储油罐的变位识别与罐容表标定模型.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流储油罐的变位识别与罐容表标定模型.精品文档.储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要 本文研究的是储油罐变位识别与罐容表标定的数学关系模型。对于问题一, 罐体没有纵向变位时， 在储油罐本身几何分析的基础上，建立无变位的油量体积V与标定表读数h的关系模型。计算出理论值，通过误差分析和线性拟合，求出系统误差和随机误差，修正了罐容表。在罐体有纵向变位时，将储油罐的纵向变位划分为三种不同情况，利用积分思想求解不同变位情况下的油量的理论体积。根据纵向倾斜参数建立有纵向变位的油量体积V与标定表读数h的关系模型。利用MATLAB软件和excel工具的解出油量体

2、积V的理论值。然后，充分考虑模型中系统误差和偶然误差的影响，重新标定了罐容表，给出间隔为1cm的罐容表标定表，解决了加油站罐容表无法准确反映储油量的问题。对问题二罐体，我们建立了纵向和横向同时发生时，标定表读数与油量的数学模型。我们不仅考虑了纵向变位的三种情况、横向变位的两种情况，而且考虑了纵向和横向变位同时发生的情况。利用积分思想建立模型，运用MATLAB软件对模型的不同情况进行了详细、精确的计算。然后充分结合误差分析，以平方误差最小原则对、采取搜索算法，得出实际变化值，并给出罐容表间隔为10cm的标定表。最后结合题目所给数据对所求数据进行检验。通过模型分析，结合系统误差与读数的函数关系。在

3、多次误差分析的基础上再对模型进行了检验，得到了理想结果。本文通过以上各模型的深入分析和研究，解决了储油罐变位时储油量与罐容表刻度不一致的问题，具有广泛的运用价值。在运用方法上，我们采用了系统误差和观察误差双重误差分析，线性回归、拟合相结合的误差分析法以及搜索法等方法的运用，提高了罐容表标定的精确度，大大增添了本文的的科学性和结构的严谨性。关键词：线性回归、拟合、MATLAB、误差分析、搜索法一、 问题的重述大部分加油站储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。所以我

4、们需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如问题A附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐

5、体变位后油位高度间隔10的罐容表标定值。进一步利用问题A附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、 基本假设1. 计算时候按油罐内部是光滑的计算；2. 油罐变位之前油面是与地面平行的；3. 油罐变位并没有引起油罐外形的变化；4. 题目中提供的实验数据准确可靠；5. 油浮子的大小忽略不计；6. 题目所给数据是内径数据；7. 根据题意假设油罐是左边下陷；8. 忽略油污等杂物对油位的影响。9. 在模型一中不考虑温度、压强等客观因素对油体积的影响；10. 在油罐没有变位时罐容表0刻度与油罐底部的距离就已经确定；11. 油罐发生变位时没有造成油罐等设施破损，引起油量的外泄；12

6、. 油始终不会溢出储油罐；13. 储油罐的两个球冠体同样大小。三、 符号说明：油量差值 ：未变位时椭圆储油罐的理论体积；：储油罐中实际的储油量； ：储油罐纵向变位的倾斜角度；：储油罐横向变位的偏转角度； ：椭圆储油罐未变位时横切面面积；：输油管等占据体积所引发的系统误差；是油位高度，即OQ的长；：模型二中压强、温度、管壁不平等引发的误差；：由于视觉度数不同所引发的误差；为油面到上顶端的距离，即OQ长度；(其余符号在模型中具体说明)四、 模型的建立与求解41问题一模型建立与求解（一）储油罐未发生变位误差分析椭圆油罐未变位时，建立直角坐标系如下：图1 直角坐标系注：小椭圆的实轴为X轴，虚轴为Y轴；

7、L为椭圆油罐的长度小椭圆油罐截面的方程为： 故： （1） 利用积分求解油在截面的面积： （油面高度） （2）椭圆油罐所装油的体积为： （3）由方程（2），（3）得： （4） 根据附件一的罐内油位高度数据求解椭圆油罐所装体积见（附件一）MATLAB运行程序见（附件二）所得数据与题目中数据对比，获得油量差值见（附件三）（二）模型分析在模型建立之前，我们首先对储油罐变位之前本身的误差进行分析，得到准确的油量与油位的偏差。然后才建立模型，该模型主要是在研究椭圆柱形储油罐纵向变位油量与油位的对应关系。为了全方位地分析油罐的纵向变位，我们将油罐划分为（0，）、（，）、（，3）三方面体积进行分类计算。我们具

8、体分析了储油罐本身的误差，然后结合系统误差与观察误差两方面进行了分析，并将油量与油位一一对应起来，标定油位高度间隔为1的罐容表进行标定。两方面误差的分析不失为本文的特色。（三）模型建立在此模型中我们主要考虑储油罐的纵向变化。而在纵向变化的过程中，我们又分为三种不同情况，即油面范围在（0，）、（，）、（，1.2m）（如图2）三个阶段。其中表示油面在（0，）、（，）两种情况下对应的油面和罐壁左侧的交点到左底角的距离，表示油面高度在（，1.2m）情况下对应的油面与罐壁右侧的交点到右顶角的距离，我们在模型中分别对这三个阶段进行详细分析。图2 关系划分三段标示图4.1.1第一部分：储油罐变位后油量体积计

9、算（h（0，）当油平面读数h（0，），下图是储油罐变位后油平面在（0，）位置的俯视图：图3 罐体俯视图注：平面ABC是油平面，面ABC截椭圆柱形得到锲形QABC，QABC体积即为油体积。首先对锲形建立直角坐标系如下：图4 楔形直角坐标系垂直于Y轴截锲形，得到一个长方形（如图4），是油位高度，即OQ的长度，且满足：，L为小椭圆油罐的长度；那么此长方形宽度为： （5）长方形的长为： （6） 易得长方形的面积共为： S(y)= (7)故有： (8) 对（8）式进行数学运算得到油罐此时的储油量表达式为: （9）且：图5 当测表刚好有度数时满足：当时：由图5知测表上不显示数据，即：，但可能存在一定量的油

10、；当时，与测表深度的关系： (10) 4.1.2第二部分：储油罐变位后油量体积计算（h（，）当油平面读数h（，）体积计算，下图是油平面在（，）之间位置的俯视图：图6 椭圆管体俯视图注：平面ABCD是油平面，面ABCD截椭圆柱形得到锲形QABCD的体积即为储油的实际体积。图7 将AC延长与QM交于点O；令AQ=hi，且满足: ；那么由4.1.1知锲形AQO的体积： （11）令CM=t，对于锲形CMO，同理可得： （12） 由于AQ=CM+AE,AE=CEtan,CE=L;那么 CM=hi-Ltan;故：t= hi-Ltan由（11）、（12）式得溶液的体积表达式为： （13）由前面（13）知道，

11、且，在这种情况下测表读数与之间关系 （14）4.1.3储油罐变位后油量体积计算（h（，3）当油平面读数h（，3）之间体积计算，储油罐变位后油平面在（，3）之间的俯视图为：图8 椭圆管体俯视图注：平面ABC为油平面，那么面ABC截椭圆柱形得到锲形QABC的体积即为未储油的体积，那么储油的体积就为整个储罐减去此锲形的体积。先对锲形建立直角坐标系如下：图9 椭圆管体直角坐标系垂直于Z轴截锲形，得到一个长方形（如图9），为油面沿右罐壁到上顶端的距离，即OQ=；h为油面刚好淹没测表时油面沿右侧罐壁到转角的距离；并且=；那么此长方形宽度为： （15）长方形的长为： （16）由（15）、（16）式得长方形的

12、面积表达式为：S(y)= 故有： 从上式中得到油罐此时的空余体积: （17）油罐的内容积表达式为： （18）将，带入（19）式得到：故储罐此时的储油量为: 即： （19）由（19）知道：当时，油溢出油罐，这种情况不存在； 当时， （20）（四）模型求解1、误差分析及刻度校正误差一般主要由系统误差和观察误差构成。我们必须进行误差分析，验证结果的准确性。我们这里将误差分析分为两大部分。第一部分：变为之前是否有误差的验证；第二部分：发生变位后误差的变化情况讨论，然后针对误差的差值对原有罐容表刻度进行校正，达到精确。1）椭圆形储油罐未发生变位时误差的验证为了验证储油罐未发生变位时是否存在误差，我们在M

13、ATLAB中利用利用线性回归的思想建立了误差与高对的对应关系。利用类似入下矩阵进行线性回归；X= ，y=，b=注：实际矩阵，回归分析及检验程序见（附件四）：其中=-0.0120，=0.1349；的置信区间为-0.0133,-0.0108, 的置信区间为0.1332,0.136；=1，=23081，=0，可得回归模型： 残差图作图程序：rcoplot(r,rint)MATLAB运行得到图像如下：图10 变位前残差图预测及作图程序（见附件四）如下：图形如下：图11变位前预测图误差值与测表读数的关系： 通过上述回归分析员检验，我们知道模型本身存在系统误差。在油罐未发生变位时，我们由表一、表二分析得到

14、每当进油量增加50L时，前一项的油量差值和后一项的油量差值在1.7或1.8两个定值间波动。如果是观察误差，油量差值就应该成正态分布，所以观察误差不考虑。而根据机理分析法可知，造成系统误差的主要原因主要有一下三点：1注（出）油管，油位探针等占用了油罐里的体积；2油罐的管壁厚度和油罐内部平整度差异；3忽略了压强，温度，液压等对油罐的影响故：那么对于变位前，读数与实际储油两之间的关系： （21）依据上述（21）式对原有数据进行校正，为下面变位分析误差奠定基础。2）储油罐发生变位后的误差情况讨论对数据进行拟合，实际就是求出类似于中的A= ，使得最小即可。用解超定方程的方法，此时R=；得到拟合图形如下：

15、图12 变位后拟合图形则拟合后的误差值与高度之间的函数式 ：由拟合图形可知，在系统误差的基础上，储油罐发生变位时系统误差也随之变化。2、模型求解（1）由误差分析，和模型建立知,变位后罐容表，分为以下4种情况（a）当： （22）（b）当时： （23）（c）当时：（24）（d）当时： （25）建立在模型误差分析的基础上，我们将储存油的实际体积与标度（）准确对应起来。利用（21）、（22）、（23）、（24）、（25）五式，经过程序（附件六）重新标定了间隔为1cm的罐容表标定值如下：罐容表长度显示油量L罐容表长度显 示油 量L罐容表长度显 示油 量L罐容表长度显 示油量L罐容表长度显 示油量L01.

16、725429.7481224.5732272.597327413.526461.2491264742315.6983312.826.327490501303.9752358.7993351.131028519.5511344.1762401.71003389.1414.829549.7521384.5772444.71013426.6520.730580.5531425.2782487.71023463.6627.931612541466.1792530.61033500.2736.332644.1551507.2802573.41043536.2846.233676.8561548.6812

17、6161053571.7957.434710571590.1822658.61063606.71070.235743.8581631.9832701.110736411184.436778.1591673.8842743.41083674.812100.337813601715.9852785.61093707.813117.838848.3611758.1862827.61103740.11413739884.1621800.5872869.41113771.715157.940920.36318438829111123802.516180.341957641885.7892952.4113

18、3832.417204.142994.1651928.4902993.61143861.418229431031.6661971.2913034.51153889.419255441069.4672014.1923075.21163916.320281.9451107.7682057.1933115.61173941.921309.8461146.3692100.1943155.71183976.722338.6471185.2702143.2953195.51193995.623368.248429.7712186.3963234.91204012.824398.6表一 间隔为1的罐容表标定

19、值注：当罐容表上没有刻度时，油容量小于或等于1.7L倾斜后，B在KC之间时（如下图所示），罐容表上就没有显示数据。图13 油量较少简图4.2问题二模型建立与求解（一）模型分析在这个模型中，我们主要分析储油罐纵向变位和横向变位后对罐容表读数的影响。我们知道在横向变位过程中，油罐里的液面相对地平线高度不会发生变化。在这个模型中首先将油罐分割成两部分，如图1所示（从m,n处切割），然后利用积分思想分别对不同部分求解体积，最后得到总体积，即可得到储油罐横向偏转罐内的油位高度与储油量之间的关系。在纵向变位过程中，我们将研究储油罐左端向下时的纵向变位，右端向下的变位情况以类似方法处理。在变位时，需要对可能

20、出现的油面进行分类（三类），利用积分思想进行求解。首先将罐体分成三部分，在分别对三部分求体积，最后到总体积，即可得到罐内的油位高度与储油量之间的关系。图14 罐体划分图（二）模型建立4.2.1罐体横向变位罐体横向变位我们分为两种情况。一是油面低于纵截圆半径，二是油面高于纵截圆半径。1）罐体横向变位油面低于纵截圆半径时：建立直角坐标系如下：图15 罐体横向变位分析图注：以发生变位前油位探针的方向为轴，以垂直于油位探针且平行油罐第一部分纵截圆为轴AB为油面，CD为油位探针，O为纵截圆圆心的平移点 H为探针测量的油高度，O为纵截圆的圆心令 ，所以油面相对地平线的高度d与探针测量的油高度的关系为：中间

21、部分（第一部分）的体积为： （26）球冠体（第二部分）的简图如下：图16 球冠体分析图又因为:得到： （27）根据勾股定理和对应坐标关系，得到球冠体方程为： （28）油罐（第一部分）部分纵截圆的方程为： 油罐球冠体纵截圆的方程为： （） (29)由方程（27），（29）可得： 根据三角关系求得切面页面的面积为： （30） 油罐两个球冠体的的体积为： 油罐的总体积为：= （31）R=1.5 ，带入（31）式化简方程得： （32） 2）罐体横向变位油面高于纵截圆半径时：同理可得： （33）4.2.2当罐体纵向变位图17 罐体划分图1）当油罐纵向变位，且罐容表时如图所示图18 罐容表纵向变位分析图（

22、1）注：B所在平面与E所在平面距离为1，ED=2 假设纵向变位角度为，所以根据勾股定理和正弦（切）定理三角形ABF的面积为： （34）特殊情况下圆弧AB所满足的半径关系: （35）圆弧AB的面积为: （36）由（34）、（35）、（36）得： + （37）斜纵向的最大高度： 所以ABEF所围成的图形（包括球罐的一部分）体积为： （38）2）当油罐纵向变位，且罐容表时简图所示图19 储油罐纵向变位分析图（2）根据勾股定理和三角函数关系AB的旋长长度 ： AB= GF的弧长长度： 梯形ABGF的面积： 圆弧AB所满足的半径关系如下：（39）圆弧AB的面积为 圆弧GF所满足的半径关系：圆弧GF的面积

23、为: + （40）斜纵向的高度 所以ABEFG所围成的图形（包括球罐的两部分）体积为： + （41）3）当油罐纵向变位，且罐容表时同理可得：整个球罐的体积为： 4.2.3罐体横纵向都变位 罐体横纵向变位看似是一个同时发生的事情，我们在此巧妙地将该变位过程转化为先纵向变位，再横向变位的两个过程。由上述的分析我们知道纵向变位有1）当时+ （42）2）当时： （43）3）当时:+ （44）4）当时：-+ （45）（四）模型求解1、误差分析基于附件二的数据，我们发现随着油位的下降，显示出来的油量容积与出油量之和与输出油前的容量不能完全相等，即。得到数据见附件十 根据所得数据和模型一未变位时的模型误差分

24、析可知，两端为球罐体的储油罐中即存在误差。如果只是存在系统误差，误差值就应该为线性变化。而在附件十二中数据显示，此处的误差不是线性变化，所以还存在观察误差。误差分为以下三方面：1） 误差一储油罐中出油管和油位探针占用了储油罐内部的体积，所以随着油面变化，油位高度与误差存在一个线性关系，并设为： ；2） 误差二油罐内部可能附有油垢或油罐内部表面不均匀，还有液压，温度对油罐的影响。对于这些不确定性因数，我们分析数据后，设其影响的误差函数关系式为：；3） 误差三储油罐纵向变位后读出体积始终比实际体积更大，但是在横向变位时，液面在大于或小于截圆的半径其变化不同，读出来的油位高度有一定的影响。根据附件二

25、的数据分析误差值与高度的函数关系式为：误差中液面高度变化与油量的关系为： MATLAB运算程序见附件十一，结果见附件十二利用附件二处理得全部数据将V（误差）进行求解，求解后在进行拟合（程序见附件十三）得到：不同流水号的误差见附件十二误差一：函数关系： 误差三：函数关系：2、搜索法确定参数值采用直接代值计算：利用搜索法求解的值。在不同油位高度的偏转度如下：流水号流水号流水号流水号2011.55013011.54094011.55344931.55222021.53233021.56114021.53224941.56032031.54223031.55234031.55014951.542220

26、41.54373041.53434041.56234961.53342051.56133051.55354051.58354971.55122061.55143061.56524061.5544981.55022071.57453071.57334071.54054991.57042081.52323081.55044081.56215001.5432091.56713091.55334091.55235011.55562101.55223101.53094101.54175021.5333表二 油位高度与横向偏角关系表直观看球罐发生纵向变位的液面时可看作是一个梯形(只考虑圆柱),当确定油量的

27、体积后(在附件二中进行加油前后的数据查找流水号为343和637最接近),改变,液面就会发生变化,这种时候的误差主要是误差三造成的.所以经过固定不同的油量体积和误差的分析就可求的值.分析附件二中的数据，显示的液面高度在（）利用体积和面积相等: 不同油位高度的倾斜度如下，计算程序见附件十二流水号流水号流水号流水号2012.29063012.28164012.28794932.28052022.28773022.29774022.29114942.28992032.30113032.29114032.22454952.28072042.33042.30124042.9874962.30442052.

28、29873052.28874052.29874972.29032062.29963062.28964062.29864982.29572072.27453072.29454072.26454992.27982082.2913082.29144082.29145002.28192092.2963092.28674092.29635012.29362102.28043102.29044102.29115022.2977表三 油位高度与纵向偏角关系表建立如图所示的简图(A,B,C为半径为X1的球面上)图20 储油罐横纵向变位图因为， 在旋OA上取两段长度分别为X2 X3的线段,且线段满足:而: (M

29、,N均为未知数)所以 代入上式得: （46）要满足在模型中，横、纵均变位时的误差值不会发生改变，就必须对多种情况的进行搜索算法分析。利用油面高度与体积给出的关系，带入多组数据，与（46）式结合，反解出值。确定的搜索范围 ， ，如图： 图21 搜索算法范围图坐标步长：1.为步长初步搜索 2优化点附近细化搜索（步长为）算法步骤： 1.将该搜索点代入搜索. （i=1,2,3.;j=1,2,3；k=1,2,3.） 2.得到的关系表。 3计算实际数据误差的平方和 4并符初值,，保留下 5.搜索完成,读出e对应的值3、对罐容表进行标定在此，我们利用的值利用（42）、（43）、（44）、（45）式重新标定了

30、间隔为10的罐容表标定值如下：罐容表长度（）显示油量（L）罐容表长度（）显示油量（L）罐容表长度（）显示油量（L）0152.1511021571.0222051304.0110228.3312024288.0123053613.0120342.513027066.0124055800.0230685.1214029639.0125057750.01403325.2315032625.0226059766.02505965.1516035488.0227064045.32608605.1417038233.0128066685.127010361.0118040986.0129069325.02

31、8013816.0119043681.0130071965.019016299.0120046320.0110018880.0121048867.01表四 间隔为10罐容表标定值（五）模型的正确性检验利用附件二中一次性补充进油后的数据进行检验。在模型二中，我们分析出其误差的总关系式为 (H为油位高度)要检验模型，就需要对一次性补充进油后的误差进行理想的判断，研究判断的值是否与误差关系式分析的误差值接近或相等。将一次性补充进油的数据代入模型中，运用MATLAB进行积分的运算程序见附件十四。（0，0）表示没有发生变位的理论体积。经过推到，我们得到误差1=误差2=运算的误差（一部分数据）流水号误差1

32、误差2流水号误差1误差2511136.3833136.0893611110.7344114.7835512136.1735135.8725612114.6763114.6936513135.9216135.7211613113.9876114.5197514134.8797135.4717614114.0345114.275515135.2928135.2627615113.7664113.9885516137.9349134.9209616114.0873113.7843517134.5892134.673617113.4213113.4412518134.3874134.380461811

33、2.9992113.1318519133.2876134.1886619112.3471112.737520134.1129134.0028620112.5057112.4897表五 储油罐误差统计表分析以上数据，直接运算误差值与误差关系运算的误差值非常接近（除流水号为516,611）出现流水号为516,611不符合，是因为在计算过程中难免会出现偶然误差。由于其它数据都完全符合，说明模型与方法是正确的。所以此模型的建立正确并具有相当大的推广性。五、 模型的评价、推广5.1模型优点：1） 系统误差和偶然误差的双重结合分析，使得结果准确可靠，大大提高了模型的精确度，使模型结果更具有说服力。同时，线

34、性回归和拟合的两种误差分析的方法的运用使得误差分析简单准确。不仅详细的误差分析是本文的特色，两种误差分析法的运用也不失为本文的特色。2） 在模型二中，利用搜索法确定参数的值。横纵向同时变化，搜索法的运用，将这一复杂过程简单化，并且结果准确。搜索法是本文特色之一。3） MATLAB和Excel工具的运用，不仅使得复杂的计算简单、快捷，而且还绝对准确。避免了人为计算的偶然性误差的产生。4） 模型假设巧妙，在不失合理的基础上使得模型不仅计算方法简便，而且思路清晰。同时，整个模型的集体思路非常清晰，罐体的横纵向变位情况划分清晰。5.2模型缺点：1） 在模型一中没有考虑温度、压强对油体积的影响，所以在一

35、定程度上存在偏差；2） 本题中我们利用的数据比较少，可能还存在误差。5.3模型推广 该模型是研究的加油站储油罐的变位识别与罐容表的标定问题，我们可以将这个模型运用于蓄水库、储油箱等需要测量液体体积的生产、生活中。参考文献1徐全智，杨晋浩, 数学建模(第二版)，北京:高等教育出版社， 20082余长安，大学数学考研题型精讲与解题技巧集粹，北京，科学出版社出版，20053赵静,但琦,数学建模与数学实验(第三版)，北京,高等教育出版社，20084管冀年，赵海，卧式储油罐内油品体积标定的实用方法，5周殿宏，王绍峰，如何计算卧式圆柱形清油罐清油储存容量，6王树禾，数学模型选讲，北京：科学教育出版社，20

36、087 韩中庚，数学建模竞赛获奖论文竞选与点评，北京：科学教育出版社8闵长玖、唐鹏、王俪蓉，数码相机定位模型，天府数学全国大学生数学建模竞赛四川赛区优秀论文选，第6期，101页104页2009年3月16日。附件附件一罐内油位高度数据求解椭圆油罐所装体积油位高度（)体积(L)油位高度()体积(L)油位高度()体积(L)油位高度()体积(L)159.02322.9323.15892.1462.621461.2594.352030.4176.14374.6336.44943.8474.781513606.222082.2192.59426.4349.57995.5486.891564.7618.09

37、2134208.50478.1362.561047.3498.951616.5629.962185.7223.93529.9375.421099.1510.971668.2641.852237.4238.97581.6388.161150.8522.951720653.752289.2253.66633.4400.791202.6534.901771.7665.672340.9268.04685.113.321254.3546.821823.5677.632392.7282.16736.8425.761306558.721875.2678.542396.6296.03788.6438.1213

38、57.8570.611927309.69840.3450.401409.5582.481978.7附件二a=0.89;b=0.6;L=2.45;H=0.15902,0.17614,0.19259,0.2085,0.22393,0.23897,0.25366,0.26804,0.28216,0.29603,0.30969,0.32315,0.33644,0.34957,0.36256,0.37542,0.38816,0.40079,0.41332,0.42576,0.43812,0.4504,0.46262,0.47478,0.48689,0.49895,0.51097,0.52295,0.5349,0.54682,0.55872,0.57061,0.58248,0.59435,0.60622,0.61809,0.62996,0.64185,0.65375,0.66567,0.67763,0.67854,0.69053;V1=a/b.*L.*(H-b).*sqrt(H.*(2.*b-H)+b2.*asin(H/b-1)