【3年中考2年模拟】山东省2013届中考数学 专题突破 5.2图形的相似（pdf） 新人教版.pdf

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1、? 多年前， 有人用简单的测量工具计算出赤道的长度这个人就是古希腊的埃拉托色尼埃拉托色尼博学多才， 不仅通晓天文， 而且熟知地理， 他还是诗人、 历史学家、 语言学家、 哲学家， 曾担任过亚历山大博物馆的馆长埃拉托色尼是首先使用“ 地理学” 名称的人， 从此代替传统的“ 地方志” ， 写成了三卷专著， 书中描述了地球的形状、 大小和海陆分布 图形的相似内容清单能力要求比例的基本性质能记住比例的基本性质， 会利用合比性质、等比性质线段的比、 比例线段能说出比例线段、 比例中项、 第四比例等概念黄金分割理解并掌握黄金分割点， 能确定线段的黄金分割点图形相似的概念会利用相似定义进行相似的判断相似图形

2、的性质正确说出相似图形的性质相似三角形的概念会利用相似三角形的定义进行相似三角形的判断两个三角形相似的条件掌握使两个三角形相似的条件， 能说出各个相似条件的联系利用位似将图形放大或缩小会利用位似性质进行图形的放大或缩小利用图形的相似解决一些实际问题利用相似性质解决实际问题 年山东省中考真题演练一、选择题 （ 烟台） 如图是跷跷板示意图， 横板犃 犅绕中点犗上下转动， 立柱犗 犆与地面垂直， 设点犅的最大高度为犺若将横板犃 犅换成横板犃 犅 ， 且犃 犅 犃 犅，犗仍为犃 犅 的中点， 设点犅 的最大高度为犺， 则下列结论正确的是（）犺 犺 犺 犺犺犺犺犺（ 第题）（ 第题） （ 潍坊） 如图，

3、 已知矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ， 在犅 犆上取一点犈， 沿犃 犈将犃 犅 犈向上折叠， 使点犅落在犃 犇上的点犉， 若四边形犈 犉 犇 犆与矩形犃 犅 犆 犇相似， 则犃 犇的长是（）槡 槡 槡 （ 泰安） 如图，犃 犅犆 犇，犈、犉分别为犃 犆、犅 犇的中点， 若犃 犅 ，犆 犇 ， 则犈 犉的长是（） （ 第题）（ 第题） （ 聊城） 如图， 在犃 犅 犆中， 点犇、犈分别是犃 犅、犃 犆的中点， 则下列结论不正确的是（）犅 犆 犇 犈 犃 犇 犈犃 犅 犆犃 犇犃 犈犃 犅犃 犆犛犃 犅 犆 犛犃 犇 犈（ 第题） （ 东营） 如图， 在直角坐标系中， 矩形犗 犃 犅 犆的顶点犗在

4、坐标原点， 边犗 犃在狓轴上，犗 犆在狔轴上， 如果矩形犗 犃 犅 犆 与矩形犗 犃 犅 犆关于点犗位似， 且矩形犗 犃 犅 犆 的面积等于矩形犗 犃 犅 犆面积的， 那么点犅 的坐标是（）（ ，） （， ）?埃拉托色尼还用经纬网绘制地图， 最早把物理学的原理与数学方法相结合， 创立了数理地理学细心的埃拉托色尼还发现： 离亚历山大城约 千米的塞恩城（ 今埃及阿斯旺附近） ， 夏日正午的阳光可以一直照到井底， 因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子但是， 亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子（， ） 或（ ，）（ ，） 或（， ） （ 日照） 在菱形犃 犅 犆 犇中，犈是边犅 犆上的点

5、， 连结犃 犈交犅 犇于点犉，若犈 犆 犅 犈， 则犅 犉犉 犇的值是（） （ 第题） （ 潍坊） 如图， 在犃 犅 犆中，犅 犆，犇 犈是它的中位线下面三个结论： （）犇 犈；（）犃 犇 犈犃 犅 犆； （）犃 犇 犈的面积与犃 犅 犆的面积之比为 其中正确的有（） 个 个 个 个 （ 泰安） 如图， 点犉是平行四边形犃 犅 犆 犇的边犆 犇上一点， 直线犅 犉交犃 犇的延长线与点犈， 则下列结论错误的是（）犈 犇犈 犃犇 犉犃 犅 犇 犈犅 犆犈 犉犉 犅犅 犆犇 犈犅 犉犅 犈犅 犉犅 犈犅 犆犃 犈（ 第题）（ 第题） （ 东营） 如图， 在犃 犅 犆中， 点犃、犅在狓轴的上方， 点犆

6、的坐标是（，）以点犆为位似中心， 在狓轴的下方作犃 犅 犆的位似图形犃 犅 犆， 并把犃 犅 犆的边长放大到原来的倍设点犅的对应点犅 的横坐标是犪， 则点犅的横坐标是（）犪 （犪 ）（犪 ）（犪 ）二、填空题 （ 滨州） 如图， 锐角三角形犃 犅 犆的边犃 犅、犃 犆上的高线犆 犈、犅 犉相交于点犇， 请写出图中的两对相似三角形：（ 用相似符号连结）（ 第 题）（ 第 题） （ 威海） 如图， 在平面直角坐标系中，犃 犅 犆的顶点坐标分别为（，） ， （，） ， （，）已知犃犅犆的两个顶点的坐标分别为（，） ， （，）若犃 犅 犆和犃犅犆位似， 则犃犅犆的第三个顶点的坐标为 （ 枣庄） 如图，

7、犇 犈为犃 犅 犆的中位线， 点犉在犇 犈上，且犃 犉 犅 ， 若犃 犅 ，犅 犆 ， 则犈 犉的长为（ 第 题） （ 滨州） 如图，犃、犅两点被池塘隔开， 在犃 犅外取一点犆， 连结犃 犆、犅 犆， 在犃 犆上取一点犕， 使犃 犕 犕 犆， 作犕犖犃 犅交犅 犆于点犖， 量得犕犖 ， 则犃 犅的长为（ 第 题）三、解答题 （ 莱芜） 如图， 抛物线狔犪 狓犫 狓犮（犪 ） 的顶点坐标为（， ） ， 并且与狔轴交于点犆（，） ， 与狓轴交于两点犃、犅（） 求抛物线的表达式；（） 设抛物线的对称轴与直线犅 犆交于点犇， 连结犃 犆、犃 犇，求犃 犆 犇的面积；（） 点犈为直线犅 犆上一动点， 过

8、点犈作狔轴的平行线犈 犉，与抛物线交于点犉问是否存在点犈， 使得以犇、犈、犉为顶点的三角形与犅 犆 犗相似若存在， 求出点犈的坐标；若不存在， 请说明理由（ 第 题） （ 日照） 如图， 在正方形犃 犅 犆 犇中，犈是犅 犆上的一点，连结犃 犈， 作犅 犉犃 犈， 垂足为犎， 交犆 犇于点犉， 作犆 犌犃 犈， 交犅 犉于点犌（） 求证犆 犌犅犎；（）犉 犆犅 犉犌 犉；（）犉 犆犃 犅犌 犉犌 犅（ 第 题）?埃拉托色尼认为： 直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发， 从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线， 其中的夹角应等于亚历

9、山大城的阳光与直立物形成的夹角按照相似三角形的比例关系， 已知两地之间的距离， 便能计算出赤道的长度 （ 聊城） 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中，犃 犅 ，犅 犆 ， 点犈、犉、犌分别从点犃、犅、犆三点同时出发， 沿矩形的边按逆时针方向移动， 点犈、犌的速度均为 ， 点犉的速度为 ， 当点犉追上点犌（ 即点犉与点犌重合） 时， 三个点随之停止移动设移动开始后第狋秒时，犈 犉 犌的面积为犛（ ）（） 当狋 秒时，犛的值是多少？（） 写出犛和狋之间的函数解析式， 并指出自变量狋的取值范围；（） 若点犉在矩形的边犅 犆上移动， 当狋为何值时， 以点犈、犅、犉为顶点的三角形与以点犉、犆、犌为顶点的三角

10、形相似？（ 第 题） 年全国中考真题演练一、选择题 （ 四川宜宾） 如图， 在四边形犃 犅 犆 犇中，犇 犆犃 犅，犆 犅犃 犅，犃 犅犃 犇，犆 犇犃 犅， 点犈、犉分别为犃 犅、犃 犇的中点，则犃 犈 犉与多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积之比为（） （ 第题）（ 第题） （ 湖北荆州） 下列 的正方形网格中， 小正方形的边长均为， 三角形的顶点都在格点上， 则与犃 犅 犆相似的三角形所在的网格图形是（） （ 台湾） 如图， 边长 的正方形犃 犅 犆 犇中， 有一个小正方形犈 犉 犌犎， 其中犈、犉、犌分别在犃 犅、犅 犆、犉 犇上若犅 犉 ，则小正方形的边长为（）槡 （ 第题）（ 第题） （

11、 黑龙江绥化） 如图， 在平行四边形犃 犅 犆 犇中，犈是犆 犇上的一点，犇 犈犈 犆， 连结犃 犈、犅 犈、犅 犇， 且犃 犈、犅 犇交于点犉， 则犛犇 犈 犉犛犈 犅 犉犛犃 犅 犉等于（） （ 贵州毕节） 如图， 在平面直角坐标系中， 以原点犗为位中心， 将犃 犅 犗扩大到原来的倍， 得到犃 犅 犗若点犃的坐标是（，） ， 则点犃 的坐标是（）（，） （ ， ）（ ， ）（ ， ）（ 第题）（ 第题） （ 江苏无锡） 如图， 四边形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆、犅 犇相交于点犗， 且将这个四边形分成、四个三角形若犗 犃犗 犆犗 犅犗 犇， 则下列结论中一定正确的是（）与相似 与相似与相似

12、与相似 （ 吉林） 如图， 在犃 犅 犆中，犆 ，犇是犃 犆上一点，犇 犈犃 犅于点犈， 若犃 犆 ，犅 犆 ，犇 犈 ， 则犃 犇的长为（） （ 第题）（ 第题） （ 浙江嘉兴） 如图， 已知犃 犇为犃 犅 犆的角平分线，犇 犈犃 犅交犃 犆于点犈， 如果犃 犈犈 犆， 那么犃 犅犃 犆等于（） ?埃拉托色尼测出夹角约为 ， 是圆周角 的五十分之一， 由此推算赤道的长度大约为万千米， 这与实际赤道的长度（ 千米）相差无几此外他还算出太阳与地球间距离为 亿千米， 和实际距离 亿千米也惊人地相近这充分反映了埃拉托色尼的学识和智慧二、填空题 （ 上海） 在犃 犅 犆中， 点犇、犈分别在犃 犅、犃

13、犆上，犃 犈 犇犅， 如果犃 犈，犃 犇 犈的面积为， 四边形犅 犆 犈 犇的面积为， 那么犃 犅的长为（ 第题）（ 第 题） （ 四川资阳） 如图，犗为矩形犃 犅 犆 犇的中心，犕为犅 犆边上一点，犖为犇 犆边上一点，犗 犖犗 犕， 若犃 犅 ，犃 犇 ， 设犗 犕狓，犗 犖狔， 则狔与狓的函数关系式为 （ 浙江衢州） 如图， 平行四边形犃 犅 犆 犇中，犈是犆 犇的延长线上一点，犅 犈与犃 犇交于点犉，犆 犇犇 犈若犇 犈 犉的面积为犪， 则平行四边形犃 犅 犆 犇的面积为（ 用犪的代数式表示）（ 第 题）（ 第 题） （ 湖南娄底） 如图， 在一场羽毛球比赛中， 站在场内犕处的运动员林丹

14、把球从犖点击到了对方内的犅点， 已知网高犗 犃 米，犗 犅米，犗犕米， 则林丹起跳后击球点犖离地面的距离犖犕米 （ 辽宁丹东） 已知四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 则图中相似的三角形有对（ 第 题）（ 第 题） （ 江苏苏州） 如图， 已知犃 犅 犆是面积为槡 的等边三角形，犃 犅 犆犃 犇 犈，犃 犅 犃 犇，犅 犃 犇 ，犃 犆与犇 犈相交于点犉， 则犃 犈 犉的面积等于（ 结果保留根号） （ 安徽芜湖） 如图， 光源犘在横杆犃 犅的正上方，犃 犅在灯光下的影子为犆 犇，犃 犅犆 犇，犃 犅 ，犆 犇 ， 点犘到犆 犇的距离是 ， 则犃 犅与犆 犇间的距离（ 第 题）（ 第 题） （

15、上海） 如图， 在犃 犅 犆中， 点犇在边犃 犅上， 满足犃 犆 犇犃 犅 犆， 若犃 犆 ，犃 犇 ， 则犇 犅三、解答题 （ 广东梅州） 如图，犃 犆是犗的直径， 弦犅 犇交犃 犆于点犈（） 求证：犃 犇 犈犅 犆 犈；（） 如果犃 犇犃 犈犃 犆， 求证：犆 犇犆 犅（ 第 题） （ 广西柳州） 如图，犃 犅是犗的直径，犃 犆是弦（） 请你按下面步骤画图（ 画图或作辅助线时先使用铅笔画出， 确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑） ；第一步， 过点犃作犅 犃 犆的角平分线， 交犗于点犇；第二步， 过点犇作犃 犆的垂线， 交犃 犆的延长线于点犈；第三步， 连结犅 犇（） 求证：犃 犇犃 犈犃

16、犅；（） 连结犈 犗， 交犃 犇于点犉， 若犃 犆 犃 犅， 求犈 犗犉 犗的值（ 第 题） （ 安徽） 如图， 已知犃 犅 犆犃犅犆， 相似比为犽（犽 ） ， 且犃 犅 犆的三边长分别为犪，犫，犮（犪犫犮） ，犃犅犆的三边长分别为犪，犫，犮（） 若犮犪， 求证：犪犽 犮；（） 若犮犪， 试给出符合条件的一对犃 犅 犆和犃犅犆，使得犪，犫，犮和犪，犫，犮都是正整数， 并加以说明；（） 若犫犪，犮犫， 是否存在犃 犅 犆和犃犅犆使得犽？请说明理由（ 第 题）?埃尔米特是 世纪最伟大的代数几何学家， 但是他大学入学考试重考了五次， 每次失败的原因都是数学考不好埃尔米特大学几乎没能毕业， 每次考不好

17、也都是为了数学那一科他大学毕业后考不上任何研究所， 因为考不好的科目还是数学数学是埃尔米特一生的至爱， 但是数学考试却是他一生的噩梦趋势总揽图形的相似这一知识点是平面几何中极为重要的内容， 是中考数学中的重点考查内容， 近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少， 但作为一种解决问题的工具， 在解题中必不可少故考生加强此知识点的训练也很重要相似形应用广泛， 与三角形、 平行四边形联系紧密估计 年中考的填空题、 选择题将注重对“ 相似三角形的判定与性质” 等基础知识的考查， 解答题中将加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度， 一般所占分值约占全卷分值的 左右高分锦囊 要掌握基础知识和基本

18、技能 运用相似的知识解决一些实际问题， 要能够在理解题意的基础上， 把它转化为纯数学知识的问题， 要注意培养数学建模的思想 在综合题中， 注意相似知识的灵活运用， 并熟练掌握等线段代换、 等比代换、 等量代换技巧的应用， 培养综合运用知识的能力 判定三角形相似的几条思路（） 条件中若有平行线， 可采用相似三角形的基本定理；（） 条件中若有一对等角， 可再找一对等角或再找夹边成比例；（） 条件中若有两边对应成比例， 可找夹角相等；（） 条件中若有一对直角， 可考虑再找一对等角或证明斜边、 直角边对应成比例；（） 条件中若有等腰关系， 可找顶角相等， 可找一对底角相等， 也可找底和腰对应成比例常考

19、点清单一、相似图形的性质 相似多边形的性质性质： 相似多边形对应角， 对应边的相等；性质： 相似多边形周长的比等于；性质： 相似多边形面积的比等于的平方 相似三角形的性质性质： 相 似 三 角 形 的 对 应 角 ， 对 应 边 的 比；性质： 相似三角形周长的比等于；性质： 相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比等于；性质： 相似三角形的面积比等于的平方二、相似三角形的判定判定： 如果两个三角形的三组对应边的比， 那么这两个三角形相似；判定： 如果两个三角形的两组对应边的比， 并且相应的相等， 那么这两个三角形相似；判定： 两组对应角的两个三角形相似；判定： 平行于三角形一边的直线和其他

20、两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似三、位似图形如果两个多边形不仅， 而且对应顶点的连线相交于， 对应边， 那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做易混点剖析 黄金分割如图（） ， 点犆为线段犃 犅上一点，犃 犆犅 犆， 若犃 犆犃 犅犅 犆， 则点犆为线段犃 犅的分割点，犃 犆犃 犅，犅 犆犃 犅， 一条线段有个黄金分割点图（） 相似基本图形图（）图（）图（）（） 如图（） ， 若犇 犈犅 犆， 则犃 犇 犈；（） 如图（） ， 若犈 犇犅 犆， 则犈 犃 犇；（） 如图（） ， 若犃 犈 犇犅， 则犃 犇 犈 图形的相似与位似： 位似是特殊的相似， 与相似不同的是对应顶点的连线一点

21、， 但相似图形未必都位似 相似三角形的周长比等 于 ， 面 积 比 等 于对应边上高的比等于相似比， 对应的比等于相似比易错题警示【 例】（ 江苏连云港） 如图， 甲、 乙两人分别从犃（，槡 ） 、犅（，） 两点同时出发， 点犗为坐标原点， 甲沿犃 犗方向、 乙沿犅 犗方向均以 的速度行驶，狋后， 甲到达犕点， 乙到达犖点（） 请说明甲、 乙两人到达犗点前，犕犖与犃 犅不可能平行（） 当狋为何值时，犗犕犖犗 犅 犃？?不过这无法改变他的伟大： “ 共轭矩阵” 的概念是他先提出来的人类一千多年来解不出“ 五次方程式的通解” ， 是他先解出来的； 自然对数的“ 超越数性质” ， 全世界他是第一个证

22、明出来的人埃尔米特的一生证明“ 一个不会考试的人， 仍然能有杰出的人生” ， 并且更奇妙的是不会考试成为他一生的祝福【 解析】此题综合考查了坐标与图形、 相似三角形的判定与性质、 分类讨论数学思想的应用等知识点， 难度较大（） 用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长度， 根据三角形相似得比例式说明；（） 根据两个点到达犗点的时间不同分段讨论解答； 本题最大误区是易漏解【 答案】（） 因为犃坐标为（，槡 ） ，所以犗 犃 ，犃 犗 犅 因为犗犕 狋，犗 犖 狋，当 狋 狋时， 解得狋 ，即在甲、 乙两人到达犗点前， 只有当狋时，犗犕犖犗 犃 犅， 所以犕犖与犃 犅不可能平行；（） 因为甲达

23、到犗点时间为狋， 乙达到犗点的时间为狋， 所以甲先到达犗点， 所以狋或狋时，犗、犕、犖三点不能连结成三角形，当狋时， 如果犗犕犖犗 犃 犅， 则有 狋 狋，解得狋 ， 所以，犗犕犖不可能相似于犗 犅 犃；当狋时，犕 犗 犖 犃 犗 犅， 显然犗犕犖与犗 犅 犃不相似；当狋时，狋 狋 ， 解得狋 ， 所以当狋 时，犗 犕犖犗 犅 犃【 例】（ 江苏南通） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ， 点犇是犅 犆边的中点点犘从点犅出发， 以犪 （犪 ） 的速度沿犅 犃匀速向点犃运动； 点犙同时以 的速度从点犇出发， 沿犇 犅匀速向点犅运动， 其中一个动点到达端点时， 另一个动点也随之停止运

24、动， 设它们运动的时间为狋 若犪 ，犅 犘 犙犅 犇 犃， 求狋的值【 解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质、 菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识此题难度较大， 注意数形结合思想与方程思想的应用由犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 厘米，犅 犆 厘米，犇是犅 犆的中点， 根据等腰三角形三线合一的性质， 即可求得犅 犇与犆 犇的长， 又由犪，犅 犘 犙犅 犇 犃， 利用相似三角形的对应边成比例， 即可求得狋的值【 答案】犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ，犇是犅 犆的中点，犅 犇犆 犇 ，犅 犆 犪 ，犅 犘 狋 ，犇 犙狋 犅 犙犅 犇犙 犇 狋（ ）犅 犘 犙犅 犇

25、 犃，犅 犘犅 犇犅 犙犅 犃即 狋 狋 解得狋 年山东省中考仿真演练一、选择题（ 第题） （ 淄博一模） 如图， 在一个由 个小正方形组成的正方形网格中， 阴影部分面积与正方形犃 犅 犆 犇的面积比是（） （ 东阿县一模） 在 犃 犅 犆的直角边犃 犆边上有一动点犘（ 点犘与点犃、犆不重合） ， 过点犘作直线截得的三角形与犃 犅 犆相似， 满足条件的直线最多有（） 条 条 条 条 （ 烟台一模） 如图，犇 犈 犉的边长分别为，槡 ， 正六边形网格是由 个边长为的正三角形组成的， 以这些正三角形的顶点为顶点画犃 犅 犆， 使得犃 犅 犆犇 犈 犉如果相似比犽， 那么犽的不同的值共有（） 个 个

26、 个 个（ 第题）（ 第题）?其实， 埃尔米特的数学并不是真的那么差劲， 只是他认为， 当地的数学教学氛围死气沉沉， 而数学课本就像一堆废纸， 所谓数学成绩好的人， 都是一些二流头脑的人， 因为他们只懂得生搬硬套！所以他从小就是个问题学生， 上课时老爱找老师辩论， 尤其是一些基本的问题 （ 山东实验中学） 已知： 如图， 无盖无底的正方体纸盒犃 犅 犆 犇犈 犉 犌犎，犘、犙分别为棱犉 犅、犌 犆上的点， 且犉 犘犘 犅、犌 犙犙 犆， 若将这个正方体纸盒沿折线犃 犘犘 犙犙犎裁剪并展开， 得到的平面图形是（）一个六边形 一个平行四边形两个直角三角形一个直角三角形和一个直角梯形二、填空题（ 第

27、题） （ 聊城一模） 将三角形纸片（犃 犅 犆） 按如图所示的方式折叠， 使点犅落在边犃 犆上， 记为点犅 ， 折痕为犈 犉已知犃 犅犃 犆 ，犅 犆 ， 若以点犅 、犉、犆为顶点的三角形与犃 犅 犆相似， 那么犅 犉的长度是 （ 德州一模） 如图，狀 个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上， 设犅犇犆的面积为犛，犅犇犆的面积为犛， ，犅狀 犇狀犆狀的面积为犛狀， 则犛狀（ 用含狀的式子表示）（ 第题） （ 东营五模） 如图，犃、犅、犆分别是犅 犆、犃 犆、犃 犅的中点，犃、犅、犆分别是犅犆、犃犆、犃犅的中点这样延续下去已知犃 犅 犆的周长是，犃犅犆的周长是犔，犃犅犆的周长是犔， ，犃狀犅狀

28、犆狀的周长是犔狀， 则犔狀（ 第题）（ 第题） （ 威海二模） 已知， 方格纸内有四个相同的正方形， 则 三、解答题 （ 山东省德州四模） 在直角坐标系中，犗为坐标原点， 点犃的坐标为（，） ， 点犆是线段犗 犃上的一个动点（ 不运动至犗、犃两点） ， 过点犆作犆 犇狓轴， 垂足为犇， 以犆 犇为边在右侧作正方形犆 犇 犈 犉连结犃 犉并延长交狓轴的正半轴于点犅，连结犗 犉， 设犗 犇狋（） 求 犉 犗 犅的值；（） 用含狋的代数式表示犗 犃 犅的面积犛；（） 是否存在点犆， 使以犅、犈、犉为顶点的三角形与犗 犉 犈相似， 若存在， 请求出所有满足要求的点犅的坐标； 若不存在， 请说明理由（

29、第题） （ 德州模拟） 如图， 在犃 犅 犆中，犃 犅 犆犆 犃 犅 ， 将犃 犅 犆绕点犃顺时针旋转度（ ） 得到犃 犇 犈， 连结犆 犈， 线段犅 犇（ 或其延长线） 分别交犃 犆、犆 犈于点犌、犉（） 求证：犃 犅 犌犉 犆 犌；（） 在旋转的过程中， 是否存在一个时刻， 使得犃 犅 犌与犉 犆 犌全等？若存在， 求出此时旋转角的大小（ 第 题） 年全国中考仿真演练一、选择题 （ 湖北荆州中考模拟） 在直角坐标系中， 已知犗（，） ，犃（，） ，犅（，） ，犆（，） ，犇为狓轴上一点若以犇、犗、犆为顶点的三角形与犃 犗 犅相似， 这样的犇点有（） 个 个 个 个（ 第题） （ 安徽淮南市

30、洞山中学第四次质量检测） 如图，犈（ ，） ，犉（ ，） ， 以犗为位似中心， 按比例尺 ，把犈 犗 犉缩小， 则点犈的对应点犈 的坐标为（）（， ） 或（ ，） （， ） 或（ ，）（， ）（， ） （ 广西贵港模拟） 小刚身高 ， 测得他站立在阳光下的影子长为 ， 紧接着他把手臂竖直举起， 测得影子长为 ， 那么小刚举起的手臂超出头顶（） （ 湖北黄州中学二模） 如图，犇、犈分别是犃 犅 犆的边犃 犅、犃 犆上的点，犇 犈犅 犆， 且犛犃 犇 犈犛犃 犅 犆 ， 则犃 犇犃 犅等于（）?埃尔米特尤其痛恨考试， 因为他一旦考糟了， 老师就会用木条打他的脚， 这也是他痛恨数学考试的原因之一埃尔

31、米特在后来的文章中写道： “ 达到教育的目的是用头脑， 又不是用脚， 打脚有什么用？打脚可以使人头脑更聪明吗！ ” （ 第题）（ 第题） （ 北京门头沟区模拟） 如图， 在矩形犃 犅 犆 犇中，犗是对角线犃 犆、犅 犇的交点， 点犈、犉分别是犗 犇、犗 犆的中点如果犃 犆 ，犅 犆 ， 那么犈 犉的长为（） 二、填空题 （ 浙江杭州中考数学模拟） 已知犃 犅 犆与犇 犈 犉相似且相似比为 ， 则犃 犅 犆与犇 犈 犉的面积比为 （ 四川泸县春期福集镇青龙中学中考模拟） 如图， 为了测量某棵树的高度， 小明用长为的竹竿做测量工具， 移动竹竿， 使竹竿、 树的顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹

32、竿与这一点相距， 与树相距 ， 则树的高度为（ 第题）（ 第题） （ 浙江瑞安市模考） 如图，犃 犅 犆中，犃 犅犃 犆，犇、犈两点分别在边犃 犆、犃 犅上， 且犇 犈与犅 犆不平行请填上一个獉獉你认为合适的条件：， 使犃 犇 犈犃 犅 犆（ 不再添加其他的字母和线段） （ 重庆外国语学校模拟） 已知犃 犅 犆与犇 犈 犉相似且面积之比为 ， 则犃 犅 犆与犇 犈 犉的对应边上的高比为 （ 长沙五模） 如图，犃、犅、犆分别是犅 犆、犃 犆、犃 犅的中点，犃、犅、犆分别是犅犆、犃犆、犃犅的中点这样延续下去已知犃 犅 犆的周长是，犃犅犆的周长是犔，犃犅犆的周长是犔， ，犃狀犅狀犆狀的周长是犔狀，

33、则犔狀（ 第 题）（ 第 题） （ 湖北黄州中学二模） 如图， 方格纸内有四个相同的正方形， 则 三、解答题 （ 安徽安庆一模） 每个小方格是边长为个单位长度的小正方形， 菱形犗 犃 犅 犆在平面直角坐标系中的位置如图所示（） 以犗点为位似中心， 在第一象限内獉獉獉獉獉獉将菱形犗 犃 犅 犆放大为原来的獉獉倍得獉獉到菱形犗 犃犅犆， 请画出菱形犗 犃犅犆，并直接写出点犅的坐标（） 将菱形犗 犃 犅 犆绕原点犗顺时针旋转 ， 得到菱形犗 犃犅犆， 请画出菱形犗 犃犅犆， 并求出点犅旋转到犅的路径长（ 第 题） （ 海南省中考数学科模拟） 如图， 抛物线狔犪 狓犫 狓犮交狓轴于犃、犅两点， 交狔轴

34、于点犆， 对称轴为直线狓， 已知：犃（ ，） 、犆（， ）（） 求抛物线狔犪 狓犫 狓犮的解析式；（） 求犃 犗 犆和犅 犗 犆的面积比；（） 在对称轴上是否存在一个犘点， 使犘 犃 犆的周长最小若存在， 请你求出点犘的坐标； 若不存在， 请你说明理由（ 第 题）?古希腊第一位伟大的数学家泰勒斯， 曾利用太阳影子成功地计算出了金字塔的高度， 实际上利用的就是相似三角形的性质在泰勒斯之后， 以毕达哥拉斯为首的一批学者， 对数学做出了极为重要的贡献发现“ 勾股定理” 是他们最出色的成就之一， 因此直到现在，西方人仍然把勾股定理称为“ 毕达哥拉斯定理”正是这个定理， 导致了无理数的发现 （ 安徽巢湖

35、七中模拟） 如图， 点犃、犅、犆、犇在犗上，犃 犅犃 犆，犃 犇与犅 犆相交于点犈，犃 犈犈 犇， 延长犇 犅到点犉， 使犉 犅犅 犇， 连结犃 犉（） 证明犅 犇 犈犉 犇 犃；（） 试判断直线犃 犉与犗的位置关系， 并给出证明（ 第 题） 如图， 在等边犃 犅 犆中，犇为边犅 犆上一点，犈为边犃 犆上一点， 且犃 犇 犈 ，犅 犇 ，犆 犈 ， 则犃 犅 犆的边长为（） （ 第题） 已知犃 犅 犆的三边长分别为 、 、 ， 现要利用长度分别为 和 的细木条各一根， 做一个三角形木架与犃 犅 犆相似， 要求以其中一根为一边， 将另一根截成两段（ 允许有余料） 作为另外两边， 那么另外两边的长

36、度（ 单位： ） 分别为（） 、 、 或 、 、 、 或 、 犃 犅 犆的三边长分别为槡 ，槡 ，犃 犅 犆 的两边长分别为，槡 ， 如果犃 犅 犆犃 犅 犆 ， 那么犃 犅 犆 的周长为应等于（） 槡 槡 槡 槡 槡 如图， 在犃 犅 犆中，犇、犈、犉分别是犃 犅、犅 犆、犆 犃的中点， 若犃 犅 犆的周长为 ， 则犇 犈 犉的周长是 （ 第题） 如图， 在锐角三角形犃 犅 犆中，犅 犆，犛犃 犅 犆 两动点犕、犖分别在边犃 犅、犃 犆上滑动， 且犕犖犅 犆， 以犕犖为边向下作矩形犕犘 犙 犖， 设犕犖长为狓， 矩形犕犘 犙 犖与犃 犅 犆公共部分的面积为狔（狔 ） ， 当狓， 公共部分面积

37、狔最大，狔最大值（ 第题） 如图， 在梯形犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆，犈是犃 犅上一点，犈 犉犅 犆，并且犈 犉将梯形犃 犅 犆 犇分成的两个梯形犃 犈 犉 犇，犈 犅 犆 犉相似，若犃 犇 ，犅 犆 ， 求这两个梯形的面积之比（ 第题） 图形的相似年考题探究 年山东省中考真题演练 解析 作犅 犇垂直犃 犆的延长线于点犇犗为犃 犅的中点，犗 犆犃 犇，犅 犇犃 犇，犗 犆犅 犇犗 犆是犃 犅 犇的中位线犺 犗 犆同理， 当将横板犃 犅换成横板犃 犅 ， 且犃 犅 犃 犅，犗仍为犃 犅 的中点， 设点犅 的最大高度为犺， 则犺 犗 犆犺犺 解析 设犃 犇狓犃 犅 ，犉 犇狓 ，犉 犈 四边形

38、犈 犉 犇 犆与矩形犃 犅 犆 犇相似，犈 犉犉 犇犃 犇犃 犅， 即狓 狓解得狓槡 ，狓槡 （ 负值舍去）经检验，狓槡 是原方程的解 解析 如图， 连结犇 犈并延长交犃 犅于点犎（ 第题）犆 犇犃 犅，犆犃，犆 犇 犈犃犎犈犈是犃 犆中点，犇 犈犈犎犇 犆 犈犎犃 犈 犇 犆犃犎犉是犅 犇中点，犈 犉是三角形犇犎犅的中位线 犈 犉犅犎犅犎犃 犅犃犎犃 犅犇 犆 犈 犉 解析 由三角形中位线定理可得犅 犆犇 犈， 故正确； 由三角形中位线定理可得犇 犈犅 犆， 故犃 犇 犈犃 犅 犆， 故正确；犃 犇 犈犃 犅 犆， 由相似三角形的性质， 可得犃 犇犃 犅犃 犈犃 犆， 即犃 犇犃 犈犃 犅犃

39、 犆， 故正确； 由犃 犇 犈犃 犅 犆， 可得犛犃 犇 犈犃 犅 犆犃 犈犃 犆， 所以犛犃 犅 犆犛犃 犇 犈故选项错误 解析矩形犗 犃 犅 犆 的面积等于矩形犗 犃 犅 犆面积的，犗 犃犗 犃 犃 犅犃 犅 犃 犅 ，犗 犃 犅 （ ，） 或（， ） 解析在菱形犃 犅 犆 犇中，犃 犇犅 犆， 且犃 犇犅 犆，犅 犈 犉犇 犃 犉 犅 犉犉 犇犅 犈犃 犇犈 犆 犅 犈，犅 犆 犅 犈， 即犃 犇 犅 犈犅 犉犉 犇犅 犈犃 犇 解析 由三角形中位线定理得犇 犈犅 犆 ， 故（）正确犇 犈犅 犆，犃 犇 犈犃 犅 犆， 故（） 正确犃 犇 犈犃 犅 犆，犛 犃 犇 犈犛 犃 犅 犆犇 犈

40、（ ）犅 犆（ ）， 故（） 正确 解析 由四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 可得犆 犇犃 犅，犃 犇犅 犆，犆 犇犃 犅，犃 犇犅 犆， 然后根据平行线分线段成比例定理， 对各项进行分析即可求得答案 解析 如图，犃 犅 犆变换为犃 犅 犆的变换为：犃 犅 犆关于犆 点对称犃 犅 犆扩大 倍犃 犅 犆， 因此点犅 的横坐标是犪还原为点犅的横坐标的变换为：犅 （犪）缩小（犪 ） 的 犅 （犪 （）关于犆点对称 （犪 ）犅（犪 （） 犅 犇 犈犆 犇 犉，犃 犅 犉犃 犆 犈 解析 由于犅 犈 犆 犆 犉 犇 ，犈 犇 犅 犉 犇 犆，所 以犅 犇 犈犆 犇 犉； 由于犅 犈 犆 犆 犉 犇 ，

41、犃 犃， 所以犃 犅 犉犃 犆 犈 （，） 或（，） 解析 已知线段与线段犃 犆是对应线段， 点犃和点犆的对应点都有两个， 依次连结对应点的连线交于一点， 这一交点即为位似中心， 连结位似中心与点犅得到直线， 由线段犃 犆与已知线段的长度之比为 ， 知相似比为 在连线上找到相似比为的点，从而确定点的坐标分别为（，） 或（，） 解析犇 犈为犃 犅 犆的中位线，犅 犆 ，犇 犈 又犃 犉 犅 ，犃 犅 ，犇 犉是斜边的中线，犇 犉 犈 犉犇 犈犇 犉 （） 由题意可设抛物线的表达式为狔犪（狓 ） 点犆（，） 在抛物线上，犪（ ） ， 解得犪 抛物线的表达式为狔（狓 ） ，即狔狓 狓 （） 令狔 ，

42、 即狓 狓 ， 解得狓 ，狓 犃（，） ，犅（，）设犅 犆的解析式为狔犽 狓犫将犅（，） 、犆（，） 代入， 得犽犫 ，犫 ，解得犽 犫 直线犅 犆的解析式为狔狓 当狓 时，狔 ，犇（，）犛犃 犆 犇犛犃 犅 犆犛犃 犅 犇 （） 假设存在点犈， 使得以犇、犈、犉为顶点的三角形与犅 犆 犗相似犅 犆 犗是等腰直角三角形，以犇、犈、犉为顶点的三角形也是等腰直角三角形由犈 犉犗 犆， 得犇 犈 犉 故以犇、犈、犉为顶点的等腰直角三角形只能以点犇、犉为直角顶点当犉为直角顶点时，犇 犉犈 犉， 此时犇 犈 犉犅 犆 犗，犇 犉所在直线为狔 由狔狓 狓 ，狔 ，解得狓槡 将狓槡 代入狔狓 ， 得狔槡 犈

43、（槡 ，槡 ）将狓槡 代入狔狓 ， 得狔槡 犈（槡 ，槡 ）当犇为直角顶点时，犇 犉犈 犇， 此时犈 犉 犇犅 犆 犗点犇在对轴上，犇 犃犇 犅犆 犅 犃 ，犇 犃 犅 犃 犇 犅 犃 犇犅 犆， 故点犉在直线犃 犇上设犃 犇的解析式为狔犽 狓犫， 将犃（，） 、犇（，） 代入，得犽犫 ，犽犫 ，解得犽 ，犫 直线犃 犇的解析式为狔狓 由狔狓 狓 ，狔狓 ，解得狓 ，狓 将狓 代入狔狓 ， 得狔 犈（，）将狓 代入狔狓 ， 得狔 犈（， ）综上所述， 点犈的坐标可以为（槡 ，槡 ） ， （槡 ，槡 ） ， （，） ， （， ） （）犅 犉犃 犈，犆 犌犃 犈，犆 犌犅 犉在正方形犃 犅 犆 犇

44、中，犃 犅犎犆 犅 犌 ，犆 犅 犌犅 犆 犌 ，犅 犃犎犃 犅犎 ，犅 犃犎犆 犅 犌，犃 犅犎犅 犆 犌又犃 犅犅 犆，犃 犅犎犅 犆 犌犆 犌犅犎（）犅 犉 犆犆 犉 犌，犅 犆 犉犆 犌 犉 ，犆 犉 犌犅 犉 犆犉 犆犅 犉犉 犌犉 犆，即犉 犆犅 犉犌 犉（）由（） 可知犅 犆犌 犅犅 犉犃 犅犅 犆，犃 犅犌 犅犅 犉犉 犆犅 犆犌 犉犅 犉犌 犅犅 犉犌 犉犌 犅， 即犉 犆犃 犅犌 犉犌 犅 （） 如图， 当狋时，犃 犈，犈 犅 ，犅 犉，犉 犆，犆 犌 ，犛犛梯形犈 犅 犆 犌犛犈 犅 犉犛犉 犆 犌（ ） （ 第 题）（） 如图， 当 狋 时， 点犈、犉、犌分别在犃 犅、

45、犅 犆、犆 犇上移动， 此时犃 犈 狋，犈 犅 狋，犅 犉 狋，犉 犆 狋，犆 犌狋，犛 狋 狋 （ 狋 ）如图， 当点犉追上点犌时，狋 狋 ， 解得狋 ， 当 狋 时，犆 犉 狋 ，犆 犌 狋，犉 犌犆 犌犆 犉 狋， 即犛 狋 （ 狋 ）（） 如图， 当点犉在矩形的边犅 犆上移动时， 狋 在以点犈、犅、犉为顶点的三角形与以犉、犆、犌为顶点的三角形中，犅犆 若犈 犅犉 犆犅 犉犆 犌， 即 狋 狋狋狋， 解得狋又狋满足 狋 ， 所以当狋时，犈 犅 犉犌 犆 犉若犈 犅犌 犆犅 犉犆 犉， 即 狋狋狋 狋， 解得狋又狋满足 狋 ， 所以当狋时，犈 犅 犉犌 犆 犉综上所知， 当狋或时， 以点犈

46、、犅、犉为顶点的三角形与以犉、犆、犌为顶点的三角形相似 年全国中考真题演练 解析 过犇作犇 犕犃 犅于犕， 过犉作犉 犖犃 犅于犖，四边形犇 犆 犅犕是矩形设犇 犆犪，犉 犖犫， 则犃 犇犃 犅 犪，犅 犆犇犕 犫犃 犈 犉的面积是：犃 犈犉 犖犪 犫多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积是犛梯形犃 犅 犆 犇犛犃 犈 犉（犇 犆犃 犅）犅 犆犪 犫（犪 犪） 犫犪 犫犪 犫犃 犈 犉与多边形犅 犆 犇 犉 犈的面积之比为 解析 三边对应成比例的两个三角形相似 解析 在犅 犈 犉与犆 犉 犇中， 且犅犆 ，犅 犈 犉犆 犉 犇 解析犇 犈 犉犅 犃 犉， 再利用面积比等于相似比的平方注意犇 犈 犉与犈

47、 犅 犉高相等它们的面积比就是犇 犉与犅 犉之比 解析犃 点坐标是犃点坐标的倍， 又犃 点在第三象限， 所以犃 点坐标是（ ， ） 解析犗 犃犗 犆犗 犅犗 犇且犃 犗 犅犆 犗 犇，与两个三角形相似 解析 利用勾股定理求出犃 犅 ， 再利用犃 犅 犆犃 犇 犈， 求出犃 犇 解析犇 犈犃 犅，犃 犇为犃 犅 犆的角平分线，犃 犈犇 犈犃 犅犃 犆犇 犈犈 犆犃 犈犈 犆 解析犃 犈 犇犅，犃是公共角，犃 犇 犈犃 犆 犅 犛犃 犇 犈犛犃 犅 犆犃 犈（ ）犃 犅犃 犇 犈的面积为， 四边形犅 犆 犇 犈的面积为，犃 犅 犆的面积为 犃 犈 ，（ ）犃 犅解得犃 犅 狔狓 解析 作犗 犉犅

48、犆于犉，犗 犈犆 犇于犈， 证犗 犈 犖犗 犉 犕即可 犪 解析 由四边形犃 犅 犆 犇是平行四边形， 根据平行四边形对边平行且相等， 即可得犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆，犃 犅犆 犇， 然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交， 所构成的三角形与原三角形相似， 即可判定犇 犈 犉犆 犈 犅，犇 犈 犉犃 犅 犉， 又由相似三角形面积的比等于相似比的平方， 即可求得答案 解析犃 犅 犗犖 犅犕犃 犅 犗犖 犅犕，犗 犃犖犕犗 犅犅犕犗 犃 米，犗 犅 米，犗犕 米，犅犕犗 犅犗犕 （ 米） 犖犕， 解得犖犕 （ 米） 解析犈 犇 犉犈 犆 犅，犈 犇 犉犅 犃 犉，犅 犃 犉犈 犆 犅 槡

49、解析 由点犉向犃 犈作垂线即可 解析 本题考查相似三角形的性质： 对应高之比等于对应边之比 解析 由于犃 犆 犇犃 犅 犆，犅 犃 犆犆 犃 犇，所以犃 犇 犆犃 犆 犅， 即犃 犆犃 犅犃 犇犃 犆所以犃 犅犃 犇犃 犆， 则犃 犅 所以犅 犇犃 犅犃 犇 （） 如图（）犃与犅是犆 犇对的圆周角，犃犅又 ，犃 犇 犈犅 犆 犈（） 如图（） ，犃 犇犃 犈犃 犆，犃 犈犃 犇犃 犇犃 犆又犃犃，犃 犇 犈犃 犆 犇犃 犈 犇犃 犇 犆又犃 犆是犗的直径，犃 犇 犆 ， 即犃 犈 犇 直径犃 犆犅 犇犆 犇犆 犅（）（）（ 第 题） （） 如图（）（ 第 题（） ）（）犃 犅是犗的直径，犃 犇

50、 犅 而犇 犈犃 犆，犃 犈 犇 犃 犇平分犆 犃 犅，犆 犃 犇犇 犃 犅 犃 犇 犈 犃 犅 犇犃 犇犃 犅犃 犈犃 犇犃 犇犃 犈犃 犅（ 第 题（） ）（） 连结犗 犇、犅 犆， 它们交于点犌，如图（）犃 犆犃 犅， 即犃 犆犃 犅 ，不妨设犃 犆 狓，犃 犅 狓犃 犅是犗的直径，犃 犆 犅 又犆 犃 犇犇 犃 犅，犇 犆犇 犅犗 犇垂直平分犅 犆犗 犇犃 犈，犗 犌犃 犆狓四边形犈 犆 犌 犇为矩形犆 犈犇 犌犗 犇犗 犌狓狓狓犃 犈犃 犆犆 犈 狓狓 狓犃 犈犗 犇，犃 犈 犉犇 犗 犉犃 犈犗 犇犈 犉犗 犉犈 犉犗 犉 狓狓 犗 犈犗 犉 （）犃 犅 犆犃犅犆， 且相似比为犽（