概率与统计.ppt

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1、概率论与数理统计,教师: 习长新e-mail: changxinxi ,1.2 概率的定义及其运算,从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量,?,P（A）应具有何种性质？,?,* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？* 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？* 向目标射击，命中目标的概率有多大？,(p10)若某实验E满足：1.有限性：样本空间Se1, e 2 , , e n ;2.等可能性：（公认）P(e1)=P(e2)=P(en). 则称E为古典概型也叫等可能概型。,1.2.1.古典概型与概率,设事件A中所含样本点个数为N(A) ，以N()记样本空间

2、中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质(P7),(1) 0 P(A) 1；(2) P()1； P( )=0(3) AB，则 P( A B ) P(A) P(B),古典概型中的概率(P10):,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,某人向目标射击，以A表示事件“命中目标”，P（A）=？,?,定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验

3、中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,1.3 频率与概率,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K. Pearson 12000 6019 0.5016K. Pearson 24000 12012 0.5005,频率的性质(1) 0 fn(A) 1；(2) fn(S)1； fn( )=0(3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳

4、定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,1.3.2. 概率的公理化定义,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) P(A) 0；(2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. (1.1)则称P(A)为事件A的概率。,2.概率的性质

5、有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件， 即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,(3) 事件的差 A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则P(A)P(B),(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(3) 互补性：P(A)1 P(A);(5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报

6、纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,例1.3.2.在110这10个自然数中任取一数，求（1）取到的数能被2或3整除的概率，（2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率，（3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,故,补充：古典概型的几类基本问题,排列组合抽球问题分球入盒问题分组问题随机取数问题,二、古典概型的几类基本问题,乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步

7、有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）,这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。,有重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1

8、,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，共有,种取法.,1、抽球问题 例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中任抽2个球，求取到一红一白的概率。解:设A-取到一红一白,答:取到一红一白的概率为3/5,一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,2、分球入盒问题例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？,解:设A:每盒恰有一球,B:

9、空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,?,3.分组问题例3：30名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求：（1）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。解:设A:每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组,一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球(i=1,m)，共有分法：,4 随机取数问题,例4 从1到200这200个自然数中任取一个,(1)求取到的数能被6整除的概率(2)求取到的数能被8整除的概率(3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解:N(S)=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,