工程冻土学.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流工程冻土学.精品文档.工 程 冻 土 学(冻土学原理第五卷)叶尔绍夫主编张长庆译莫斯科国立大学出版社一九九九年中国科学院寒区旱区环境与工程研究所冻土工程国家重点实验室二OO二年二月目 录序 言6第一章工程建筑物与多年冻土之间的热相互作用61.1问题的提出71.2解定常问题的分析法101.3按建筑原则施工时计算地温的定常周期解141.4非定常问题的精确分析解161.5近似分析解201.6数值解29第二章工程建筑物与冻土之间的力学相互作用382.1冻土地基中应力状态的形成382.2评价冻土变形的基本假定472.3桩基中冻土应力应变状态的形成542

2、.4冻土的临界强度和计算强度602.5土体融化时应力应变状态的形成63第三章工程建筑物与冻土之间的物理化学相互作用693.1工程建筑物荷载引起的冻土中的物理-化学过程693.2正冻和正融土与工程建筑物基础的物理-化学相互作用733.3土体的冻胀及其对建筑物的作用75第四章工程建筑物与冻土热力相互作用的概率-统计计算914.1土工体系的可靠度914.2评价可靠度的数值法934.3评价可靠度的解析法964.4按造价优化可靠性1004.5概率-统计计算在工程冻土学中的实际应用104第五章 国民经济开发中寒区110工程冻土条件分区1105.1按建筑原则进行寒区分区1105.2按危险冻土过程划分寒区11

3、65.3按人为冻土过程对生态条件的影响程度进行寒区区划123第六章寒区工程冻土勘测方法原理1326.1勘测要求和勘测阶段1326.2寒区工程地质勘测的方法特点1356.3复杂冻土条件下工程地质勘测的特点1436.4冻土图的形式和比例尺151第七章 各类建筑工程的工程冻土学研究特点1547.1工业与民用建筑工程的工程地质勘测1547.2矿山开采业与地下建筑的工程地质勘测特点1577.3线路建筑物工程地质勘测的特点1617.4水工建筑物工程地质勘测的特点1667.5为工程防护和在农业生物工程中的工程地质勘测特点168第八章建筑成本(造价)工程冻土图1718.1编图方法1718.2设计房屋建筑物时成

4、本图的利用1738.3工程勘测规划中建筑成本图的应用175第三篇寒区岩土工程学原理180第九章工业与民用建筑物1809.1建筑物类型及其结构1809.2房屋建筑物的冷却设施1859.3保障多年冻土上房屋建筑物稳定的方式保1879.4地基与基础计算193第十章公路与铁路19810.1寒区铺设道路的特点19810.2道路结构及其稳定性保障方式20010.3路基对不良冻土过程的防护20810.4路基计算21010.5数据计算211第十一章天然气与输油干管21711.1一般原理天然气与输油干线管道21711.2管道敷设方式22111.3管道跨越障碍物干线224第十二章 矿山开采与地下结构物24012.

5、1寒区矿山作业的特点24012.2 多年冻土中采矿巷道结构及确保其稳定性的方式24112.3矿山巷道计算250第十三章 水工结构物25513.1水工结构物的类型和结构25513.2大坝和堤堰25713.3材料坝25813.4 坝工设计、施工、运行的冻土学特点266第十四章冰构筑物27614.1冰雪作建筑材料27614.2冰仓库27814.3冰渡口27914.4冰码头导流堤坝28214.5冰岛28314.6 冰砌体与地下巷道砌面283第十五章寒区土壤改良学28515.1冻土过程控制手段的分类28615.2建筑土壤改良28915.3开挖多年冻结砂矿的工程准备29815.3.1 热量改良29915.

6、3.2水分-热量改良30215.3.3防止已融土体季节性冻结307第十六章 寒区工程建筑物运行311的特点和冻土监测311序 言本专著系冻土学原理的第五卷。着重论述工程冻土学的科学原理，研究对象为作为寒区地质体与工程建筑物相互作用 。科学而有步骤地选择以最安全、经济方式开发生产领域乃是工程冻土学研究的目的。工程冻土学作为冻土学的一部分，其发展不仅密切触及地质学与冻土学，而且涉及到其他许多学科：技术科学（建筑学、水利工程学、采矿学）、地理科学（气候学、水文学、地貌学）、基础科学（数学、物理学、化学、力学）和其他学科。工程冻土学的基本方向是：1） 建立工程建筑物与多年冻土之间热学、力学、化学相互作

7、用理论；2） 制订开发地区冻土过程、动态的工程冻土预报及其控制方法；3） 分析、总结寒区经济开发经验并制订多年冻土建筑施工与工程勘测标准；4） 制订工程冻土学的和环境保护科学基础。解决工程冻土学所有课题的方法都是基于对研究对象的系统观察。在此应将“大气-冻土-工程建筑物”体系作为其各部分相互关联、相互作用的统一体进行研究。应该指出的是，这个土工系统总是在极其活跃和不断地变化着。由此，在工程冻土学中应用空间-时间手段预报由于经济开发而导致冻土条件的变化至关重要。在本书各章节中作者将力图表达这些主要观点。在将本书手稿付诸出版的过程中，莫斯科国立大学地质系冻土学教研室的同仁们. .巴特里科，.戈尔捷

8、娃, .依米里雅诺娃, . .莎特洛娃和. .考兹洛夫曾作了许多努力，作者对此表示由衷的感谢。莫斯科国立大学地质系冻土学教研室.叶尔绍夫.赫茹斯塔廖夫一九九九年第二篇工程冻土学研究第一章 工程建筑物与多年冻土之间的热相互作用建筑物与多年冻土之间的热相互作用主要依赖于热量迁移的传导机制。渗透作用对于某些水工建筑物（例如具有冻结心墙的堤坝）和在其他某些特殊情况下可能起着显著的作用。细分散性岩土冻结时，在其成冰和冻胀过程中将发生水分迁移和毛细管现象。对此类问题已有许多学者作过研究。在本专著的第一卷中对细分散性土的热质迁移的物理基础和数学描述已经作过详细介绍。纳入建筑标准与规范（2.02.04-88）

9、的所有计算方法仅考虑了热量迁移的传导机制。在工程计算中当必须考虑水分输运中热量影响时通常在问题的解中要作相应修正，如将渗透系数改成导热系数。根据上述原因，本章不讨论的热质迁移的一般课题，而着重注意对工程冻土学起首要作用的传导问题及其解题方法。1.1问题的提出热量的传导输运由傅里叶经验定律描述，即热流密度q与温度T梯度之间存在比例关系 (1.1)比例系数称之为导热系数。负号表示热流朝向温度梯度。由傅里叶定律和能量守衡定律可以获得描述导热过程的基本方程 (1.2)式中C体积热容量，G单位体积中热流强度，t时间。对均匀介质，导热系数作为常数从散度符号中提出，而后除以C，则导热方程将简化，而当无分布热

10、流时具有最简单的形式 (1.3)式中=C为导热系数，表征介质热惯性和热量迁移过程的流动速率，拉普拉斯算子。为了保证方程（1.2）或（1.3）解的唯一性，必须给出初始条件和边界条件。初始条件描述的是某一计算时刻开始时的温度场 (1.4)式中f预知函数，通常根据勘测资料求得。但有时会变成称之为无初始条件的求解问题。这在要计算时间间隔很长时的温度场，系统的初始状态出现“被遗忘”现象时会出现上述情况。在这种情况下其计算区边界(照例在白昼的地表面)上通常会出现温度周期性规律（季节性波动）变化。此类解答通称为稳定-周期型解；它们在实际问题中起着明显的作用。自然地，在描述温度场恒定的稳定课题时不会规定初始条

11、件，对此将在下面予以讨论。在所有导热问题中，因其描述的是被研究体系和外部介质的热量交换问题，边界条件是绝对需要的。问题在于，在边界上常无单值解。这样，在一种基础或一些地下建筑物可能包括在计算范围之内，如此其他所有建筑物将作为温度状态已知的外部介质。一般来说，根据边界上的温度状态可划分出三种类型的边界条件。类边界条件给出的是计算区的温度，它是边界处时间和空间坐标的已知函数 (1.5)式中M(x,y,z)为边界上的给定点。通常在应用性课题中边界由不多的分段（2-3-5个）构成，每段的温度值与坐标无关（例如建筑物内部温度及其极限值）。也可能它本身就是其他类型的边界条件。类边界条件描述的是土与外部介质

12、接触处的理想温度，此时热交换阻力可以忽略不计（例如温度已知的非绝缘管道和金属储油罐）。类边界条件给出的不是温度值，而是它的导数 (1.6)此处符号表示沿法线求导，而给定条件的物理意义由傅立叶定律（1.1）表达，给出的是通过边界的热流密度。在边界上热流与周围土温无关并且可以量测或计算，例如对于电缆保温可采用类边界条件。无热流的类边界条件采用的非常频繁：多出现于平面对称或距离采暖建筑物足够远的边界上。通常是在计算区底部或侧面边界上具备这种条件。在底部边界上可能出现的是依靠地热梯度产生的热流。类边界条件乃是最通用的，它不仅包括温度本身，而且包括温度的导数 (1.7)式中(M,t)-热交换系数，t-顺

13、着作为坐标和时间已知函数的研究边界外部介质的温度。关系式（1、7）出自傅里叶定律（公式左端为热流密度）和牛顿实验定理。后者规定两个界面温差与 通过之热流密度成比例。比例系数称为热交换系数。它决定于坐标和时间，可能具有任意形式。因此，类边界条件所含的不是一个量而是两个量，它所给出的是已知时间函数和边界的坐标。类边界条件适用于大多数建筑物和构筑物以及屋外的白昼表面。它特别适用于建筑物内部之间（或表面的空气层），该处温度已知，同时土被作为一种隔热层（混凝土地面，隔热层，雪层），表现为对热交换的阻力-热阻。如有数层阻热层（如混凝土地面和绝热层）则其热阻应迭加。每层的热阻按其层厚除以导热系数分别计算。对

14、于积雪，该系数则按雪被已知的厚度和密度进行计算。与热阻相反的量乃是带入表达式（1.7）的热交换系数。描述稳定温度场的定常问题有其独特之处。当所有边界条件与时间无关，或是被证实在足够长时段内保持恒定时即可能命题为定常问题，为此系统应接近于具有一定精度之平衡状态。该时段的历时可用傅立叶准则估算 (1.8)式中l-系统的特征尺寸。该无量纲准则在任何情况下均大于1；而如果大于3时，则温度进一步变化只有在第三种标志下才会发生，这对于某些应用问题可能性较大。如果问题作为定常型问题提出，则对时间的导数变为零，同时方程（1.3）变换为拉普拉斯方程 (1.9)通常给出的是类边界条件，此时拉普拉斯方程变成了吉列赫

15、尔问题。在工程冻土学中定常问题照例具有一些附加的特征：对于比较复杂的非定常问题以后将应用分析解 (例如.波尔哈耶夫辅助温度法)。在寒区建筑物与地基土的热相互作用时,最重要的过程乃是地基土的融化与冻结作用。当“冰-水”相转换时,土的导热性和热容量发生变化，因此导温方程对于冻结区和融化区需单独表示，即得到融化区T1(x,y,z,t)中和冻结区T2(x,y,z,t)中两个具有未知温度的两个方程。相分界面的位置也是时间的未知函数，该函数可从称为斯蒂芬条件的特定条件和相变析出潜热时之能量守衡定律表达式求得。对于一维情况，其斯蒂芬条件表达式比较直观 (1.10)式中LV -单位体积土的相变潜热；h-被作为

16、时间未知函数的相边界的当前坐标；脚标1和2分别代表融区和冻区（以后将采用此约定）。上述相变问题定名为斯蒂芬问题。在粘性土中，特别是盐渍化粘性土中，水变成冰或相反的冰变成水时的相变不具有剧烈相变的特征，而只是发生在一定的温度区间内（被称为“在谱中”），该区间的宽度由未冻水含量曲线确定。其结果相变分界面不连续。在大多数情况下此一效应可忽略不计，故而在解普通斯蒂芬问题时对计算不会带来重大误差。当有必要考虑上述现象时，土被作为一具有变热容量C（T）的单相系统 不仅靠其均匀地从“完全冻结”变为“完全融化”，而且依靠水的相变潜热（根据水的未冻水含量曲线确定）。自然地，此时导热系数依然表现为温度的函数。由此

17、导热方程具有以下形式 (1.11)此方程为一非线性方程，不满足叠加原理，因此即使在简单情况下也难以求得分析解。事实上，实际情况更为复杂，因为在负温区间里于一定相变温度下，束缚水在冻结，自由水也在冻结，这就意味着在该温度下存在着相的分离界面。这样一来，问题表现为两相问题，冻结区由方程（1.11）描述，融化区由传热通式（1.3）表达，而相分离边界面则变成了斯蒂芬条件（1.10）， 此时LV值仅考虑的是自由水的相变潜热。1.2解定常问题的分析法在工程冻土学中定常课题通常为具有逐段恒定边界温度的吉列赫尔问题。从理论研究中（斯米尔洛夫、1956，捷霍洛夫、萨米尔斯基、1972）得知，吉列赫尔问题的通解出

18、的是温度边界积分乘以格林函数，该函数的形式仅与边界区的形态有关。因此在逐段恒定边界温度的情况下该通解可分解为n个积分之和（边界各段温度不同)，在每段中将恒定温度Ti从积分符号中提出，即方程解变成了求和式 (1.12)式中函数fi(x,y,z) 仅与计算区的形状（轮廓）有关，由此将它们称之为轮廓函数。该方程的性质，以后可以了解，乃是所有轮廓函数之积恒等于一， (1.13)以上我们所指出的是半平面问题的最简单解。进一步它将被用于更复杂的问题。解拉普拉斯方程 (1.14)在具有类边界条件的半平面-x,0y中 (1.15)该解的通式由泊松积分给出（斯米尔洛夫，1956） (1.16)让我们研究逐段恒定

19、的边界温度 (1.17)它可以作为宽度为2b，坐标原点在其中心(纵轴坐标朝下)的单个建筑物处理。将式（1.17）带入（1.16），得到 (1.18)函数 (1.19)为一轮廓函数，它取决于建筑物的宽度。此解具有明显的几何含义。反正切之和即视角本身，在该视角下从已知点可以通视建筑物。沿任一等温线T(x,y)=const， 该角保持恒定。因此，按照圆周外切角理论，等温线乃是一簇带公切线的圆-其在建筑物横坐标轴上的投影（图1.1）。如果建筑物室外温度T2不等于零，则进而计算积分（1.16）即无意义。基于（1.12）和（1.13）的共性, 即可得到 (1.20)对大多数温度不同，式（1.18）形式各异

20、的建筑物，其解答为求和式（1.12）。不难再次遇到恒等式（1.13）。所有类似于式（1.19）的视角之和，乃是整个横坐标轴下可以通视的角度，即。考虑到的含意，我们可以得到恒等式（1.13）。对于更复杂的计算区采用保角影象法(即保角变换法译注)。计算区投影于半平面上或另一区域，对此解答是已知的；而后此解变换为初始坐标。让我们讨论将该法用于边界条件分别为-x,0yH的区域（图1.2） (1.21)这是工程冻土学中最常见的一个问题：宽度为2b之建筑物坐落于顶板深度为H 的非连续型多年冻土上；T1和T2分别为建筑物下室内外的地表温度；T3为多年冻土层顶板的温度。为什麽要写成T3而不写成零呢？，这是一个

21、原则性问题。写成零，就意味着我们“遗忘了”轮廓函数f3。但是为了解决比较复杂的非定常问题，我们一开始就需要所有的函数。因此在解决类似的问题时，我们开始使用所有随意的边界温度（也许还有零），只有在用了所有轮廓函数之后才认为T3=0。为应用保角变换法首先引入无量纲变量（u，v）和无量纲的建筑物半宽c。 (1.22)现在我的平面条带将成为的是宽度为，建筑物宽度为2c的一个条带。我们讨论的平面(u,v)不是实体的平面，而是复合平面w=u+iv，将其保角变换于另一复合平面z=p+iq上，直接用解析函数z=exp()或分解为以下形式 (1.23)此时我们的条带(0v)变换为半平面（q0），建筑物边界(v=

22、0)变成半直线(p0，q=0)，多年冻土也是半直线(p0，q=0)，从而整个边界条件成为一条直线（图1，2），而且用如下函数表示 (1.24)接着考察作为实体的平面(p,q)，我们可以看到，对于半平面的吉列赫尔课题，只要改变一下变量的符号，即可由公式（1，16）给出解答；积分被分解为四部分之和，但其中两部分是温度T2，将其自括号内提出后可以写成 (1.25)函数f1和f3可直接通过积分求得 (1.26) (1.27)函数f2从恒等式（1.13）求出。从解析函数理论（马尔库舍维奇，1978）得知，借助于一些变换所得到之变换式(1.23)具有以下性质：若函数T(p,q)是平面(p,q)域中拉普拉斯

23、方程的解，则通过变换坐标式（1.23）得到的函数T(u,v)即是平面(u,v)相应域中的解。因此将式（1.23）带入（1.26）和（1.27），并顾及到恒等式(1.13)，我们得到轮廓函数 (1.28) (1.29)应该指出，函数f3(u,v)实际上仅与坐标v有关。对公式（1.22）改用带量纲的初始变量(x,y)代换（1.29）得到 (1.30)在温度已知的半空间(z0)情况下，边界顶面上有 (1.31)吉赫列尔问题解由如下泊松积分给出（基霍洛夫，萨玛尔斯基，1972） (1.32)每个计算点M都是角点；b.更复杂的情形：两个矩形重叠的阴影必须扣除对于长方形建筑物，容易写出该解的具体形式（波尔

24、哈耶夫，1970）。位于角点下的各个点该解具有最简单的形式，我们可以写出相应的轮廓函数 (1.33)式中B，L-为建筑物的宽度和长度。事实上已知函数仅决定于两个无量纲数LB和zB，由此，为了计算方便起见，可以将其制成表格或诺模图。为了计算建筑物（包括形状比较复杂的建筑物）地基中任一点的定常温度，下面介绍土力学中已经熟知的戈赫曼角点法（1988）。选择一长方形建筑物平面上我们所需要的点（最简单的是四个角点）（图1.3），从其中选择每个角点求得相应函数（1.33）并将其叠加。如果是一些温度各不相同的建筑物，则将每一矩形的轮廓函数乘以相应的边界温度Ti，同时所取点(x0,y0)下的未知温度写成 (1

25、.34)式中T0-天然条件下的土温。如果带入（1.34）式的温度符号不同（冻结区和融化区），则其每一个都应乘以相应的导热系数。角点法可以求出所选点下的极限（稳定）融化深度或冻结深度zmax。令式（1.34）右端为零，则对该深度得到以下方程 (1.35)从导热系数（冻结的和融化的）所选之每个值与对应的温度符号有关。在实际计算中解方程（1.35）用作图法比较方便。工程冻土中的某些课题具有轴对称性,例如由温差效应引起的土壤冷却和冻结作用问题。对此类非定常问题我们利用近似法，以定常解作辅助求解。下面给出的就是这种解。拉普拉斯方程用圆柱坐标(r,z)描述比较合理，而且由于轴对称性，方程的解与极性角无关，

26、并且该变量的导数变成了零。其次，在实际问题中管型构件的长度多倍于其直径，因此，研究均质无限长圆筒由于隐含对变量z求导，从而拉普拉斯方程具有以下形式 (1.36)边界条件 (1.37) 即所描述的是一个在圆环(r1rr2)中的恒定温度场。常微分方程（1.36）的通解形式为T(r)=C1lnr+C2。从边界条件求出积分常数后我们得到 (1.38)更复杂的是寻求建筑物下地下管道或带冷却系统的水平管道周围定常温度场问题此时需要考虑地表面的影响，即问题为非对称性课题。此类问题用保角变换法求解。计算公式可在. 波尔哈耶夫（1990）的专著和参考手册“工程冻土学”（1991）中找到。1.3按建筑原则施工时计

27、算地温的定常周期解如果在足够长的时间内仅仅地表温度发生周期性变化（季节性波动），那麽我们有理由希望确定与地表波动周期时相应的整个研究系统的变化动态。在实用课题中常使用这种定常周期解。为了寻求这种解答我们讨论一维问题 (1.39)其周期边界条件为 (1.40)式中A-季节性波动振幅，相应于一年周期内的季节波动频率，可换算为简单叠加的复合函数。既然在确定动态时温度只是随时间（季节）单独变化，那么解可以写成T(z,x)=f(z)exp(it)。将其带入式（1.39）中得到if(z)=f(z)。此常微分方程的通解为系数C2=0，否则温度随深度无限增长。 C1从边界条件（1.40）求得。最终我们得到(取

28、解的实数部分) (1.41)此即所谓的傅利叶解。它描述的是以衰减振幅逐渐向下活动的温度波。以上所得解答可用以计算保持地基于冻结状态（原则）时的基础。考虑到多年冻土上界面处的温度以平均值T0 的调和定律和同样的振幅变化（即一年内温度从零变至2T0)。在这种情况下，当A=T0时正的不变数包括T0，公式（1.41）给出的解为 (1.42)对于柱式基础和条形基础，作为深度z的函数的表达式（1.42）表示的是年最大值。相应的函数f的极值称作季节变化系数，并以带无量纲自变数z的列表形式列入，即温度的计算值按下式确定 (1.43)式中a-季节变化系数。对于桩基础则计算比较复杂，但所得到的结果形式却大体相同。

29、由于衰减着的温度波沿着桩在移动，不可能求出温度的“最大”值，虽然可以直接找到沿整个桩表面冻结力的年最小值，但这样将热工计算与力学特性硬性联系起来的作法又极不方便。.道库恰耶夫（1968）曾给出过该问题的解答。冻结强度可较好的用下式表达 (1.44)式中C1，C2经验系数，其具体数值在此处无关重要，重要的在于关系式（1.44）的形式。将已知深度和时间的温度带入关系式（1.42），冻结强度沿整个桩长积分，即可求得年最小冻结力Fm。我们引入作为一个恒定温度的当量温度，在该温度下冻结力等于Fm，于是当量温度Te从以下方程求得式中up为桩的周长，z为桩沉入多年冻土的深度。不难发现，桩的周长和系数C1和C

30、3可从此方程中消去，从而该方程变成 (1.45)实际上此式与式（1.43）相同，因为第一项乘数仅与无量纲自变量z有关。这个乘数也称之为季节变化系数，记为ae。其值列入用am表示，从式（1.43）得到的具有一系列系数值的表格中。在还给出了一个季节变化系数az，它对应于桩侧表面的冻结力达到最小值时的桩末端温度Tz，即与从式（1.45）求当量温度Te时的温度相呼应。如果建筑物下多年冻土表面的年平均温度T0与其室外温度T0相等，那么确定计算温度的问题即已解决。为了考虑它们的差别，首先考虑季节融化层以下的区域。此处为线性问题，叠加原则适用，其次，建筑物的热影响作用会持续不变，由此地基得以维持稳定状态。可

31、见，建筑物的热影响问题可以作为定常问题来研究，而其形如（1.20）式的解答即为定常周期解（1.43）的简单求和式。最后我们引用中熟知的计算公式 (1.46)式中k热力影响系数，也就是当x=0（建筑物中点），x=b（建筑物边缘）由式（1.19）计算出的轮廓函数。波尔哈耶夫（1970），费道诺维奇，戈赫曼（1985）给出了三维定常问题的解答。以列表形式给出了相应于建筑物中心、长边和短边的中点、以及角点处的热力影响系数值。1.4非定常问题的精确分析解1.4.1分离变量法求解非定常问题的主要的通用方法是分离变量法。下面我们以无限长直线上的最简单的一维问题为例来阐述其主要观点 (1.47)其初始条件为

32、(1.48)由于该问题系无边界问题，因此没有边界条件。上式的部分解为两个函数的乘积，其一为仅与坐标有关的(z)，另一个是仅与时间有关的(t)。将其乘积带入方程（1.47）我们得到(z)(t)=a(z)(t)或(t)a(t)=(z)(z)=-2，式中=const，由于等式的一端与坐标无关，另一端与时间无关，我们得到两个方程 (1.49)其解答为 (1.50)式中随意系数A和B可能与有关。由于在此问题中无任何边界，参数可为任意数值，因此方程（1.47）的通解变成了积分式 (1.51)现在，初始条件（1.48）将由下式给出 (1.52)由此容易认定,系数A()和B()可用傅立叶积分分别按正弦和余弦积

33、分求得。现在集中到问题的解上来。经过进一步简化和推导 ，最终得到通解为 (1.53)可见，甚至在最简单的情况下分离变量法要求相当长的数学推导.当边界出现时此问题由于方程组（1.49）中第二个方程（坐标方程）变成特征值问题（什图尔玛-里沃维尔亚问题）而更形复杂。但对于杆件则此问题的解将简化（初值成为一系列自然数，原函数变成正弦和余弦），那么在两维和三维情况下解答就成了严重问题.其次，代替积分（1.51）的将是带有非单一原函数特征值的无穷级数（甚至像园和园筒如此简单的区域，都将是贝塞尔函数）。相应的函数式变成了求系数Ai和Bi的条件式（1.52）。作为问题的解答，即使与表达式（1.53）相差无几，

34、也几乎无法求解。采用无穷级数解在研究工作中有可能显示成效，它们可以借助于数学分析方法揭示某些重要规律性，但对解决实际问题无益，因为要求在电子计算机上进行计算。这比之于原来用数值计算法直接，求解难度并未减少多少。1.4.2拉普拉斯变换在偏微分方程分析解法中还有一种常用的方法，即积分变换法。其个别情况乃是拉普拉斯变换，被用于解非定常热传导问题。拉普拉斯变换系将每一个由复合变量p表示的函数f(x)按以下规则相应的变成函数F(p) (1.54)函数F(p)称为f(t)的形象函数，函数f(t)称为F(p)的奇异函数。这符合带两个点的等式符号的标记习惯严格地讲，为使（1.54）右端对函数f(t)能够积分，

35、需要附加一些条件。但是这些条件是不严格的，并且对实用问题中有物理意义的任意函数也曾作过尝试。拉普拉斯变换令人最感兴趣的性能之一在于可将其用于解微分方程，包括将奇异微分运算变换为相应的代数运算 (1.55)这一事实简单的论证了（1.54）形式的积分，同样可以如此容易地将其推广到高阶导数上去。由于常微分方程变换成了代数方程，变量(x,t)的偏微分方程变换为变量x的常微分方程，其大多数变量减少到只有一个。在热传导问题中拉普拉斯方程是对时间t求解的，因此在方程中该变量消失，即非定常问题变成了定常问题，但是方程最终还是要比拉普拉斯方程复杂，因为按照式（1.55），在右端方程不包含零，而是未知函数本身。在

36、解此类问题时我们遇到了上述所有的困难（什图尔玛-里沃维尔亚函数，特殊函数的无穷级数等等）而且还可能遇到奇异形象问题。后面将会涉及到拉普拉斯变换的一些共性问题和适合奇异形象的图表。还可以介绍一些更详细的专业文献（斯维什尼科夫，吉霍洛夫，1967；雷科夫，1967），但我们需要指出的是，在工程冻土学课题中拉普拉斯变换还没有得到多少广泛应用。总之，在解工程冻土学的非定常两维和三维问题时，精确分析解法实际上还未得到广泛利用，而仅仅采用的是近似数值分析法。1.4.3自模拟解对于一维问题我们给出了非常有效的、作为一种熟知的相似法的精确分析法，相应的解常被称之为自模拟。此法甚至对斯蒂芬课题也能得到精确分析解

37、，诚然只在具有简单的初始条件和边界条件的情况下才能如此。在工程冻土学中，一维问题几乎都是作为半有限问题解题的，也就是说这种情况下讨论的是 (1.56) (1.57) (1.58)我们立即可以看出，一开始温度就可变成T0 ，而且当条件为下式时同样可得到问题的解 (1.59)而后相反的变动级差，补充T0即可求解。相似法的概念在于，长度比例以n倍，时间比例以n2倍，二者同时变化时热传导方程才保持不变，条件式（1.57）（1.58）同样保持不变，而且n绝不是整数。因此对任何的z和t下的T(z,t)=t(zn,tn2)，即沿着任何直线，按方程t=z2计算得到的温度是不变化的。这意味着实际上温度与两个变量

38、无关，而是与其组合量z2t有关，或者它本身就是zt-12。因此我们可以假定 (1.60)将（1.60）式带入式（1.56）（引入乘数0.5是为了以后书写简化），我们得到常微分方程 (1.61)边界条件我们可从式（1.59）得到 (1.62)对方程（1.61）求解 (1.63)此处积分的上限是为了满足条件式（1.62）的第一个而给出的。同样，给出的第二个件式是 (1.64)在数学中广泛应用 两个称之为erf的函数 (1.65)而且清楚的是，无论何时总有erf(x)+erfc(x)=1 。利用此类函数之第二个，顾及到式（1.64），改写式（1.63），得到f(x)=T*erfc(xa-12)，之后

39、再从式（1.60）还原初始变量，并平移温度标记（1.59）即还原为 (1.66)此解即著名的傅立叶解（与定常周期解不要混淆，二者名字相同）。相似法还可解决下面的含相变问题（斯蒂芬问题）。让我们讨论具有恒定温度T00的冻土体，在t=0的开始瞬间，其表面(z=0)保持一恒定温度Tc0。令Z轴方向朝下，我们记取活动的相变界面位置通过h，取相应于融化区和冻结区的角标为1和2。我们将热传导方程式（1.56）写成两个，对冻结区(0zh)和融化区(hz分别描述，初始条件和边界条件分别为 (1.67)融化边界上的边界条件为 (1.68) (1.69)后者即斯蒂芬条件，已在问题提出的一节中(1.1)作过详细介绍

40、。不难看出，此问题的相似条件，前面已经给出过（对其斯蒂芬条件也已给出）。因此，所有推论和计算结果只不过是简单重复而已，因此问题的解将具有以下形式 (1.70)式中常数A1，B1，A2，B2必需从条件式（1.67）和（1.68）求出。将（1.70）带入这些条件，我们得到方程组(1.71)最后两个方程应按整个时间段进行计算，而这只有在以下情况下才可能 (1.72)式中为某一常数（暂时未知）。考虑（1.72）解方程组（1.71），经简单变换后得到 (1.73)为了确定常数应对函数（1.73）进行全积分，并带入斯蒂芬条件式（1.69）。由于得到的是一长串超越方程，该方程可能只有数值解（雷科夫，1967

41、，吉霍洛夫，萨玛尔斯基，1972）。我们曾获得过融化问题的解。冻结情况下的区别仅在于改变初始温度和边界温度的符号和指数1和2。此解即熟知的斯蒂芬解。这种含相变的问题具有精确解是一种唯一情况（尽管常数终久是通过数值计算求得的）。在工程冻土学中往往利用斯蒂芬解和以上给出的傅里叶解，以后我们还将会遇到它们。1.5近似分析解对于有限圆问题，特别是含相变的问题可以得到精确解。从另一方面讲，数值法是通用的，即实际上可用于任何问题，但它具有原则性缺点：没有提到明显的机械时间的消耗问题，在数值解中不能有“游离参数 ”，某个或另一个参数改变不多而且立刻可以找到，象修改解答那样，原始资料的任何变化都将必须全部重新

42、计算。在工程实践中这种情况很少能被采纳。根据上述情况，在工程冻土学中，特别是对含相变的问题获得广泛应用的是近似分析计算法。该法实质在于问题立论的物理基础简单明了，可以得到相对简单的解答，公式易于计算，而且在同样时间内不会带来重大偏差，误差被限定在原始资料精度范围以内。在工程冻土学中，近似分析法主要用于土的冻结和融化问题，其主要目的在于确定作为时间函数的相边界位置，而不要求精确的计算温度场。在所有此类问题中基本（常是唯一的）简化是假定这是一个准稳定过程。假设相界面活动时，冻结区和融化区的温度场连续不断的从一种稳定状态转变为另一种状态，即总是满足拉普拉斯方程。事实上这种假设（文献中经常提及的.列别

43、戎原理）是以相界面的移动速度远比温度场的重建速度要缓慢为依据的。大量施工运营工程所专门开展的冻结与融化过程多年观测的实践表明，这个假设没有给相变界面位置的计算带来明显的偏差。1.5.1一维斯蒂芬问题返回到已经讨论过的斯蒂芬问题，并将其用于解如下初始和边界条件（土被认为是已冻的）时的准稳定近似问题 (1.74)式中Tc(t)任一非负值的时间函数，且变化“不很快”。例如，它可以描述地表年平均温度等的夏季或长周期变化。无疑，与条件式（1.67）相比，此处问题的初始条件有一些简化，但边界条件却实际上复杂化了，因而该问题没有精确的分析解。利用准稳定假设得到，式中h当前的融化边界位置。冻结区无边界，因此斯蒂芬条件式（1.69）形式为1Tc(t)h=L