材料力学精品教案.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流材料力学精品教案.精品文档.绪论一、材料力学的发展材料力学源于人们的生产经验，是生产经验的提炼和浓缩，同时形成理论后又应用于指导生产实践和工程设计。公元前2250年，古巴比伦王汉谟拉比法典公元1103年，宋代李诫营造法式1638年，伽利略，梁的强度试验和计算理论1678年，英国科学家R.Hooke的胡克定律二、材料力学的任务在构件能安全工作的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料，为构件的设计提供必要的理论基础和计算方法。构件安全工作的条件有以下三条：（1）具有必要的强度，指构件抵抗破坏的能力。构件在外力作用下不会

2、发生破坏或意外的断裂。（2）具有必要的刚度，指构件抵抗弹性变形的能力。构件在规定的使用条件下不会产生过份的变形。（3）具有必要的稳定性，指构件保持原始平衡构形的能力。构件在规定的使用条件下，不会发生失稳现象。三、材料力学的研究对象材料力学主要研究对象是构件中的杆以及由若干杆组成的简单杆系等。杆件的形状与尺寸由其轴线和横截面确定。轴线通过横截面的形心，横截面与轴线正交。根据轴线与横截面的特征，杆件可分为直杆与曲杆，等截面杆与变截面杆。四、材料力学基本假设材料力学中，构成构件的材料皆视为可变形固体。（1） 均匀、连续假设：构件内任意一点的材料力学性能与该点位置无关，且毫无空隙地充满构件所占据的空间

3、。（2） 各向同性假设：构件材料的力学性能没有方向性。（3） 小变形假设：本课主要研究弹性范围内的小变形。小变形假设可使问题得到如下的简化：a). 忽略构件变形对结构整体形状及荷载的影响；b). 构件的复杂变形可处理为若干基本变形的叠加。（4）大多数场合局限于线性弹性当以上条件部分不能满足时，须采用其他力学理论如结构力学（杆系）、弹性力学（研究对象的差异）、塑性力学、断裂力学、损伤力学、连续介质力学以及随着计算机技术的发展而越来越受到重视的计算力学等等。本课程材料力学是基础。五、杆件的基本受力形式杆件受外力作用后发生的变形是多种多样的，但最基本的变形是以下四种：拉伸(或压缩) （第1章）剪切

4、（第2章）扭转 （第3章）弯曲 （第4、5、6章）以上四种基本受力形式组合 （第8章）图1 杆件的基本受力形式六、小结、课程特点及要求材料力学研究的问题是构件的强度、刚度和稳定性；构成构件的材料是可变形固体；对材料所作的基本假设为均匀连续、各向同性、小变形且大多数情况为线弹性；材料力学研究的对象是杆件；杆件的基本受力形式是拉伸(或压缩)、剪切、扭转、弯曲。第1章 轴向拉伸与压缩1.1、轴向拉伸与压缩的概念工程范例：吊车梁的拉杆、吊运重物的钢丝绳、绗架杆件、柱受力特征：作用于杆上的外力或其合力的作用线沿着杆件的轴线。变形特征：杆件主要产生轴向伸长（或缩短），受力简图如图1-1所示。图1.1 轴向

5、拉伸与压缩受力和变形示意图1.2、轴向拉伸和压缩时的内力、轴力图（1）内力的概念：物体内部一部分与另一部分的相互作用力，构件受到外力作用的同时，在内部产生相应内力（外力作用引起的内力改变量）。在外力作用下构件发生变形，构件内部相邻各质点间沿力作用方向的相对位置发生变化，同时构件各质点之间产生附加内力（简称内力），其作用是力图使各质点恢复其原始位置。（2）内力的计算方法截面法：截面法是材料力学研究内力的一个基本方法，其步骤如下：a）截开：在需求内力的截面处，将构件假想截分为两部分；b）代替：任取一部分为研究对象，弃去另一部分，并以内力代替弃去部分对留下部分的作用；c）平衡：对留下部分建立平衡方程

6、，求出该截面的内力。（3）拉压杆横截面上的内力特点：其作用线与杆轴线重合，称为轴力，用N表示。轴力N的正负号规定，以拉力为正，压力为负。（4）轴力图：表示沿杆件轴线各横截面上轴力变化规律的图线，轴力图以平行于杆轴线的x轴为横坐标，表示横截面位置，以N轴为纵坐标，表示横截面上的轴力值。1.3、横截面上的应力（1）应力的概念应力：截面内一点处内力的分布集度，单位是N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。应力可分为正应力s和切应力t（剪应力）。正应力：（垂直于作用截面）切应力（平行作用截面）式中N、Q分别是微面积A上的垂直和平行于微面的内力分量。（2）轴向拉压时的应力计算平面假设：直杆在轴向拉伸（

7、或压缩）时，变形后的横截面仍保持为平面。根据平截面假设和圣维南原理，在离加力点一定距离之外，横截面上各点的纵向变形是均匀的，内力分布也是均匀的，并且垂直于横截面。横截面上的应力：设横截面积为A，则有拉伸（或压缩）正应力： 1.4、拉压变形与胡克定律（1）拉（压）杆的轴向变形杆件的轴向变形为,式中、分别为变形前、后杆的长度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形。纵向变形的胡克定律： 在比例极限内，杆的纵向变形l与轴力N、杆长l成正比，与乘积EA成反比。乘积EA，称为杆的抗拉压刚度，其中E为材料的弹性模量。变形的正负号以伸长为正，缩短为负。 图1.2 杆轴向克拉伸时的

8、变形（2）纵向线应变：用应力、应变表示的胡克定律： 上式表明，在比例极限内线应变与正应力成正比。（3）横向线应变： （4）泊松比（横向变形系数）（5）材料的弹性模量E、泊松比与切变模量G之间存在如下关系：1.5、材料拉压时的力学性能材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。一般情况下指在常温、静载、标准试件情况下的标准试验。（1）图1.3为低碳钢拉伸应力-应变曲线。（有屈服台阶的塑性材料）由低碳钢的s e 曲线可看出，整个拉伸过程可分为以下四个阶段：1） 弹性阶段OA。点的应力称为比例极限，A点的应力称为弹性极限。2） 屈服阶段C 。B 点应力 称为屈服极限。3） 强化阶段CD。在此阶段

9、卸载内卸载会出现“冷作硬化”现象。4） 局部变形阶段DE。D点过后，试件出现“颈缩”现象。到达E点试件断裂。D点应力称为强度极限。伸长率（延伸率）：断面收缩率：一般称为塑性材料，称为脆性材料。（2）锰钢、硬铝、青铜的拉伸力学性能（没有明显屈服台阶的塑性材料）没有明显屈服阶段，得不到屈服点，但断裂后具有较大的塑性变形。名义屈服强度：对应于试样产生0.2的塑性变形时候的应力值。（3）灰口铸铁和玻璃钢的拉伸性能没有屈服台阶，不存在明显屈服点，脆性破坏，以极限强度作为强度指标。胡克定律可以近似应用。（4）材料压缩时的力学性能（圆柱体、立方体）塑性材料：曲线主要部分与拉伸曲线重合，弹性模量E、屈服点相同

10、，屈服阶段过后开始逐渐分叉。脆性材料：抗压能力远比抗拉能力强。1.6、轴向拉伸和压缩时的强度计算（1）许用应力、极限应力、安全系数许用应力：极限应力：安全系数：na）主观设定条件与客观实际之间的差距：如材料强度离散性、荷载估计不充分、计算公式近似、其他影响强度的因素。b）必要的强度储备（2）强度条件a）强度校核：b）截面选择：c）确定许用荷载：1.7、拉伸和压缩静不定（超静定）问题结构未知力的个数多于静力平衡方程个数时，只用静力平衡条件将不能求解全部未知力，这类问题称为超静定问题，未知力个数与静力平衡方程数之差称为超静定的次数(或阶数)。解决超静定问题的关键是找出补充方程首先根据结构各部分变形

11、协调条件建立变形几何方程，再利用力与变形之间的物理关系将变形几何方程改写成用力表示的补充方程，将补充方程与静力平衡方程联立求解，即可得出全部未知力。（1）平衡方程；（2）几何方程变形协调方程；（3）物理方程弹性定律； （4）补充方程：由几何方程和物理方程得； （5）解由平衡方程和补充方程组成的方程组。静定结构和超静定结构的区别： a）静定结构的支座反力和内力可以由平衡方程唯一确定，而超静定结构中平衡方程个数小于未知内力或支座反力个数。b）静定结构中内力和支座反力仅和荷载有关，超静定结构中内力既和荷载有关，又同构件的刚度有关。c）静定结构中温度或收缩等变形作用不产生内力，超静定结构中产生内力。1

12、.8、应力集中在杆件开孔、沟槽、截面突变处，横截面的应力分布不在均匀，在孔洞处截面应力急剧增加，当远离孔洞一定距离后，应力又趋于均匀分布，这种现象称为应力集中。应力集中系数： 不同的材料对应力集中的程度不同，塑性材料达到屈服后对应力集中具有缓和作用；脆性材料对应力集中比较敏感，应力集中处局部最大应力达到抗拉强度时候出现裂纹，裂纹根部又产生更为严重的应力集中，使裂纹迅速发展而导致构件断裂。1.9、变形能的概念杆件在外力作用下发生变形，同时在杆内贮存的能量称为应变能。用W 表示外力功，用U 表示应变能。在线弹性范围内，杆内应变能等于外力功，则轴向拉压应变能为：比能（应变能密度）：单位体积内的应变能

13、，用u 表示。轴向拉压杆弹性比能：第2章 剪切2.1、工程中的剪切问题在构件连接处起连接作用的部件，称为连接件。例如：螺栓、铆钉、键、销等。连接件虽小，起着传递载荷的作用。受力特点：作用在构件两个相对侧面的横向外力的合力大小相等、方向相反、作用线相距很近。变形特点：构件沿两组平行力系的交界面发生相对错动。2.2、剪切的实用计算根据构件的破坏可能性，采用能反映受力基本特征，并简化计算的假设，计算其名义应力，然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，以进行强度计算。（1）剪切的实用计算剪切面、剪力、剪应力名义切应力：假定剪切面上的切应力均匀分布，可得切应力t为：相应剪切强度条件为：式中： Q为

14、剪切面上的内力剪力； A为剪切面的面积；为许用切应力。（2）挤压的实用计算挤压：构件局部面积的承压现象。挤压力：在接触面上的压力，记P 。挤压面积：接触面在垂直P方向上的投影面的面积。假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布。挤压强度条件为：第3章 扭转3.1、工程实际中的扭转问题受力特点：在垂直于杆件轴线的两个相邻平面内作用有反向等值力偶；变形特点：两个相邻横截面绕杆轴线发生相对转动。横截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角，用表示。以扭转变形为主的杆件称为轴。3.2、扭转时的内力扭矩图（1）外力偶矩的计算设传动轴传递的功率为（单位：kW），轴的转速为n（单位：r/Min），则该轴承受的外力偶矩为（

15、单位：N.M）：（2）扭转内力受扭构件横截面上的内力，是作用在横截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩。扭矩用截面法求解。扭矩正负号规定：采用右手螺旋法则，四指表示扭矩的转向，拇指的指向离开截面时扭矩为正，拇指指向截面时扭矩为负。扭矩图：横截面上的扭矩沿截面分布规律的图线。横坐标表示轴线横截面的位置，纵坐标表示扭矩的大小。3.3、薄壁圆管的扭转（1）薄壁圆筒扭转的实验分析薄壁圆筒：壁厚 （r0：为平均半径）实验前绘纵向线，圆周线。施加力偶后的变形规律：圆周线的形状、大小未改变，相邻圆周线绕轴线发生相对转动，它们之间的纵向距离不变；纵向线仍然平行，但都倾斜了同一微小角度 g ，纵向线和圆周线围成的矩

16、形网格均歪斜成平行四边形网格。变形规律分析：横截面上无正应力，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力t ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致，剪应力合力与外扭矩平衡。（2）薄壁圆筒剪应力t 和应变（3）剪应力（切应力）互等定理单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。剪切正负号规定：使单元体顺时针转动为正，使单元体逆时针转动为负。两相互垂直截面上，剪应力必然成对出现，且数值相等符号相反，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。（4）剪切虎克定律当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。式中：G是材料的一个弹性

17、常数，称为剪切弹性模量，因g 无量纲，故G的量纲与t 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：3.4、圆轴扭转时的应力和变形（1）圆轴扭转时的应力等直圆杆横截面应力，需要考虑3方面的关系：变形几何关系、应力应变（物理）关系、静力平衡关系。a) 几何关系表面变形类似薄壁圆筒：圆轴线的形状、大小未改变，相邻圆周线绕轴线发生相对转动，它们之间的纵向距离不变；纵向线仍然平行，但都倾斜了同一微小角度 g ，纵向线和圆周线围成的矩形网格均歪斜成平行四边形网格

18、。平截面假定：圆轴横截面变形后仍保持为一平面，形状大小不变；横截面上的半径亦保持为一直线。距圆心为 r 任一点处的gr与到圆心的距离r成正比。b）物理关系c）静力学平衡关系令，称为积惯性矩。 其中 称为单位扭转角，称为抗扭刚度 得到 对于实心圆截面：对于空心圆截面：.圆轴截面上任意一点的切应力与该点到圆心的半径成正比，方向垂直与该点的半径。（2）圆轴扭转时的变形3.5、圆轴扭转强度强度和刚度条件（1）强度条件截面边缘处的最大剪应力小于许用切应力：Wt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：对于空心圆截面：（2）刚度条件单位长度的扭转角不超过允许值或第4章 弯

19、曲内力4.1、工程实际中的弯曲问题（1）弯曲的概念弯曲：在通过轴线的平面内，杆受垂直于轴线的外力或外力偶的作用时，轴线弯曲成为曲线，这种受力形式称为弯曲。梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。纵向对称面：通过梁轴线和截面对称轴的平面。平面弯曲：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内或者平行。（2）计算简图计算简图：梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。包括几何形状的简化、荷载的简化和支座的简化。几何尺寸的简化：截面的和形状和尺寸对内力计算没有影响，通常取梁的轴线来代替梁。荷载的简化：集中荷载、分布载荷和集中力偶。支座的简化：固定铰支座（2

20、个约束，1个自由度），可动铰支座（1个约束，2个自由度）和固定端支座（3个约束，0个自由度）。按照支座情况，可以把梁分成简支梁，外伸梁和悬臂梁。梁两个支座之间的长度称为跨度。静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。非静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。4.2、梁的内力剪力和弯矩（1）利用截面法，可知横截面上有两种内力：剪力Q和弯矩M，如图所示。弯矩（M）：构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。剪力（Q）：构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。（2）剪力与弯矩的正负号规定：以内力对变形的效应确定正负号。在所切横截面的内侧取微段，凡使该

21、微段沿顺时针方向转动（错动）的剪力为正，反之为负；使该微段弯成下凸的弯矩为正，反之为负。按此规定，图所示梁C截面的剪力和弯矩均为正，而且无论研究C截面以左部分还是以右部分其结论都一样。（3）剪力与弯矩的计算法则a） 横截面上的剪力Q，在数值上等于该截面左侧或右侧梁上全部横向外力的代数和。截面左侧梁的向上横向力（或截面右侧梁的向下横向力）均取正值，反之取负值。b）横截面上的弯矩M，在数值上等于该截面左侧或右侧梁上全部外力对该截面形心之矩的代数和。无论位于截面左侧或右侧，向上的横向力均产生正弯矩，反之为负弯矩；截面左侧梁上的顺时针外力偶或右侧梁上的逆时针外力偶均产生正弯矩，反之为负弯矩。4.3、剪

22、力图和弯矩图（1）剪力方程与弯矩方程梁横截面上的剪力和弯矩一般是截面位置x的函数，分别称为剪力方程和弯矩方程：剪力方程：Q Q ( x) 弯矩方程：M M ( x)（2）剪力图与弯矩图表示剪力和弯矩沿梁轴线变化的图形称为剪力图和弯矩图。作图时，以横坐标x表示梁横截面位置，以纵坐标表示内力值。正的剪力坐标轴方向向上；正的弯矩坐标轴向下4.4、弯矩M、剪力Q与荷载集度q之间的关系坐标轴x的原点在梁的左端，分布荷载集度q以向上为正，则荷载集度q与剪力Q、弯矩M之间有如下微分关系：推导过程采用如下微元体的平衡。上述荷载集度q ( x)与剪力Q ( x)、弯矩M ( x)间的微分关系式表明：弯矩图某点处

23、的切线斜率，等于相应截面的剪力；剪力图某点处的切线斜率，等于相应截面的荷载集度；而弯矩图某点处的二阶导数，则等于相应截面处的荷载集度。第5章 弯曲应力5.1、梁的弯曲正应力弯曲构件横截面上的（内力）应力：剪力Q 剪应力弯矩M 正应力（1）纯弯曲梁的弯曲正应力纯弯曲：若梁的某一段横截面上的剪力Q等于零，只有弯矩M不为零，称此段梁为纯弯曲。纯弯曲段梁的弯矩为常数。横力弯曲：梁的横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为横力弯曲。中性层：弯曲后梁的所有的纵线都弯成曲线，靠近下缘的纵线伸长，靠近上缘的纵线缩短。其中有一层纵线弯曲时既不伸长，也不缩短，称此层为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。线弹性平面弯

24、曲时，中性轴通过横截面形心，且垂直于弯矩作用平面。a）变形几何规律：平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。b）物理关系：c）静力学关系： z轴通过形心 平面弯曲 其中Iz为截面对z轴的惯性矩，EIz为杆的抗弯刚度。（2）横力弯曲梁的弯曲正应力以上公式是在平面假设前题下对纯弯梁推导的结果，此假设对于纯弯梁是正确的；横力弯曲梁弯曲变形后截面发生翘曲，不再满足平面假设。但对于细长梁，如梁长l与梁高h之比l/h5时，横力弯曲的正应力仍可使用纯弯曲的计算公式，因为由此产生的误差小于2，可以满足工程要求。纯弯曲正应力计算公式也可以近似应用到小曲率杆的弯曲中。5.2

25、、惯性矩的计算（1）静矩/面积矩（对轴）： （2）形心坐标： （3）惯性矩： a）简单截面的惯性矩： 矩形截面： 圆形截面： 环形截面：b）组合截面的惯性矩组合截面对任一轴的惯性矩等于各简单截面对该轴惯性矩之和。（4）平移轴定理：任意截面图形，面积为A，形心为C， 、为形心轴，如图所示，截面对形心轴、的惯性矩分别为、。设x、y轴分别与形心轴、平行，相距为a、b，截面对x、y轴的惯性矩分别为：5.3、梁弯曲的强度计算弯曲正应力强度条件：危险截面上危险点（离中性轴最远yymax）的最大弯曲正应力满足：其中Wz称为抗弯截面系数。矩形截面抗弯截面系数： 圆形截面抗弯截面横量： 5.4、提高梁抗弯能力的

26、措施（1）选择合理的截面：在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面（2）采用变截面梁，合理利用材料。（3）适当布置荷载和支座位置，使得最大弯矩减小5.5、塑性弯曲概念 由此确定中和轴的位置矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之比：5.6、弯曲时候的剪应力横截面上各点处的切应力均平行于剪力或截面侧边，并沿横截面宽度均匀分布。距中性轴为y处的弯曲切应力公式为：式中Q为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对中性轴z的惯性矩；Sz为距中性轴y处外侧的部分截面（图中阴影部分面积）对中性轴z的静矩；b为y处横线截面的宽度。对于矩形截面，切应力沿截面高度呈抛物线分布，最大切应力在中性轴处，其

27、值为：圆形截面：字形截面：第6章 弯曲变形 静不定梁6.1、工程实际中的弯曲变形问题研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：（1）对梁作刚度校核； （2）解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。6.2、梁的挠曲线近似微分方程（1）度量梁变形的两个基本位移量挠曲线：在外力作用下，梁的轴线由直线变为一条连续而光滑的曲线，如图，弯曲变形后的轴线称为挠曲线。在平面弯曲下，挠曲线位于纵向对称平面内。在小变形的条件下，细长梁在剪力作用下的变形忽略不计，截面形心的轴向位移也可忽略不计。因此，梁的变形用如下两个基本量度量：挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。转角：横截面相对于原始位置

28、绕其中性轴转动的角度。用q 表示。任意截面的转角，可以用截面形心处挠曲线的切线与x轴的夹角来表示。梁各横截面挠度的变化规律是x的函数，其方程为：。称为梁的挠曲线方程。（2）转角与挠曲线的关系梁任一截面的转角q等于该截面处挠度v对x的一阶导数。（3）挠度和转角的方向挠度和转角的负号，根据选取的坐标系而定。与坐标轴同向（向上）的挠度为正，反之为负；挠曲线斜率为正时，转角为正，反之为负。图中坐标系吓，挠度向上为正， 向下为负；转角逆时针为正， 顺时针为负。（4）挠曲线近似微分方程其中正负号取决与弯矩正负号的规定以及坐标系的选择，在图示坐标系中，之所以挠曲线近似微分方程， 一是不考虑剪切变形的影响，

29、二是曲率公式中省略了微小项的影响。6.3、用积分法求梁的变形将挠曲线近似微分方程式积分两次，得转角方程和挠曲线方程式中，C与D为积分常数，可利用梁的支座约束条件和挠曲线及转角方程必须连续的条件确定。这些条件称为确定积分常数的边界条件。积分法是分析梁位移的基本方法。在梁的弯矩方程或抗弯刚度不连续处，应分段建立挠曲线近似微分方程，并分段积分（如分n段，则积分常数共有2n个）。在分段处，挠曲线应光滑（转角连续）、连续，即分段截面两侧具有相同的挠度与转角。优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。6.4、用叠加原法求梁的变形在线弹性小变形条件下，梁的挠度与转角为梁上荷载的线性齐次式，故可应用叠

30、加法来计算梁的变形，即梁上同时受几个荷载作用时的变形，等于各荷载分别单独作用引起变形的代数和。利用叠加法求梁变形的主要步骤是，首先按荷载分解梁，使之成为几个简单梁，每个简单梁上只承受一种荷载，再计算或从表上查得各简单梁的变形，然后叠加得到总变形。叠加法更适用于求梁内指定截面的挠度与转角。6.5、梁的刚度校核根据梁弯曲变形时的正常工作要求，对某些截面的挠度或转角要加以限制。如果许可挠度和许可转角分别记作v和q ，则刚度条件可以写作 或者 q称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。f和q 的数值根据构件的具体工作条件决定。6.6、静不定梁梁的约束反力数目超过了有效平衡方程数，单纯使用静力平衡不能确定全

31、部未知力的梁称为超静定梁。多余约束： 超出维持平衡所必须的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余约束反力。超静定的次数等于多余约束或多余约束反力的个数超静定梁比静定梁有许多优点，如可用较少材料获得较大的刚度和强度，个别约束破坏后仍可工作等。因而超静定梁在工程中得到较多的应用。超静定梁的解法：1）首先去掉多余约束得到静定基；2）以约束反力代替去掉的多余约束加到静定基上；3）比较多余约束处的变形，多余约束处的变形必须与原超静定梁在该处的约束相一致，由此列出变形协调条件。4）利用物理关系，将变形协调条件的位移关系转换成力之间的关系，得到补充方程。5）补充方程与静力平衡方程联立求解，得到全部未知力。

32、超静定梁的这种解法称为变形比较法。多余约束的选择不是唯一的，可有不同选择方式，应以便于计算为宜。第7章 应力状态和强度理论 7.1、应力状态的概念（1）一点处的应力状态通过受力构件内部一点的所有斜截面上的应力情况称为该点处的应力状态。（2）研究应力状态的意义a）为复杂应力状态下的强度计算提供理论基础b）固体力学的理论基础（3）单元体围绕所研究点处切取的边长为无穷小的正六面体，称为单元体。因单元体极其微小，认为各微面上的应力均匀分布，任意一对相互平行的微面上应力相等。三对平面上的应力均为直接已知或能通过计算得到的单元体，称为原始单元体。（4）研究一点处应力状态的方法利用该点处单元体的平衡条件，推

33、导斜截面上的应力。（5）应力状态分类平面应力状态：单元体各平面上的应力，都平行与单元体的某一对平面，而在这一对平面上，没有应力作用。单向应力状态：只在一对平面上有正应力作用，其他平面上没有应力。空间应力状态：通过构件内某点的单元体，不管取向如何，在三对平面上都有应力作用，这种应力状态称为空间应力状态。二向与三向应力状态，统称为复杂应力状态。（6）主平面、主应力及主单元体定义切应力为零的截面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。主应力通常按代数值的大小，依次用、表示，即。受力构件内任意一点均可找到三个互相正交的主平面和主应力，由三对互相垂直的主平面所构成的单元体，称

34、为主单元体7.2、平面应力状态平面应力状态单元体只有两对面上有应力作用，另一对面上应力为零（该面上切应力为零，故是主平面），称为平面应力状态。可以将平面应力状态的单元体简化成平面图形，如图所示。（1）任意斜截面上的应力过单元体取与z轴平行的任意斜截面ef，其方位以该面的外法线n与x轴的夹角a来表示。ef面上的正应力和切应力分别为：符号规定：正应力以拉应力为正（截面外法线同向为正）；切应力以使单元体顺时针方向旋转为正，方位角a规定以x轴为始边，逆时针转向为正。（2）极值应力（主平面主应力）令 得 两个极值切应力为零的截面称为主平面，主平面的法线方向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。两个主平

35、面互相垂直，两个主应力也互相垂直，一个主平面上的主应力为最大值，另一个主平面上的主应力为最小值。令 得 （3）纯剪应力状态和单向应力状态a）纯剪应力状态如图所示单元体，各截面上只有切应力，没有正应力，称为纯剪切应力状态。纯剪切的应力圆如图所示，从单元体图中很容易得到：主应力 ，第一主方向由x轴顺时针转45。主单元体见图中的斜单元体。b）单向应力状态图所示的单向拉伸应力状态， ，从应力圆图可知，切应力极值在法线与x轴成450斜截面上， ，相应斜面的正应力，如图的斜单元体所示。7.3、空间应力状态（1）空间应力状态的概念和实例取自受力构件的空间应力状态的单元体，其三个垂直平面上的应力是任意方向的，

36、但可以将其分解为垂直于作用面的正应力和平行单元体棱边的两个剪应力。类似于平面应力状态，对于这样的单元体，也一定可以找到三对互相垂直的平面，在这些平面上没有切应力，而只有正应力，按这样3对平面截取的单元成为空间应力状态的主单元体，相应的3个正应力成为主应力。主应力通常按代数值的大小，依次用、表示，即。根据主应力的数值，将应力状态分为三类：a）单向应力状态：只有一个主应力不为零的应力状态。b）平面应力状态（二向应力状态）：有二个主应力不为零的应力状态。c）空间应力状态（三向应力状态）：三个主应力均不为零的应力状态。（2）最大正应力和最大切应力第一主应力是最大正应力，第三主应力是最小主应力，即最大切

37、应力为：，最大且应力作用的方向为最大主应力逆时针旋转450，且于所在方向垂直，相应截面的正应力为（3）广义胡克定律在主方向上：其中，分别称为第1主应变、第2主应变、第3主应变。在任意方向上：7.4、材料的破坏形式（1）材料破坏的基本形式：材料破坏试验研究和工程实践都表明：尽管材料的破坏现象各不相同，但破坏的形式可以归纳为两类：塑性屈服和脆性断裂。塑性屈服材料出现显著塑性变形，失去正常工作能力。脆性断裂材料在无明显的变形的情况下突然断裂。金属材料有2种极限抵抗能力，一种是抵抗脆性断裂的极限能力，例如铸铁拉伸的抗拉强度；另一种是抵抗塑性屈服的极限能力，如低碳钢拉伸时的切应力。脆性材料对塑性屈服的抵

38、抗能力大于脆性断裂的抵抗能力，塑性材料对脆性断裂的抵抗能力大于对塑性屈服的抵抗能力。（2）应力状态对材料破坏形式的影响铸铁拉伸时脆性破坏，压缩时塑性破坏。三向拉伸时脆性破坏，三向压缩时塑性破坏。7.5、强度理论（1）强度理论的概念关于材料破坏原因的学说称为强度理论。（2）常用的强度理论A）最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论，认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到单向拉伸的强度极限时，构件就破坏了，破坏判据为：最大拉应力理论适用于脆性材料。B）最大拉应变理论（第二强度理论）认为构件的断裂是由最大拉伸线应变引起的，无论构件处于何种应力状态，当危险点最大伸长线应变达到极限应变

39、时，构件或者材料就破坏了，破坏判据为：最大拉应变理论适用于脆性材料。C）最大剪应力理论（第三强度理论）认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达到极限剪应力时，构件破坏，材料破坏条件为：最大剪应力理论适用于塑性材料。D）形状改变比能理论（第四强度理论）： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起的，当形状改变比能达到极限形状改变比能时，构件屈服，相应的判据为：形状改变比能理论适用于塑性材料。第8章 组合变形构件的强度8.1、概述在复杂外载作用下，构件同时产生两种或两种以上的基本变形，当几种简单变形所对应的应力属于同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。处理组合变形问题的基本方法是

40、叠加法。将组合变形分构件解为几个基本变形构件，分别计算构件在每一种基本变形下的应力和变形，然后再叠加。应用叠加原理的条件是构件处于线弹性范围，并且变形很小，以至每一荷载引起的变形和内力不受其它荷载的影响。对组合变形构件的强度分析计算方法，可概括为：（1）按引起的变形类型分解外力，通常是将荷载向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。（2）分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。（3）分别计算危险点处各基本变形引起的应力。（4）叠加危险点的应力，叠加通常是在应力状态上的叠加。然后选择适当的强度理论进行强度计算。组合变形问题中，强度是

41、研究的重点。8.2、弯曲与拉伸（压缩）的组合杆件上的荷载，除了有轴向力外，同时还有横向力，如图所示。在外力作用下，杆件将产生轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。杆件横截面上任意点处的只有正应力，其计算公式为：显然其中性轴为一条不通过形心的直线（形心处正应力恒等于N / A）。正应力沿截面高度线性变化，由轴力与弯矩分别产生的正应力（图(b)、(c)）相叠加结果如图(d)所示，杆件的上缘有最大拉应力，下缘有最大压应力。对抗拉压性能相等的塑性材料，强度条件为：8.3、弯曲与扭转的组合圆轴AB，左端固定，右端的圆轮边缘C处承受铅直力P作用。将力P向轴AB的形心平移，得到一个铅直力P及力偶。圆轴横截面上的

42、内力有弯矩M和扭距MT，圆轴AB将发生弯曲和扭转的组合变形。杆的危险截面在端固定，内力绝对值为弯矩MmaxPl，扭距MT 。由弯矩产生的最大拉应力和压应力分别发生在a，b两点，由扭矩产生的切应力最大发生在截面周边上的各点，它们分别为：如图(a)所示。圆轴上下缘a、b两处的原始单元体如图（b）所示。显然处于平面应力状态，在讨论此轴强度问题时，应使用强度理论。对于塑性材料制成的圆轴，应使用第三或第四强度理论来建立强度条件，危险点的主应力：代入第三、第四强度理论相当应力公式，得圆轴弯扭组合变形下的强度条件第9章 压杆稳定 （公开课）9.1、压杆稳定的概念构件承载能力：例1：h30mm b5 mm M

43、PaL30mm时，N L1000mm时，p30N时，杆就产生显著的弯曲变形而失去工作能力。这说明，细长压杆之所以丧失工作能力，是由于其轴线不能维持原有的直线形状的平衡状态所致，我们把这种现象称为丧失稳定，简称失稳。由此可见，横截面和材料相同的压杆，由于杆长度的不同，抵抗外力的性质将发生改变：短粗的压杆是强度破坏，细长压杆是稳定破坏，并且细长压杆稳定破坏的承载能力远远低于短粗压杆强度破坏的承载能力。因此，研究压杆的稳定性是非常必要的。例2 纸片的例子（1）压杆的稳定平衡与不稳定平衡下端固定，上端自由的理想长杆，在上端施加严格的轴向力，则无论力p多大，在直线形状下总是总是满足静力平衡条件的。该平衡

44、状态视其压力的大小，确有稳定与不稳定之分，这可以通过对压杆施加微小横向干扰使其偏离直线形式而产生微弯，然后撤掉来判断原有直线平衡状态是稳定还是不稳定平衡的。当压力小于某一临界值时，如果撤去干扰，压杆可恢复到原来的直线平衡状态，则原直线平衡状态的是稳定的；当压力大于某一临界值时，撤去干扰后压杆不能恢复到原先的直线状态，只能在一定弯曲变形程度下平衡，表明原有的直线状态的平衡是不稳定的。（2）临界荷载（力）由此可以看出，细长压杆直线平衡状态是否稳定，与压力P的大小有关。存在一个特定荷载值Pcr，当轴向压力P Pcr时，压杆的处于不稳定平衡状态。当压力P逐渐增至Pcr时，压杆直线平衡状态从稳定平衡过渡

45、到不稳定平衡。也就是说，轴向压力的量变，将引起原来压杆直线平衡状态的质变，由稳定过渡到不稳定平衡。（3）丧失稳定（失稳、屈曲）当轴向荷载逐渐增大至Pcr时，压杆丧失其初始直线形式的稳定平衡状态，称为丧失稳定，简称失稳。（4）失稳破坏的工程实例和特点特点：压杆 细长 P强度计算值 脆性破坏压杆稳定的工程实例：千斤顶丝杠、钢屋架上弦压杆、机械工程中钻孔机顶杆、采矿工程中钻杆；失稳现象不仅局限于压杆这一类构件：窄而高的梁，受外压的薄壁容器9.2、细长压杆的临界力对于确定的压杆来说，判断其是否会丧失稳定，主要取决于压力是否达到临界力值。因此，根据压杆的不同条件来确定相应的临界力，是解决压杆稳定的关键。

46、（1）两端铰支压杆的临界力：假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图， 我们从挠曲线近似微分方程入手，求临界力（欧拉法）。距杆下端x处截面的挠度为y，该截面的弯矩为: 其中C1、C2是待定的积分常熟，k中包含未知力P。根据杆的约束情况，我们可以得到两个积分常数：在x=0处，y=0在x=l处，y=0第1个边界条件带入，得到C20第2个边界条件带入，得到C10 或者 C1不可能为0，因为前提假设是杆处临界的微弯平衡状态 两端铰支压杆临界力的欧拉（Euler）公式从欧拉公式我们可以看出，压杆临界力Pcr与杆的抗弯刚度EI成正比，与杆长l的平方成反比，也就是说，杆越细长，临界力越小，杆越容易失稳。横截面的惯性矩I应取最小值，因为失稳总是在抗弯能力最小的纵向平面内发生；公式适用范围一是理想压杆，二是在线弹性范围内。压力P和挠度v的关系：常数C1不能确定，只能确定挠曲线的形状，是正弦曲线。这是由于我们采用的是挠曲线的近似微分方程造成的。采用精确的挠曲线微分方程得到的PV