改变矩阵的行秩也不改变矩阵的列秩，同样可证，初等列变换也不改变矩阵的行秩和列秩。总之，初等变换不改变矩阵的行秩和列秩。由于矩阵总可以通过初等变换化为阶梯矩阵，而阶梯矩阵的行秩等于它的列秩，因此可以得到下面的定理定理3

14、 矩阵的行秩等于其列秩。由于矩阵的行秩与列秩相等，所以我们给出下面的定义：定义2 矩阵的行秩和列秩统称为矩阵A的秩，记作：r(A)或秩（A）。由于n阶可逆矩阵总可以通过初等变换化为单位矩阵，因此n阶可逆矩阵的秩为n。所以，n阶矩阵A可逆的充要条件是：r(A)=n。定理4 n阶矩阵A的秩等于n的充要条件是A为非奇异矩阵（即0）。二矩阵的非零子式与秩的关系定义3 矩阵A=的任意k行和任意k列（列）的交点的个元素按原顺序排列成的k阶行列式称为A的k阶子行列式，简称A的k阶子式。当k阶子式为零（不等于零）时，称为k阶零子式（非零子式）。当时，称为A的k阶主子式。如果矩阵A存在r阶非零子式，而所有的r+

15、1阶子式（如果有r+1阶子式）都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为r，因为由所有的r+1阶子式都等于零可推出所有更高阶的子式都等于零。定理5 矩阵A的非零子式的最高阶数等于矩阵A的秩r(A)。证 设 r(A)= r，即A的行秩为r，不妨设A的前r个行向量线性无关，把A的前r行作成的矩阵记作，则的列秩=的行秩=r。不妨再设的前r个列向量线性无关，则由定理4可知，A的左上角的r阶主子式为非零子式，又因为A的任意r+1个行向量线性相关，因此，在A的任意r+1个行中作成的任一个r+1阶子式都是零子式。故A的非零子式的最高阶数等于r。综上所述，关于矩阵的秩的基本结论是：矩阵的秩=矩阵的行秩=矩阵的列

16、秩=矩阵的非零子式的最高阶数；初等变换不改变矩阵秩。三矩阵秩的常用性质关于矩阵的秩，有下面几个常用的性质：性质1 r(A+B)r(A)+r(B)证 设A、B均是矩阵，r(A)=s， r(B)=t， 将A、B按列分块为 A=， B=则 不妨设A和B的列向量组的极大线性无关组分别为和，于是A+B的列向量可以由线性表示，所以 r(A+B)=A+B的列秩秩（）s+t性质2 r(AB)min(r(A),r(B)证 设A、B分别是矩阵。将A按列分块则 AB=故AB的列向量可由A的列向量线性表示，故 r(AB) =A B的列秩A的列秩=r(A)类似地，将B按行分块，可得 r(AB) r(B)。 性质3 设A

17、是矩阵，P、Q分别是阶、阶可逆矩阵，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)证 由于可逆矩阵P、Q可以表示为若干个初等矩阵的乘积，而初等变换不改变矩阵的秩，故结论成立。四矩阵的相抵标准形最后我们讨论，一个秩为r的矩阵通过初等变换化为怎样的最简单的矩阵，也就是矩阵的相抵标准形（或说等价标准形）。定义4 若存在可逆矩阵P、Q使 PAQ=B，就称A相抵于B。记作。根据定义，容易证明矩阵的相抵关系有以下性质：（1） 反身性：即（2） 对称性：即若（由于有对称性，一般就说A与B相抵）。（3） 传递性：即若。所以相抵是一种等价关系。定理6 若A为矩阵，且r(A)=r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）

18、和Q（n阶），使得 其中为r阶单位矩阵。证 对A作初等行变换，将A化为有r个非零行的阶梯矩阵。其中为初等矩阵。再对作倍加初等列变换和列对换，可将化为其中为初等矩阵。所以，存在可逆矩阵，使我们把上式右端称为A的相抵标准形（或等价标准形）。容易知道，秩相同的同型矩阵必相抵于同一相抵标准形。因此，任意两个秩相同的同型矩阵是相抵的。 5 n维向量空间在本章1中，我们定义了n维向量，并且对它规定了加法和数乘两种运算。在向量的线性运算基础上，我们进一步引进向量空间的概念。定义1 设V为n维向量的非空集合，R是实数域。若V对加法和数乘运算封闭，即 （1）； （2）。则称集合V为向量空间。例1 3维实向量的全

19、体，就是一个向量空间。因为任意两个3维向量之和仍为3向量，数乘3维向量也仍为3维向量，它们都属于。我们可以用有向线段形象地表示3维向量，从而向量空间可形象地看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。类似地，n维向量的全体，也是一个向量空间。不过当时，它没有直观的几何意义。例2 集合是一个向量空间。因为若，则，例3 集合不是向量空间，因为。 例4 设为两个已知的n维向量，集合是一个向量空间。因为若，则有这个向量空间称为由向量所生成的向量空间。一般地，由向量所生成的向量空间为定义2 设有向量空间，如果，就称是的子空间。 例如，向量空间是的子空间。定义3 设是向量空间V的向量，且满足 （1） 线性无关；

20、 （2） V中任一向量都可以由线性表示。则称为向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间。 只含零向量的集合也是一个向量空间，它没有基，它的维数规定为0。若把向量空间V看作向量组，则V的基就是向量组的极大线性无关组，V的维数就是向量组的秩。n维向量（参照本章2例1）是的一个基，所以的维数为n。易知，任何n个线性无关的n维向量与等价，所以任何n个线性无关的n维向量都是向量空间的一个基。定义4 设是向量空间V的一个基，若 则称有序数组为向量在基 下的坐标，记为或。显然，向量空间的基不是唯一的，但向量在给定基下的坐标是唯一的。例如，n维向量在基下的坐标为。例5 求n维向量在基，

21、下的坐标。解 设 即 即 解得所以在基下的坐标为。 6 向量的内积与正交矩阵在解析几何中，已经讨论过向量的数量积、长度，现在我们把它推广到n维空间的情形。一向量的内积定义1 设=（），是的两个向量， 记 称为向量与的内积。利用矩阵乘法的运算，上述，表示矩阵，那么内积可以表示为根据内积的定义，容易证明以下性质：性质1 设为维向量，为实数，则（1）；（2）为实数；（3）；（4）0。有了n维向量的内积定义，便可将三维空间的向量长度推广到n维空间。定义2 设=（）是的向量，记称为向量的长度。若=1，则称为单位向量。向量的长度满足以下性质：性质2 设为维向量，为实数，则（1）非负性： 当0时，。当0时，

22、；（2）齐次性： ；（3）柯西不等式： ；（4）三角不等式： 。证 （1）、（2）容易证明。现证（3）、柯西不等式若0，性质（3）显然成立。若0，则。作向量（），则即上式左端是关于的二次多项式，因此便有即故再证（4）、三角不等式即 二单位正交基定义3 对于n维非零向量，如果，则称向量与正交。一组非零的n维向量，如果它们两两正交，则称之为正交向量组。定理1 正交向量组必线性无关。证 设是一个正交向量组， 为m个数，且有 =0等式两边与内积得， 0=（，）由于两两正交，所以由上式得 0再由0知，所以，因此，线性无关。向量空间中，由正交向量组构成的基，称为正交基。如果正交基由单位向量组成，则称为单位

23、正交基（或称为标准正交基）。例如，的一组基是的一个单位正交基。由于在单位正交基下讨论问题比较方便，所以下面介绍将一组基化为单位正交基的方法。 三施密特(Schmit)正交化方法设是向量空间V的一个基。先将该向量组正交化：令 选取使，即选于是有 再取 选取使由此得两个方程 解得 那么 继续做下去于是得到一组正交向量组。由于空间V对线性运算封闭，所以V ，因此，是V的一个正交基。再将单位化，得到一个标准正交基： 上述向量空间基的正交化方法称为施密特正交化方法。例1 已知B=是的一组基。其中， 试用施密特正交化方法，由B构造的一组标准正交基。解 先将该向量组正交化，得 再将单位化，得到的一组标准正交

24、基： 四正交矩阵正交矩阵是一种重要的实矩阵，下面给出正交矩阵的定义。定义4 设n阶方阵A，如果，则称A为正交矩阵。定理2 A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列（或行）向量为的一组标准正交基。证 只证列向量情形。设其中则 因此的充必条件是；即A的列向量为的一组标准正交基。定理3 设A为n阶正交矩阵，则 （1） 或； （2） ； （3） 也为n阶正交矩阵。证（1） A为n阶正交矩阵。 所以 （2） 由知 （3）因为所以，也为n阶正交矩阵。例2 证明： 是的一个标准正交基。证 因为，所以是的一个标准正交基。 习 题 三 1、设，求。2、解向量方程，其中，3、判别下列向量组的线性相关性： （1） ；

25、 （2） ； （3） ； (4 ) 。4、试证：任意一个4维向量都可由向量组，线性表示，并且表示方式是唯一的，写出这种表示方式。5、证明：若线性无关，则也线性无关。6、设线性无关，证明也线性无关。7、证明：若线性无关，那么（1） 当时，线性相关；（2） 当时，线性无关。8、设是互不相同的实数，令求证：任一n维向量都可以由向量组线性表示。9、m个m+1维向量是否线性相关？10、如果线性相关，但其中任意三个向量都线性无关，证明必存在一组全不为0的数，使得 011、若线性无关，证明：线性无关的充要条件是不能由线性表示。12、求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性

26、表示。（1）；（2）；（3）；（4）。13、设。证明：向量组与向量组等价。14、设，问是不是的子空间，为什么？15、设。它们的一切线性组合记为证明：是的一个子空间，并求出的一个基。16、证明：是的一个基。并求出向量在基下的坐标。17、求下列矩阵的秩。 （1） （2）（3） （4）18、设A、B是同形矩阵，证明：A与B相抵的充分必要条件是r(A)=r(B)。19、k在实数范围内取何值时，下列向量正交。 （1）； （2）。20、把下列向量组正交化、单位化。 （1）； （2）。21、设，求一个单位向量X，使X与都正交。22、设都是n阶正交矩阵，证明（1） 也是正交矩阵；（2） 也是正交矩阵。23、证明：若A是正交矩阵，则A的伴随矩阵也是正交矩阵。24、设A是n阶正交矩阵。证明：对任意的n维列向量，均有25、设 证明：A是正交矩阵。 26、判别下列矩阵是否为正交矩阵 （1）； （2）。