【3年中考2年模拟】山东省2013届中考数学 热点题型 7.3开放探究题（pdf） 新人教版.pdf

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1、?奈望林纳奖是在 年月由国际数学联盟行政委员会成立的一个重要的数学奖项， 而这个奖项主要是表扬在信息科学数学理论方面有突出贡献的数学家这个奖项跟费尔兹奖相似， 包括一个金奖牌和奖金而且也是在四年一度的国际数学家会议中颁发 年月， 国际数学联盟正式接受由赫尔辛基大学赞助这个奖项奖牌正面是罗尔夫内伐里纳像， 是为纪念芬兰数学家罗尔夫内伐里纳， 他曾出任赫尔辛基大学校长及国际数学联盟的主席， 五十年代他在芬兰各大学积极推动计算机组织获奖者的名字会印在奖牌的边缘之上 开放探究题题型特点探究性问题为学生提供了广阔的思维空间， 有利于调动学生的创新意识和探究兴趣， 成为近几年中考的热点题型之一探究型问题是

2、指命题中缺少一定的条件或无明确的结论， 需要经过推断、 补充并加以证明的题型， 探究性问题具有以下特点： 条件的不确定性 结构的多样性 思维的多向性 解答的层次性 过程的探究性 知识的探究性这类问题具有较强的综合性， 涉及的数学基础知识较为广泛， 既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度， 又能考查学生的观察、 分析、 概括能力， 能从具体、 特殊的事实中探究其存在的规律， 把藏在表面现象中的一般规律挖掘出来命题趋势开放探究性问题是一个充满着观察、 归纳、 猜想、 尝试、 探究的发现过程， 需要学生对问题进行多方位、 多角度、 多层次的思考、 审视， 对培养学生的创造性思维能力、 推理能力、 直觉

3、思维能力和全面提高学生的数学素养具有重要的意义， 倍受中考命题者的青睐， 是中考试题的热点之一?罗斯文豪屠格涅夫遇见一个乞丐， 他很想有所施舍， 但他翻遍所有的口袋却没找到一分钱。见乞丐的手高高地举着， 他握着乞丐的手说： “ 兄弟， 实在对不起， 我忘了带钱出来。 ” 乞丐流着泪说： “ 您能叫我兄弟， 让我和您站在同一条线上就已经让我感激不尽了。 ”【 例】（ 湖南湘潭） 如图， 抛物线狔犪 狓狓 （犪 ） 的图象与狓轴交于犃、犅两点， 与狔轴交于点犆， 已知点犅坐标为（，）（） 求抛物线的解析式；（） 试探究犃 犅 犆的外接圆的圆心位置， 并求出圆心坐标；（） 若点犕是线段犅 犆下方的抛

4、物线上一点， 求犕 犅 犆的面积的最大值， 并求出此时点犕的坐标【 命题意图分析】探索是人类认识客观世界过程中最生动、 最活跃的思维活动， 探索性问题存在于一切学科领域之中，在数学中则更为普遍初中数学中的“ 探索发现” 型试题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论， 需要经过推断、 补充并加以证明的命题， 它不像传统的解答题或证明题， 在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作， 从而定格于“ 条件 演绎 结论” 这样一个封闭的模式之中， 而是必须利用题设大胆猜想、 分析、 比较、 归纳、 推理， 或由条件去探索不明确的结论； 或由结论去探索未给予的条件； 或去探索存在的各种

5、可能性以及发现所形成的客观规律开放性试题重在开发思维， 促进创新， 提高数学素养， 所以是近几年中考试题的热点考题观察、 实验、 猜想、 论证是解决这类问题的科学思维方法， 学习中应重视并应用本题考查了二次函数综合题， 但用到的琐碎知识点较多， 综合性很强熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积公式是理出思路的关键【 解答】（） 将犅（，） 代入抛物线的解析式中， 得 犪 ， 即犪抛物线的解析式为狔狓狓 （） 由（） 的函数解析式可求得犃（ ，） 、犆（， ）犗 犃 ，犗 犆 ，犗 犅 ， 即犗 犆犗 犃犗 犅又犗 犆犃 犅，犗 犃 犆犗 犆 犅犗 犆 犃犗 犅 犆犃 犆 犅犗 犆 犃犗

6、犆 犅犗 犅 犆犗 犆 犅 犃 犅 犆为直角三角形，犃 犅为犃 犅 犆外接圆的直径所以该外接圆的圆心为犃 犅的中点， 且坐标为，（） （） 由犅（，） 、犆（，） ， 可得直线犅 犆的解析式为狔狓 设直线犾犅 犆， 则该直线的解析式可表示为狔狓犫当直线犾与抛物线只有一个交点时， 可列方程狓犫狓狓 ， 即狓 狓 犫 ， 且 （ 犫） ， 即犫 直线犾：狔狓 由于犛犕 犅 犆犅 犆犺， 当犺最大（ 即点犕到直线犅 犆的距离最远） 时，犃 犅 犆的面积最大，所以点犕即直线犾和抛物线的唯一交点， 有狔狓狓 ，狔狓 烅烄烆，解得狓 ，狔 犕（， ）【 方法点拨】（） 该函数解析式只有一个待定系数， 只需

7、将点犅坐标代入解析式中即可（） 首先根据抛物线的解析式确定点犃坐标， 然后通过证明犃 犅 犆是直角三角形来推导出直径犃 犅和圆心的位置， 由此确定圆心坐标（）犕 犅 犆的面积可由犛犕 犅 犆犅 犆犺表示， 若要它的面积最大， 需要使犺取最大值， 即点犕到直线犅 犆的距离最大， 若设一条平行于犅 犆的直线， 那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时， 该交点就是点犕【 误区警示】本题探究主要在第（） 问， 要注意条件的运用， 当直线与抛物线只有一个交点时， 联立方程组时取； 另外三角形底边一定， 要想面积最大， 只要高最大即可一、选择题 （ 江苏扬州） 大于的正整数犿的三次幂可“ 分裂” 成若干个

8、连续奇数的和， 如 ， ， ， 若犿分裂后， 其中有一个奇数是 ， 则犿的值是（） （ 江西南昌） 如图， 有犪，犫，犮三户家用电路接入电表， 相邻电路的电线等距排列， 则三户所用电线（）犪户最长 犫户最长犮户最长三户一样长（ 第题）（ 第题）?根小小的柱子， 一截细细的链子， 拴得住一头千斤重的大象， 这不荒谬吗？可这荒谬的场景在印度和秦国随处可见。那些驯象人， 在大象还是小象的时候， 就用一条铁链将它绑在水泥柱或钢柱上， 无论小象怎么挣扎都无法挣脱。小象渐渐地习惯了不挣扎， 直到长成了大象， 可以轻而易举地挣脱链子时， 也不挣扎。小象是被链子绑住， 而大象则是被习惯绑住。习惯几乎可以绑住一

9、切。 （ 贵州六盘水） 如图为反比例函数狔狓在第一象限的图象， 点犃为此图象上的一动点， 过点犃分别作犃 犅狓轴和犃 犆狔轴， 垂足分别为犅、犆， 则四边形犗 犅 犃 犆周长的最小值为（） （ 江苏泰州） 四边形犃 犅 犆 犇中， 对角线犃 犆、犅 犇相交于点犗， 给出下列四组条件：犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆；犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆；犃 犗犆 犗，犅 犗犇 犗；犃 犅犆 犇，犃 犇犅 犆其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（） 组 组 组 组（ 第题） （ 四川达州） 如图， 在犃 犅 犆 犇中，犈是犅 犆的 中 点， 且犃 犈 犆犇 犆 犈， 则 下 列 结 论 不 正 确獉

10、獉 獉的 是（）犛犃 犉 犇 犛犈 犉 犅 犅 犉犇 犉四边形犃 犈 犆 犇是等腰梯形犃 犈 犅犃 犇 犆二、填空题（ 贵州安顺） 如图， ， 添加一个条件使得犃 犇 犈犃 犆 犅（ 第题）（ 第题） （ 四川广元） 如图， 点犃的坐标为（ ，） ， 点犅在直线狔狓上运动， 当线段犃 犅最短时， 点犅的坐标为 （ 新疆） 请你写出一个主视图与左视图相同的立体图形是 （ 四川绵阳） 如图所示，犅 犆犈 犆， ， 要使犃 犅 犆犇 犈 犆， 则应添加的一个条件为（ 第题）（ 第 题） （ 辽宁丹东） 如图， 边长为的正方形犃 犅 犆 犇内部有一点犘，犅 犘 ，犘 犅 犆 ， 点犙为正方形边上一动点

11、， 且犘 犅 犙是等腰三角形， 则符合条件的点犙有个 （ 贵州黔东南州） 用根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形 （ 广州白云区模拟） 已知反比例函数狔犽狓， 其图象所在的每个象限内狔随着狓的增大而增大， 请写出一个符合条件的反比例函数关系式： （ 安徽） 定义运算犪犫犪（ 犫） ， 下列给出了关于这种运算的几点结论： （ ） ；犪犫犫犪；若犪犫 ， 则（犪犪）（犫犫） 犪 犫；若犪犫 ， 则犪 其中正确结论序号是（ 在横线上填上你认为所有正确结论的序号）三、解答题 （ 陕西） 如果一条抛物线狔犪 狓犫 狓犮（犪） 与狓轴有两个交点， 那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为

12、这条抛物线的“ 抛物线三角形”（） “ 抛物线三角形” 一定是三角形；（） 若抛物线狔狓犫 狓（犫 ） 的“ 抛物线三角形” 是等腰直角三角形， 求犫的值；（） 如图，犗 犃 犅是抛物线狔狓犫 狓（犫 ） 的“ 抛物线三角形” ， 是否存在以原点犗为对称中心的矩形犃 犅 犆 犇？若存在， 求出过犗、犆、犇三点的抛物线的表达式； 若不存在， 说明理由（ 第 题） （ 四川广元） 如图， 在犃 犈 犆和犇 犉 犅中，犈犉，点犃、犅、犆、犇在同一直线上， 有如下三个关系式：犃 犈犇 犉，犃 犅犆 犇，犆 犈犅 犉（） 请用其中两个关系式作为条件， 另一个作为结论， 写出你认为正确的所有命题（ 用序号

13、写出命题书写形式： “ 如果， 那么” ） ；（） 选择（） 中你写出的一个命题， 说明它正确的理由（ 第 题） （ 福建漳州） 在数学课上， 林老师在黑板上画出如图所示的图形（ 其中点犅、犉、犆、犈在同一直线上） ， 并写出四个条件：犃 犅犇 犈，犅 犉犈 犆，犅犈， 请你从这四个条件中选出三个作为题设， 另一个作为结论，组成一个真命题獉獉獉， 并给予证明题设：； 结论：（ 均填写序号）证明：（ 第 题）?在南美洲的某些地区， 有一种毒性极强的蛇 响尾蛇它的尾巴剧烈地摇动发出流水似的声音， 引诱在炎热天气里口渴的小动物上钩， 从而捕食之响尾蛇为什么能发出响声呢？观察裁判员吹的“ 裁判哨” 可

14、以得出结论： 金属壳子里装上了一层隔膜， 形成了两个空泡， 当人用力吹时， 空泡受到空气的振动发出声音响尾蛇的尾巴与哨子有类似的构造它的外壳不是金属， 而是由坚硬的皮肤形成的角质轮， 轮内的空腔又被角质膜隔成两个环状空泡当响尾蛇剧烈摇动尾巴时， 就像人吹哨子一样， 空泡受空气的振动而发出声音 （ 辽宁阜新） （） 如图， 在犃 犅 犆和犃 犇 犈中，犃 犅犃 犆，犃 犇犃 犈，犅 犃 犆犇 犃 犈 当点犇在犃 犆上时， 如图（） ， 线段犅 犇、犆 犈有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论将图（） 中的犃 犇 犈绕点犃顺时针旋转角（ ） ， 如图（） ， 线段犅 犇、犆 犈有怎样的数

15、量关系和位置关系？请说明理由（） 当犃 犅 犆和犃 犇 犈满足下面甲、 乙、 丙中的哪个条件时， 使线段犅 犇、犆 犈在（） 中的位置关系仍然成立？不必说明理由甲：犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 ；乙：犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 ；丙：犃 犅犃 犆犃 犇犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犈 （ 第 题） （ 吉林） 在如图所示的三个函数图象中， 有两个函数图象能近似地刻画如下犪，犫两个情境：情境犪： 小芳离开家不久， 发现把作业本忘在家里， 于是返回家里找到了作业本再去学校；情境犫： 小芳从家出发， 走了一段路程后， 为了赶时间， 以更快的速度前进（） 情境犪

16、，犫所对应的函数图象分别为，；（ 填写序号）（） 请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境（ 第 题） （ 四川资阳） （） 如图（） ， 正方形犃 犈 犌犎的顶点犈、犎在正方形犃 犅 犆 犇的边上， 直接写出犎犇犌 犆犈 犅的结果；（ 不必写计算过程）（） 将图（） 中的正方形犃 犈 犌犎绕点犃旋转一定角度， 如图（） ， 求犎犇犌 犆犈 犅；（） 把图（） 中的正方形都换成矩形， 如图（） ， 且已知犇 犃犃 犅犎 犃犃 犈犿狀， 此时犎犇犌 犆犈 犅的值与（） 小题的结果相比有变化吗？如果有变化， 直接写出变化后的结果（ 不必写计算过程）（）（）（）（ 第 题） （ 山西） 问题情境： 将

17、一副直角三角板（ 犃 犅 犆和 犇 犈 犉） 按图（） 所示的方式摆放， 其中犃 犆 犅 ，犆 犃犆 犅，犉 犇 犈 ，犗是犃 犅的中点， 点犇与点犗重合，犇 犉犃 犆于点犕，犇 犈犅 犆于点犖， 试判断线段犗 犕与犗 犖的数量关系， 并说明理由探究展示： 小宇同学展示出如下正确的解法：解：犗犕犗 犖， 证明如下：连结犆 犗， 则犆 犗是犃 犅边上的中线犆 犃犆 犅，犆 犗是犃 犆 犅的角平分线（ 依据）犗犕犃 犆，犗 犖犅 犆，犗犕犗 犖（ 依据）反思交流：（） 上述证明过程中的“ 依据” 和“ 依据” 分别是指：依据：依据：（） 你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（）

18、 将图（） 中的 犇 犈 犉沿着射线犅 犃的方向平移至如图（）所示的位置， 使点犇落在犅 犃的延长线上，犉 犇的延长线与犆 犃的延长线垂直相交于点犕，犅 犆的延长线与犇 犈垂直相交于点犖， 连结犗 犕、犗 犖， 试判断线段犗 犕、犗 犖的数量关系与位置关系， 并写出证明过程（）（）（ 第 题） （ 河南） 类比、 转化、 从特殊到一般等思想方法， 在数学学习和研究中经常用到， 如下是一个案例， 请补充完整原题： 如图（） ， 在犃 犅 犆 犇中， 点犈是边犅 犆上的中点， 点犉是线段犃 犈上一点，犅 犉的延长线交射线犆 犇于点犌， 若犃 犉犈 犉 ， 求犆 犇犆 犌的值（） 尝试探究在图（）

19、中， 过点犈作犈犎犃 犅交犅 犌于点犎， 则犃 犅和犈犎的数量关系是，犆 犌和犈犎的数量关系是，犆 犇犆 犌的值是（） 类比延伸如图（） ， 在原题的条件下， 若犃 犉犈 犉犿（犿 ） ， 则犆 犇犆 犌的值是（ 用含犿的代数式表示） ， 试写出解答过程（） 拓展迁移如图（） ， 梯形犃 犅 犆 犇中，犇 犆犃 犅， 点犈是犅 犆延长线上一点，犃 犈和犅 犇相交于点犉， 若犃 犅犆 犇犪，犅 犆犅 犈犫（犪 ，犫 ） ， 则犃 犉犈 犉的值是（ 用含犪，犫的代数式表示）（）（）（）（ 第 题） 开放探究题 解析 ， ， ， 犿分裂后的第一个数是犿（犿 ） ， 共有犿个奇数 （ ） ， （ ）

20、，第 个奇数是底数为 的数的立方分裂后的一个奇数犿 解析犪，犫，犮三户家用电路接入电表， 相邻电路的电线等距排列，将犪向右平移即可得到犫，犮图形的平移不改变图形的大小，三户一样长 解析犃 犅狓轴，犃 犆狔轴，四边形犗 犅 犃 犆为矩形设宽犅 犗狓， 则犃 犅狓，则狊狓狓 狓槡狓 ，当且仅当狓狓， 即狓 时， 取等号故函数狊狓狓（狓 ） 的最小值为 故狓（）狓 四边形犗 犅 犃 犆周长的最小值为 解析都能判断 解析 由相似形性质知犛犃 犉 犇 犛犈 犉 犅 犇犆或犈犅或犃 犇犃 犆犃 犈犃 犅 解析 ， 犅 犃 犈 犅 犃 犈， 即犇 犃 犈犆 犃 犅当犇犆或犈犅或犃 犇犃 犆犃 犈犃 犅时，犃

21、 犇 犈犃 犆 犅 ，（） 解析 由点犃向直线狔狓作垂线， 因为垂线段最短 答案不唯一， 例如： 圆或正方体等 答案不唯一， 例如：犃 犆犆 犇 解析犃 犅边上有两点， 其余三边各有一点满足要求 解析 用根火柴棒搭成正四面体， 四个面都是正三角形 例如狔 狓 解析 只要犽为负数即可 解析犪 犫犪（ 犫） ，犫 犪犫（ 犪） ，不正确；若犪犫 ， 则犪（ 犫） ， 得犪 或犫 不正确 （） 等腰（）抛物线狔狓犫 狓（犫） 的“ 抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点犫，犫（）满足犫犫（犫 ）犫 （） 存在如图， 作犗 犆 犇与犗 犃 犅关于原点犗中心对称，则四边形犃 犅 犆 犇为平行四边

22、形当犗 犃犗 犅时， 平行四边形犃 犅 犆 犇为矩形又犃 犗犃 犅，犗 犃 犅为等边三角形作犃 犈犗 犅， 垂足为犈犃 犈槡 犗 犈 犫 槡 犫 （犫 ）犫 槡 犃（槡 ，） ，犅（槡，）犆（槡 ， ） ，犇（槡 ，）设过点犗、犆、犇三点的抛物线为狔犿 狓狀 狓，则 犿槡 狀 ，犿槡 狀 ，解得犿 ，狀槡 所求抛物线的表达式为狔狓槡 狓（ 第 题） （） 命题： 如果， 那么； 命题： 如果， 那么（） 命题的证明：犃 犈犇 犉，犃犇犃 犅犆 犇，犃 犅犅 犆犆 犇犅 犆， 即犃 犆犇 犅在犃 犈 犆和犇 犉 犅中，犈犉，犃犇，犃 犆犇 犅，犃 犈 犆犇 犉 犅犆 犈犅 犉命题的证明：犃 犈犇

23、 犉，犃犇在犃 犈 犆和犇 犉 犅中，犈犉，犃犇，犆 犈犅 犉，犃 犈 犆犇 犉 犅犃 犆犇 犅， 则犃 犆犅 犆犇 犅犅 犆， 即犃 犅犆 犇注： 命题“ 如果， 那么” 是假命题 情况一： 题设：； 结论：证明：犅 犉犈 犆，犅 犉犆 犉犈 犆犆 犉， 即犅 犆犈 犉在犃 犅 犆和犇 犈 犉中，犃 犅犇 犈，犅犈，犅 犆犈 犉烅烄烆，犃 犅 犆犇 犈 犉 情况二： 题设：； 结论：证明： 在犃 犅 犆和犇 犈 犉中，犃 犅犇 犈，犅犈， 烅烄烆，犃 犅 犆犇 犈 犉犅 犆犈 犉犅 犆犉 犆犈 犉犉 犆， 即犅 犉犈 犆情况三： 题设：； 结论：证明：犅 犉犈 犆，犅 犉犆 犉犈 犆犆 犉，

24、 即犅 犆犈 犉在犃 犅 犆和犇 犈 犉中，犅犈，犅 犆犈 犉， 烅烄烆，犃 犅 犆犇 犈 犉犃 犅犇 犈（ 注： 若题设为， 结论为则不可以） （）结论：犅 犇犆 犈，犅 犇犆 犈结论：犅 犇犆 犈，犅 犇犆 犈理由如下：犅 犃 犆犇 犃 犈 ，犅 犃 犆犇 犃 犆犇 犃 犈犇 犃 犆即犅 犃 犇犆 犃 犈在犃 犅 犇与犃 犆 犈中，犃 犅犃 犆，犅 犃 犇犆 犃 犈，犃 犇犃 犈烅烄烆，犃 犅 犇犃 犆 犈犅 犇犆 犈，犃 犅 犇犃 犆 犈延长犅 犇交犃 犆于点犉， 交犆 犈于点犎在犃 犅 犉和犎 犆 犉中，犃 犅 犉犎 犆 犉，犃 犉 犅犎 犉 犆，犆 犎犉犅 犃 犉 犅 犇犆 犈（）

25、乙 （） （）（）（） 小芳从家出发去书店看了一会儿书， 又返回家中（ 答案不唯一） （） 连结犃 犌正方形犃 犈 犌犎的顶点犈、犎在正方形犃 犅 犆 犇的边上，犌 犃 犈犆 犃 犅 ，犃 犈犃犎，犃 犅犃 犇犃、犌、犆共线，犃 犅犃 犈犃 犇犃犎犎犇犅 犈犃 犌犃 犈 槡 犃 犈，犃 犆犃 犅 槡 犃 犅，犌 犆犃 犆犃 犌槡犃 犅槡犃 犈槡（犃 犅犃 犈）槡犅 犈犎犇犌 犆犈 犅槡 （） 连结犃 犌、犃 犆犃 犇 犆和犃犎犌都是等腰直角三角形，犃 犇犃 犆犃犎犃 犌槡 ，犇 犃 犆犎犃 犌 犇 犃犎犆 犃 犌犇 犃犎犆 犃 犌犎犇犌 犆犃 犇犃 犆槡 犇 犃 犅犎犃 犈 ，犇 犃犎犅 犃

26、犈在犇 犃犎和犅 犃 犈中，犃 犇犃 犅，犇 犃犎犅 犃 犈，犃犎犃 犈烅烄烆，犇 犃犎犅 犃 犈（ ）犎犇犈 犅犎犇犌 犆犈 犅槡 （） 有变化连结犃 犌、犃 犆犇 犃犃 犅犎犃犃 犈犿狀，又犃 犇 犆犃犎犌 ，犃 犇 犆犃犎犌犃 犇犃 犆犃犎犃 犌犿犿狀槡，犇 犃 犆犎犃 犌犇 犃犎犆 犃 犌犇 犃犎犆 犃 犌犎犇犌 犆犃 犇犃 犆犿犿狀槡犇 犃 犅犎犃 犈 ，犇 犃犎犅 犃 犈犇 犃犃 犅犎犃犃 犈犿狀，犃 犇犎犃 犅 犈犇犎犅 犈犃 犇犃 犅犿狀犎犇犌 犆犈 犅犿犿狀槡狀 （） 等腰三角形三线合一（ 或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合） ；角平分线上的点到角的

27、两边距离相等（） 证明：犆 犃犆 犅，犃犅犗是犃 犅的中点，犗 犃犗 犅犇 犉犃 犆，犇 犈犅 犆，犃犕犗犅 犖 犗 在犗犕犃和犗 犖 犅中，犃犅，犗 犃犗 犅，犃犕犗犅 犖 犗烅烄烆，犗犕犃犗 犖 犅（ ）犗犕犗 犖（）犗 犕犗 犖，犗 犕犗 犖理由如下：如图， 连结犆 犗， 则犆 犗是边犃 犅上的中线（ 第 题）犃 犆 犅 ，犗 犆犃 犅犗 犅又犆 犃犆 犅，犆 犃 犅犅 ， ，犃 犗 犆犅 犗 犆 犅犅 犖犇 犈，犅 犖犇 又犅 ， 犅 犇犖犖 犅犃 犆 犅 ，犖 犆 犕 又犅 犖犇 犈，犇犖 犆 四边形犇犕 犆 犖是矩形犇犖犕 犆 犕 犆犖 犅又 犅，犗 犆犗 犅，犕犗 犆犖 犗 犅（ ）犗犕犗 犖，犕犗 犆犖 犗 犅犕犗 犆犆 犗 犖犖 犗 犅犆 犗 犖，即犕犗 犖犅 犗 犆 犗犕犗 犖 （）犃 犅 犈犎犆 犌 犈犎（）犿作犈犎犃 犅交犅 犌于点犎，则犈犎 犉犃 犅 犉犃 犅犈犎犃 犉犈 犉犿，犃 犅犿 犈犎犃 犅犆 犇，犆 犇犿 犈犎犈犎犃 犅犆 犇，犅 犈犎犅 犆 犌犆 犌犈犎犅 犆犅 犈 犆 犌 犈犎犆 犇犆 犌犿 犈犎犈犎犿（）犪 犫