导数及其应用.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流导数及其应用.精品文档.导数及其应用1、 应用导数解有关切线问题：（1）、过某点的切线不一定只有一条; 如：已知函数过点作曲线的切线，求此切线的方程（答：切点分别为（0,0），（3,18）。或）。 （2）：设函数在上单调函数，则实数的取值范围_（答：）；2、应用导数解函数的极值问题：(1)、3、应用导数解函数的最大值和最小值问题：（1）函数在0，3上的最大值、最小值分别是_（答：5；）；（2）已知函数在区间1,2 上是减函数，那么bc有最_值_答：大，）（3）方程的实根的个数为_（答：1）（4）函数处有极小值10，则a+b的值为_（答：7）1

2、3、定积分：（1）.直线和直线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。推理与证明（1）、观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，则可得出一般结论： （3）类比平面内的直角三角形的性质猜想空间中的类似定理。演绎推理：数系的扩充与复数1、几个结论：（3）（4）（5）（6）计数原理、排列组合与二项式定理1、全错位法，n个编有号码1,2，3，n的元素，放入编有号码1,2，3，n的n个位置，并使元素编号与位置编号不同，则共有多少种放法？n=1时，有0种，n=2时有1种,n=3时，有2种，n=4时，有9种，n=5时，有44种,一般，1、排列组合应用

3、题的最基本的解法有：1）直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法。如：（1）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位偶数_156_个；（2）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_6_；先排第一节，再对第二节分类讨论。（3）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有84_种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_96_种。（1）分三步：第一步先选

4、两个空盒，第二步把四个球分成两组，第三步把分成的两组放入余下的两个空盒中。（2）（4）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_ 31 _从反面考虑，并用全错位法。2）间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。如(1)正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，能构成多少个直角三角形。(2) 正方体的八个顶点中任取四个点为四面体的顶点，能构成多少个这样的四面体？(3)在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确

5、定三角形的个数为_。15。注意有四点共线与三点共线。3）先选后排，注意分类讨论。选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_。常用技巧有：1)插空法（不相邻），捆绑法（相邻问题），（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_2880_；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_20_；先捆绑后插空。（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张

6、票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_ 144 _连续编号有：（12）（23）（34）（45）（56），（4）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_24_种；（5）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_ 42 _。2)插板法（可化为正整数解的问题），相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？答 36,15 （2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每

7、个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？答 9个洞，插6块板， 3)等分法，如：5人站队，要求甲站在乙的前面，有多少种不同的站法？604)平均分配（n个元素平均分成m组）。要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）；5）解排列组合问题的依据是：如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 243 种；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 70 种；（3）从集合和中

8、各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_ 23 _；（4）72的正约数（包括1和72）共有 12 个；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_ 90 _个三角形；按含A与不含A分类。CDCDE（6）（涂色问题：用分类讨论法）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有 480 种不同涂法；引伸练习：上题中变为如图A、B、C、D、E五块区域，又有多少种不同的涂法。分类法：分四类：（1）B、C同色，且A、D同色，（2）B、C同色，且A、D不同色，（3）B

9、、C不同色，且A、D同色，（4）B、C不同色，且A、D不同色，共1560。（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 .9 种；（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有 7 个；列表分类。（9）满足的集合A、B、C共有 组。6、(1)二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+ Cab+Cb nN，它共有n+1项，其中C（r=0,1,2n）叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项，TCab，特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的

10、展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如：（1）的展开式中常数项是_ _；（2）的展开式中的的系数为_ ；（3）数的末尾连续出现零的个数是_ 3个 _；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_ 7 _项；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_ 5 _个；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 ；(7)函数的最大值是_ .(2)、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的

11、式子：（1）（1x）=1+Cx+Cx+Cx+x (a=1,b=x)(2) C+ C+ C+C=2 (a=b=1)(3) C+ C+= C+=2 (a=1 b=-1)应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。如（1）如果，则 ；（2）化简得 （3）已知，则等于_ ；（4），则_ _；（5）设,则_。(3)、杨辉三角：11（a+b）121 （a+b） 1331 （a+b）14641 （a+b）15101051 （a+b） 1615201561 （a+b）表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。当n的数值不大时往往借助杨辉三

12、角直接写出各项的二项式系数。(4)、二项式系数的性质：1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即2)增减性与最大值：当r时，二项式系数C的值逐渐增大，当r时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_ ；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_ 18 _。(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数最大的项在上面的基础上再分析符号。设第项的系数最大，由不等式组确定。或由来确定。

13、如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。7、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_0.990 _；（2）被4除所得的余数为_ _；（3）今天是星期一，10045天后是星期_ 二 _；（4）求证：能被64整除；（5）求证：6、(1)二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+ Cab+Cb nN，它共有n+1项，其中C（r=0,1,2n）叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T表示，即通项为展开式的第r+1项，TCab，特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的

14、两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如：（1）的展开式中常数项是_ _；（2）的展开式中的的系数为_ ；（3）数的末尾连续出现零的个数是_ 3个 _；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_ 7 _项；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_ 5 _个；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 ；(7)函数的最

15、大值是_ .(2)、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：（1）（1x）=1+Cx+Cx+Cx+x (a=1,b=x)(2) C+ C+ C+C=2 (a=b=1)(3) C+ C+= C+=2 (a=1 b=-1)应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。如（1）如果，则 ；（2）化简得 （3）已知，则等于_ ；（4），则_ _；（5）设,则_。(3)、杨辉三角：11（a+b）121 （a+b） 1331 （a+b）14641 （a+b）15101051 （a+b） 1615201561 （a+b）表中除1

16、以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。(4)、二项式系数的性质：1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即2)增减性与最大值：当r时，二项式系数C的值逐渐增大，当r时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_ ；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_ 18 _。(5)、求二项式展开式中的系数绝对值最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数最大的项在

17、上面的基础上再分析符号。设第项的系数最大，由不等式组确定。或由来确定。如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。7、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_0.990 _；（2）被4除所得的余数为_ _；（3）今天是星期一，10045天后是星期_ 二 _；（4）求证：能被64整除；（5）求证：6、(1)二项式定理：(a+b) =Ca+ Cab+ Cab+Cb nN，它共有n+1项，其中C（r=0,1,2n）叫做二项式系数，Cab叫做二项式的通项，用T表示，即通项为展开

18、式的第r+1项，TCab，特别提醒：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；（2）当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；（3）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？如：（1）的展开式中常数项是_ _；（2）的展开式中的的系数为_ ；（3）数的末尾连续出现零的个数是_ 3个 _；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_ 7 _项；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_ 5 _个；(6)若二项式

19、按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 ；(7)函数的最大值是_ .(2)、在二项式定理中，对a,b取不同的值可推出许多常用的式子：（1）（1x）=1+Cx+Cx+Cx+x (a=1,b=x)(2) C+ C+ C+C=2 (a=b=1)(3) C+ C+= C+=2 (a=1 b=-1)应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。如（1）如果，则 ；（2）化简得 （3）已知，则等于_ ；（4），则_ _；（5）设,则_。(3)、杨辉三角：11（a+b）121 （a+b） 1331 （a+b）14641 （a+b）

20、15101051 （a+b） 1615201561 （a+b）表中除1以外的其余各数都等于它肩上的两个数之和。当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数。(4)、二项式系数的性质：1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即2)增减性与最大值：当r时，二项式系数C的值逐渐增大，当r时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等并同时取最大值如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_ ；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_ 18 _。(5)、求二项式展开式中的系数绝对值

21、最大的项常先判断系数的绝对值的单调性。求二项式展开式中的系数最大的项在上面的基础上再分析符号。设第项的系数最大，由不等式组确定。或由来确定。如求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。7、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_0.990 _；（2）被4除所得的余数为_ _；（3）今天是星期一，10045天后是星期_ 二 _；（4）求证：能被64整除；（5）求证：第二十七讲随机变量及其分布1、如果随机变量可能取的值是可数的，或者说可以按一定次序一一列出的，那么，这样的随

22、机变量叫做离散型随机变量。如果随机变量可以取某一区间内的一切值，那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。如果离散型随机变量可能取的值为x,x,xx,而取每一个值x (i=1,2,3,)的概率P（x）=p,那么如下表所示xxxxppppp就称为随机变量的分布列。具有下列性质：（1）0p1，(i=1,2,3,)，（2）pp pp1（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。2、如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复的试验中这个事件发生k次的概率是：，k=0,1,2,n.这时因为展开式中的第k+1项，称服从二项分布，记作，并记n1时，称为贝努利分布。

23、3、在独立重复的试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数也是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k”表示在第k次独立重复的试验时事件第一次发生。如果把第k次试验时事件A发生记为,事件A不发生记为，那么服从几何分布。记其中q=1-p,k=1,2,3,4、称为的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。称为的均方差，简称为方差，叫做随机变量的标准差，记作：。易证：（1），。（2）若（3）若（4）若服从几何分布，则如(1)有一组数据：x1,x2,xn(x1x2xn)，它们的算术平均值为20，若去掉其中的xn，余下数据的算术平均值为18，则xn关于n的表达式为 。(

24、2)已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为 （ D ）A15，36 B22，6 C15，6 D22，36 5、条件概率定义 ：设A和B为两个事件，P(A)0，那么，在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率读作A 发生的条件下 B 发生的概率由这个定义可知，对任意两个事件A、B，若，则有如果B，C是两个互斥事件,则.练习：一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P（AB），P（AB）。6、正态分布：(1)定义：如果随机变量的总体密度曲线是由

25、或近似地由下面的函数给定：，xR,则称服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中表示总体平均数，叫标准差，正态分布常用来表示，当0，1时，称服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。叫标准正态曲线。(2)、正态曲线，xR的有关性质：1）曲线在x轴上方，与x轴永不相交，曲线与x轴之间的部分的面积为1，2）曲线关于直线x对称，且在x两旁延伸时无限接近x轴，3）曲线在x处达到最高点，峰值为，（4）当一定时，曲线形状由的大小来决定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。(3)、在标准正态总体N（0，1）中：（1）（因为曲线关于y轴对称）（4）、（5

26、）、第二十八讲统计案例回归直线方程通过样本点的中心：线性相关系数：2、散点图的作用是判断两个变量更近似于什么样的函数关系。3、回归分析中回归效果的判定：总偏差平方和： 残差：；残差平方和：残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较适合。带状区域越窄，模拟效果越好。如果某个样本点的残差特别大，那要考虑该数据的采集是否有误。相关指数两个分类变量x,y的独立性检验的依据是判断等式是否成立。了解独立性检验(只要求22列联表)的基本思想、方法及初步应用.A总计Baba+bcdc+d总计a+cb+dn=a+b+c+d第二十九讲坐标系与参数方程1、 自觉运用坐标法解几何题练习：（1）用坐标法证

27、明三角形的三条高交于一点，（2）在已知三角形所在的平面内找一点，使它到各顶点的距离的平方和最小。平面直角坐标系中的伸缩变换：（1）（2）将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到即（3）直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线。但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置。圆和椭圆可以通过伸缩变换进行转化。3、 极坐标系： 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成。对于平面内任一点P，若设OP=r（0），以Ox为始边，OP为终边的角为q，则点P可用有序数对（r，q）表示，（由于角q表示方法的

28、多样性，故（r，q）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式）。对于极点O，其极坐标为（0，q），q为任意值，但一般取q=0，即极点的极坐标为（0，0）。 4、. 极坐标与直角坐标的互化： 互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（r，q），则 若把直角坐标化为极坐标，求极角q时，应注意判断点P所在的象限（即角q的终边的位置），以便正确地求出角q。 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 5.四类直线的极坐标方程：（1）直线过极点且倾斜角为： （2）直线过点且垂直于极轴： （3）

29、直线过且平行于极轴：（4）若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为： 6、几个特殊位置的圆的极坐标方程：（1）当圆心位于极点：， （2）当圆心位于： （3）当圆心位于：（4）若圆心为，半径为r的圆方程为： 7、 利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题。柱坐标系与球坐标系：如图在空间直角坐标系Oxyz内，设P产空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时P点的位置可用有序实数组表示，这样建立了空间的点与有序实数组之间的一种对应关系。上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序实数组叫柱坐标。柱坐标系又称半极坐标系。如图中设OP与Oz轴正

30、方向的夹角为，则P点的位置可用有序实数组表示，这种对应的坐标系叫球坐标系，叫球坐标。称被测点的方位角，称为高低角。球坐标系又叫空间极坐标系。 9、参数方程与普通方程的区别与联系： 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）0，这样得到的方程F（x，y）0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间接地联系起来，此时可得到方程组 显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系

31、，而参数方程则反映了x，y的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但他们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。 实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量。参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值问题

32、时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 10、 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。要注意整体代入法及参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。11、 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=j(t)），再代入普通方程F（x，y）0，求得另一关系y=j(t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角（如圆、椭圆、双曲线）、有向线段的数量（如直线）、斜率（抛物线是以斜率的倒数为参数），某一点的横坐标（或纵坐标）。 12. 常见曲线的参数方程的一般形式： （1）经过点

33、P0（x0，y0），倾斜角为a的直线的参数方程为称为直线的标准参数方程。经过点P0（x0，y0），以为方向向量的直线的参数方程为称为直线的一般参数方程。此式中的。 利用直线的参数方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，有时比较方便。方法是： 则（1）当0时，l与C有两个公共点；此时方程at2+bt+c=0有两个不同的实根t1、t2，把参数t1、t2代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标；另外，由参数t的几何圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程（3）摆线：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点P的轨迹是什么？我们把定点P的轨迹叫做平摆线，又叫旋轮线。xyODAEBPC（4）圆的渐开线：AxyBMO第三十讲不等式选讲一、柯西不等式：1、定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则