10质点动力学.PPT

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1、课程主讲人：10质点动力学电子教案普通高等教育普通高等教育“十一五十一五”国家级规划教国家级规划教材材理理 论论 力力 学学朱西平朱西平 支希哲支希哲高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 动 力 学 动力学的任务研究物体的机械运动与作用力之间的关系。研究物体的机械运动与作用力之间的关系。质点动力学质点动力学质点系动力学质点系动力学 动力学的分类质点系一群具有某种联系的质点，刚体可以看一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。成不变形的质点系。质 点是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大是指具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体小的物体。 动力学的基本内容动 力 学分析力学以虚位移原理和

2、达朗贝尔原理为以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，建立受约束系统普遍方程，基础，建立受约束系统普遍方程，从而推出拉格朗日方程。从而推出拉格朗日方程。牛顿力学在牛顿定律基础上建立的动力学在牛顿定律基础上建立的动力学。第第10章章 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统的基础。质点动力学基本方程给出复杂物体系统的基础。质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化之间的联系。了质点受力与其运动变化之间的联系。 本章根据动力学基本定律得出质点动力学的本章根据动力学基本定律得出质点动力学的基本方程，运用微积分方法，求解一个质点的动基本方程，运用微积分方法，

3、求解一个质点的动力学问题。力学问题。10- -3 非惯性系中质点动力学基本方程非惯性系中质点动力学基本方程10- -2 质点动力学基本问题质点动力学基本问题10- -1 质点运动微分方程质点运动微分方程第10章 质点动力学 矢量形式矢量形式 直角坐标形式直角坐标形式 自然形式自然形式10-1 质点运动微分方程10-1 质点运动微分方程这就是这就是质点运动微分方程的矢量形式。质点运动微分方程的矢量形式。Fr22ddtmxyzrAFaO1. 矢量形式 设有可以自由运动的质点设有可以自由运动的质点 A，质，质量是量是 m，作用力的合力是，作用力的合力是 F，加速度，加速度是是 a 。由运动学可知。由

4、运动学可知 。22ddtra 牛顿第二定律牛顿第二定律 ma = F 可写成可写成把上式沿固定直角坐标系把上式沿固定直角坐标系 Oxyz 的各的各轴投影轴投影,得得Fx、 Fy、 Fz 是作用力是作用力 F 的合力在各轴上的投影。上式是的合力在各轴上的投影。上式是直直角坐标形式的质点运动微分方程。角坐标形式的质点运动微分方程。zyxFtzmFtymFtxm222222dd,dd,dd2. 2. 直角坐标形式直角坐标形式Fr22ddtmxyzrAFaO10-1 质点运动微分方程 如采用自然轴系如采用自然轴系 Atnb，并把上式向并把上式向各轴投各轴投 影，可得影，可得式中式中是加速度是加速度 a

5、 在切线、主法线和副法线正向的投影：在切线、主法线和副法线正向的投影：Ft 、 Fn 和和 Fb 是合力是合力 F 在相应轴上的投影。上式就是在相应轴上的投影。上式就是自然形式的质自然形式的质点运动微分方程。点运动微分方程。bn2t220,ddFFvmFtsm0,ddb2n22tavatsa和xyzrAFaOntb3. 3. 自然形式自然形式Fr22ddtm10-1 质点运动微分方程 质点动力学的第一类问题质点动力学的第一类问题 质点动力学的第二类问题质点动力学的第二类问题10-2 质点动力学基本问题 质点动力学的两类问题:质点动力学的第二类问题：质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。已知力

6、，求运动。质点动力学的第一类问题：质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。已知运动，求力。 解决第一类问题，只需根据质点的已知解决第一类问题，只需根据质点的已知运动规律运动规律 r = r (t)，通过导数运算，求出加，通过导数运算，求出加速度，代入左边公式，即得作用力速度，代入左边公式，即得作用力 F。Fr22ddtmm a = F 0,ddbn2t22FFvmFtsmzyxFtzmFtymFtxm222222dddddd10-2 质点动力学基本问题 求解第二类问题，是个积分过程。求解第二类问题，是个积分过程。必须注意：在求解第二类问题时，方程的积必须注意：在求解第二类问题时，方程的积分中要

7、出现积分常数，为了完全确定质点的分中要出现积分常数，为了完全确定质点的运动，必须根据运动的初始条件定出这些积运动，必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。分常数。Fr22ddtmm a = F 0,ddbn2t22FFvmFtsmzyxFtzmFtymFtxm222222dddddd 质点动力学的两类问题:质点动力学的第二类问题：质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。已知力，求运动。质点动力学的第一类问题：质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。已知运动，求力。10-2 质点动力学基本问题（1） 根据题意，适当选取研究对象。根据题意，适当选取研究对象。质点动力学解题步骤：（2） 进行受力分析

8、和运动分析。进行受力分析和运动分析。（3） 根据点的运动形式，选取相应的坐标系。根据点的运动形式，选取相应的坐标系。（5） 解动力学方程并分析结果。解动力学方程并分析结果。（4） 把质点放在一般位置，建立质点的动力学方程或运动把质点放在一般位置，建立质点的动力学方程或运动微分方程。微分方程。10-2 质点动力学基本问题 例题10-1 质点质点D在固定平面在固定平面Oxy内运动，已知质点的内运动，已知质点的质量质量m，运动方程是，运动方程是, cosktAx ktBysin式中式中A、B、k 都是常数量。试求作用于质点都是常数量。试求作用于质点D的力的力F。10-2 质点动力学基本问题解： 本题

9、属于第一类问题。由运动方程求导得到质点的加本题属于第一类问题。由运动方程求导得到质点的加速度在固定坐标轴速度在固定坐标轴x、y上的投影，即上的投影，即xkktAkxax22cos ykktAkyay22sin 得得, 2xmkFxzyxFzmFymFxm , , 代入代入ymkFy2于是力于是力F可表示成可表示成rjiji22y)(mkyxmkFFFx10-2 质点动力学基本问题 例题10-2 由地球上空某点沿铅垂方向发射宇宙飞船。由地球上空某点沿铅垂方向发射宇宙飞船。试求飞船能够脱离地球引力所需的最小初速度。不计空气阻试求飞船能够脱离地球引力所需的最小初速度。不计空气阻力和不考虑地球自转。力

10、和不考虑地球自转。10-2 质点动力学基本问题解：地球对飞船的作用力地球对飞船的作用力F可由万有引力公式求得，即可由万有引力公式求得，即式中，式中，m是飞船的质量，地球的引力常数是飞船的质量，地球的引力常数,skm10986. 3235x是飞船到地心是飞船到地心O的距离。的距离。2xmF飞船的运动方程为飞船的运动方程为2ddxmxvvm10-2 质点动力学基本问题考虑到考虑到xvvxxtvtvdddddddd，上式可改写为，上式可改写为2ddxmxvvm分离变量。并求定积分，有分离变量。并求定积分，有xxmvmvvvxxdd002式中，式中，v0是发射速度，是发射速度，x0是发射点的坐标，积分

11、后得是发射点的坐标，积分后得02022121xmxmmvmv2ddxmxvvm10-2 质点动力学基本问题从而得从而得 )11(2020 xxvv(1)0min02xv要使飞船脱离地球引力场，达到要使飞船脱离地球引力场，达到 x ，应使，应使 v0 。令此速度。令此速度等于零，最后求得飞船所需的最小发射速度等于零，最后求得飞船所需的最小发射速度 (2)这个速度称为在距离地心这个速度称为在距离地心O为为x0处的处的脱离速度。脱离速度。10-2 质点动力学基本问题从而有从而有km 371 60 rxmgrm22gr如果在地面上发射，则如果在地面上发射，则又因为这时飞船所受的地心引力等于重力，即又因

12、为这时飞船所受的地心引力等于重力，即在在 x0=r 处的脱离速度称为地面处的处的脱离速度称为地面处的第二宇宙速度第二宇宙速度v ，由式，由式（2）得）得grrv22skm 11.2v代入数据得代入数据得(3)10-2 质点动力学基本问题 取坐标轴取坐标轴 Ox 铅直向下，原点在物体的初铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体始位置。写出物体 M 的运动微分方程的运动微分方程例题10-3 质量是质量是 m 的物体的物体 M 在均匀重力场中沿铅直线在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力 F 与速度平方与速度平方成比例，即成比例，即 F

13、=v2 ，阻力系数，阻力系数 单位为单位为 kg/m ，数值由试验，数值由试验测定。试求物体的运动规律。测定。试求物体的运动规律。解:加速度为零时加速度为零时以以 m 除式除式(1)两端，并代入两端，并代入 u 的值，得的值，得) 1 (dd2vmgtvmumgvxxFG10-2 质点动力学基本问题分离变量分离变量,并取定积分，有并取定积分，有 由上式求解由上式求解v，得，得于是物体速度随时间而变化的规律为于是物体速度随时间而变化的规律为th 是双曲正切。是双曲正切。)2()(dd222vuugtvtugvuvutvdd0022)a ()(thtuguv 10-2 质点动力学基本问题(3) e

14、eee1e1e)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtuguuv于是求得物体的运动方程为于是求得物体的运动方程为为了求出物体的运动规律，只需把式为了求出物体的运动规律，只需把式(3)再积分一次，有再积分一次，有tugtugtugtugtxgux)/()/()/()/(020eeee dd)b()chln(2eeln2)/()/(2ugtguguxugtugt10-2 质点动力学基本问题(3) eeee1e1e)/()/()/()/()/2()/2(tugtugtugtugtugtuguuv 例题10-4 单摆单摆 A 的摆锤重的摆锤重 G ,绳长绳长 l ,悬于

15、固定点悬于固定点 O ,绳绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角 0 /2 ,并被无初并被无初速释放，试求绳中拉力的最大值。速释放，试求绳中拉力的最大值。OAA0010-2 质点动力学基本问题 摆锤摆锤A 在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，用自然形式的质点运动微分方程求解较方便。用自然形式的质点运动微分方程求解较方便。写出质点的自然形式的运动微分方程写出质点的自然形式的运动微分方程22n22t)dd(,dd ltlaltla)2( cos) 1 ( sinN2ntGFlgGmaGlgGma OAA00解:nt 以摆锤以摆锤A为研

16、究对象。为研究对象。选择如图所示自选择如图所示自然轴系。任意瞬时，质点的加速度在切向然轴系。任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为和法向的投影为OAA00FNGanat10-2 质点动力学基本问题 考虑到考虑到则式则式(1)化成化成对上式采用定积分对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有把初条件作为积分下限，有dd21dddddddd2 ttsindd212lgd)sin2()(d002lg（3）OAA00FNGanat从而得从而得)4( )cos(cos202lg10-2 质点动力学基本问题把式把式(4)代入式代入式(2)，得绳拉力，得绳拉力FN = G(3cos 2cos 0)显然，

17、当摆球显然，当摆球 A 到达最低位置到达最低位置 = 0 时，有最大值。故时，有最大值。故 FNmax = G(3 2cos 0)4( )cos(cos202lg)2( cos) 1 ( sinN2GFlgGGlgG OAA00FNGanat10-2 质点动力学基本问题 质点相对运动动力学基本方程质点相对运动动力学基本方程几种特殊情形几种特殊情形10-3 非惯性系中质点动力学基本方程 设已知坐标系设已知坐标系 O1x1y1z1 相对于基础坐标系相对于基础坐标系 Oxyz 进行着进行着某种运动。某种运动。 以以 F 和和FN 代表作用于质点代表作用于质点 M 的主动力和约束力的主动力和约束力 对

18、于基础坐标系对于基础坐标系 Oxyz ，有有m aa = F + FN 由运动学知，绝对加速度由运动学知，绝对加速度 aa 等于牵等于牵连加速度连加速度 ae 、相对加速度、相对加速度 ar 和科氏加和科氏加速度速度 aC 三者的矢量和，即三者的矢量和，即aa = ae + ar + aCMxyzOy1z1O1aaaraeaCvrx11. 质点相对运动动力学基本方程代入上式得代入上式得m(ae + ar + aC) = F + FN10-3 非惯性系中质点动力学基本方程则有则有 mar = F + FN + FIe + FIC这就是这就是质点的相对运动微分方程质点的相对运动微分方程，又叫，又叫

19、质点相对运动的动质点相对运动的动力学基本方程力学基本方程。 令令FIe = mae , FIC= maCm(ae + ar + aC) = F +FNm ar = F + FN mae m aC FIe 、FIC分别称为质点的分别称为质点的牵连惯性力牵连惯性力和和科氏惯性力科氏惯性力，通称为通称为欧拉惯性力欧拉惯性力。MxyzOy1z1O1aaaraeaCvrx110-3 非惯性系中质点动力学基本方程牵连惯性力和科氏惯性力的二重性 虚拟性：虚拟性： 力是物体间的相互作用，由牛顿第三定律知，一定有力是物体间的相互作用，由牛顿第三定律知，一定有施力体存在，而施力体存在，而牵连惯性力和科氏惯性力牵连

20、惯性力和科氏惯性力无施力体。无施力体。 真实力不依赖于坐标系的选择，而真实力不依赖于坐标系的选择，而牵连惯性力和科氏牵连惯性力和科氏惯性力惯性力取决于坐标系的选择。取决于坐标系的选择。 真实性：真实性： 在在动系动系上试验可测得其确实存在，与上试验可测得其确实存在，与真实力的作用相同真实力的作用相同。因此在动系上完全可以作为实际的力一样来处理（分解、合因此在动系上完全可以作为实际的力一样来处理（分解、合成、简化等）。成、简化等）。10-3 非惯性系中质点动力学基本方程ae 5g ， 黑晕黑晕ae 2g ， 红视红视aenaetaeFIeaenaetFIeae与惯性力有关的现象与惯性力有关的现象

21、工工 程程 实实 例例10-3 非惯性系中质点动力学基本方程10-3 非惯性系中质点动力学基本方程工工 程程 实实 例例在北半球的南北向河流冲刷河岸分析在北半球的南北向河流冲刷河岸分析（南（南北）北）10-3 非惯性系中质点动力学基本方程工工 程程 实实 例例北半球向东发射炮弹偏右现象北半球向东发射炮弹偏右现象vreaCFICCCaFmrC2va 10-3 非惯性系中质点动力学基本方程工工 程程 实实 例例10-3 非惯性系中质点动力学基本方程 设动系设动系 O1x1y1z1 相对于基础坐标系相对于基础坐标系 Oxyz 作匀速直线运动。作匀速直线运动。 牵连加速度、科氏加速牵连加速度、科氏加速

22、度度都等于零，故都等于零，故 设动系设动系 O1x1y1z1 相对于基础坐标系作相对于基础坐标系作平移。在此情况下，没有平移。在此情况下，没有科氏加速度科氏加速度和对和对应的应的科氏惯性力科氏惯性力，故，故这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度。这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度。(1)(1)相对于平移坐标系的运动相对于平移坐标系的运动mar = F + FN + FIe(2)(2)相对于惯性坐标系的运动相对于惯性坐标系的运动 mar = F + FN2.几种特殊情形mar = F + FN + FIe + FICmar = F + FN mae m aC Mxyz

23、Oy1z1O1aaaraeaCvrx110-3 非惯性系中质点动力学基本方程 相对平衡相对平衡F + FN +FIe + FIC= 0 当质点相对于动系作匀速直线当质点相对于动系作匀速直线 运动时，称为相对平衡。运动时，称为相对平衡。F + FN + FIe = 0(3)(3)相对平衡和相对静止相对平衡和相对静止此时此时ar = 0，有，有 相对静止相对静止 当质点在动系中的位置不变时，称为相对静止。当质点在动系中的位置不变时，称为相对静止。此时此时 vr = 0 , ar = 0 , aC = 0 , 有有mar = F + FN + FIe + FICmar = F + FN mae m

24、aC 10-3 非惯性系中质点动力学基本方程 例题10-5 设飞机爬高时以匀加速度设飞机爬高时以匀加速度 a 作直线平移，且作直线平移，且与水平面成仰角与水平面成仰角，已知挂在飞机上的单摆的悬线与铅垂线，已知挂在飞机上的单摆的悬线与铅垂线的偏角是的偏角是，摆锤质量，摆锤质量m，试求此时飞机的加速度，试求此时飞机的加速度a和悬线和悬线的拉力的拉力F。MOa10-3 非惯性系中质点动力学基本方程解:分析摆锤分析摆锤M，取动坐标系，取动坐标系 Mx1y1 固连于飞机。固连于飞机。根据质点相对运动动力学基本方程根据质点相对运动动力学基本方程0= mg +F+ FIe (1)其中其中FIe = ma，方

25、向与飞机加速度，方向与飞机加速度 a 相反。相反。 把式把式(1)投影到与投影到与F相垂直的相垂直的x轴上，得轴上，得mar = F + FN + FIe + FIC注意到动系作直线平移，且相对静止，注意到动系作直线平移，且相对静止，有有 mgMOaFFIex1y1)cos(sin0mamg解得解得)cos(singaMx10-3 非惯性系中质点动力学基本方程mgMOaFFIex1y1xy把式把式(1)投影到与投影到与FIe相垂直的相垂直的y轴上，得轴上，得)cos(cos0Fmg解得解得)cos(cosmgF0= mg +F+ FIe (1)10-3 非惯性系中质点动力学基本方程OCORM

26、例题10-6 一质量是一质量是 m 的小环的小环 M 套在半径是套在半径是 R 的光滑的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度度 绕通过点绕通过点 O 的铅垂轴转动。在初瞬时，的铅垂轴转动。在初瞬时， = 0， = 2 ，试写出小环试写出小环 M 相对于大圆环的运动微分方程，并求出相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环大圆环对小环M 的约束力。的约束力。10-3 非惯性系中质点动力学基本方程解: 分析小环，分析小环， 取动坐标系与大圆环固连，小环取动坐标系与大圆环固连，小环 A 相对于相对于大圆环的位置用弧坐标大圆

27、环的位置用弧坐标 s = R 表示。表示。 作用于小环作用于小环 A 的力有大的力有大圆圆环的约束力环的约束力 FN ，为了写出小，为了写出小环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯性力环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯性力FIe和和科氏惯性力科氏惯性力 FIC 。 其中其中2eIe2cos2mRmaFRmvmmaF22rCIC（2 2）受力分析受力分析（1 1）运动分析运动分析OCA0RAsaeaCartarnvrFIeFNFIC10-3 非惯性系中质点动力学基本方程由式由式(1)得得这就是小环这就是小环 A 相对于大圆环的运动微分方程。相对于大圆环的运动微分方程。) 1 ( 2s

28、inIeFmR ) 2( 2cosIeICN2FFFmR)a (sin2 在相对切向和法向投影，得在相对切向和法向投影，得mar = F + FN + FIe + FIC由相对运动动力学基本方程由相对运动动力学基本方程2cos2sin2mRmR 2eIe2cos2mRmaFRmvmmaF22rCICOCA0RAsaeaCartarnvrFIeFNFIC10-3 非惯性系中质点动力学基本方程于是有于是有 而而所以，大圆环对小环的约束力为所以，大圆环对小环的约束力为022dsind)cos1 (2222cos)cos1 (2IeIC2NFFmRF2cos4)cos1 (22222ICmRRmRmF

29、代入式代入式应用循环变换应用循环变换 ，对，对 进行积分进行积分sin2 dd 得得) 2(2cosIeICN2FFFmR2cos4)cos1 ( 32N mRFOCA0RAsaeaCartarnvrFIeFNFIC10-3 非惯性系中质点动力学基本方程 例题10-7 细管细管 AB 以匀角速度以匀角速度 绕铅直轴绕铅直轴 O1z1 转动，管内放一质量是转动，管内放一质量是 m 的光滑小球的光滑小球 M 。欲使小球。欲使小球在管内任何位置处于相对静止，或沿管作匀速相对在管内任何位置处于相对静止，或沿管作匀速相对运动，则细管应在铅直平面运动，则细管应在铅直平面 O1y1z1 内弯成何种曲线内弯成

30、何种曲线?My1z1O1cAB10-3 非惯性系中质点动力学基本方程解:设细管弯成图示形状，设细管弯成图示形状， 取动系与弯管固连。取动系与弯管固连。 分析小球，实际作用于小球的力有重力分析小球，实际作用于小球的力有重力 G 和管壁的法向和管壁的法向反力反力FN。此外，当研究小球。此外，当研究小球D相对于转动坐标系相对于转动坐标系O1y1z1 运动运动时，还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力。时，还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力。 小球牵连惯性力小球牵连惯性力 FIe的大小等于的大小等于 FIe = m 2| y1 | ,其方向水平而背离铅直转其方向水平而背离铅直转轴轴 O1z1。Dy1z

31、1O1cABFIevrFNGaeartarn(1)受力分析受力分析(2)运动分析运动分析10-3 非惯性系中质点动力学基本方程 科氏惯性力科氏惯性力 FIC方向垂直于相对速度方向垂直于相对速度 vr 和转轴和转轴 O1z1，即，即垂直于垂直于 O1y1z1平面向里；平面向里；Dy1z1O1cABFIevrFNGaeartarnmar = G + FN + FIe + FIC投影到细管曲线的切线方向，注意投影到细管曲线的切线方向，注意到相对静止时到相对静止时ar =0，相对匀速运动相对匀速运动时时art = 0，则得则得 FIet Ft = 0由相对运动动力学基本方程由相对运动动力学基本方程10-3 非惯性系中质点动力学基本方程即即 my12cos mgsin = 0其中其中 是切线对是切线对O1y1 轴的倾角，由此求得切线的斜率轴的倾角，由此求得切线的斜率 求出积分，并确定积分常量，得求出积分，并确定积分常量，得cygz21212可见，细管应弯成可见，细管应弯成抛物线抛物线形状。形状。12tanyg11ddyzDy1z1O1cABFIevrFNGaeartarnFIet Gt = 010-3 非惯性系中质点动力学基本方程谢谢 谢谢