2022年北京市各区中考数学二模试卷分类汇编---几何压轴题.pdf

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1、1 几何压轴题1 昌平28. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 边上一点，连接DE，将 ADE 绕点 D逆时针旋转 90得到 CDF，作点 F 关于 CD 的对称点，记为点G，连接 DG. （1）依题意在图 1 中补全图形；（2）连接 BD，EG，判断 BD 与 EG 的位置关系并在图2 中加以证明；（3）当点 E 为线段 AB 的中点时，直接写出 EDG 的正切值 .EDCBA图2图1ABCDE备用图ABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 22 页 - - - -

2、- - - - - - 2 2 朝阳28. 在ABC 中， ACB=90 ，以 AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点 D 与点 C 在直线 AB 的两侧，连接 CD(1) 如图 1，若ABC=30 ，则 CAD 的度数为(2) 已知 AC=1，BC=3. 依题意将图 2 补全；求 CD 的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD 长的几种想法：想法 1: 延长 CB，在 CB 延长线上截取 BE=AC，连接 DE. 要求 CD 的长，需证明ACDBED，CDE 为等腰直角三角形 . 想法 2: 过点 D 作 DHBC 于点 H，DGCA，交 CA 的延长线于

3、点 G，要求 CD 的长，需证明 BDHADG，CHD 为等腰直角三角形 . 请参考上面的想法，帮助小聪求出CD 的长（一种方法即可） . (3) 用等式表示线段 AC，BC，CD 之间的数量关系（直接写出即可）图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 3 3 东城28. 取一张正方形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步 ：如图 1，先把正方形 ABCD 对折，折痕为 MN；第二步 ：点 G 在线段 MD 上，将GCD

4、 沿 GC 翻折，点 D 恰好落在 MN 上，记为点 P，连接 BP. （1）判断 PBC的形状，并说明理由；（2）作点 C 关于直线 AP 的对称点 C，连 PC，D C，在图 2 中补全图形，并求出 APC的度数；猜想 PCD 的度数，并加以证明 . （温馨提示：当你遇到困难时，不妨连接A C，C C，研究图形中特殊的三角形）GPNMBCAD图 1DPBCA图 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 4 图2图1MEFNNFEMA

5、BCPPCBA4 房山28. 在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC= 2，点 P 为 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合）. 点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为M、N，连结 MN 交 AB于点 F，交 AC 于点 E. （1）当点 P 为 BC 的中点时，求 M 的正切值；（2）当点 P 在线段 BC 上运动（不与 B、C 重合）时，连接 AM、AN，求证： AMN 为等腰直角三角形；AEFBAM .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 22 页 - - -

6、- - - - - - - 5 5 丰台28已知正方形 ABCD，点 E，F 分别在射线 AB，射线 BC 上，AE=BF，DE 与AF 交于点 O. （1）如图 1，当点 E，F 分别在线段 AB，BC 上时，则线段 DE 与 AF 的数量关系是，位置关系是.（2）如图 2，当点 E 在线段 AB 延长线上时，将线段AE 沿 AF 进行平移至FG，连接 DG.依题意将图 2 补全；小亮通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有22222AEADDG.小亮把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：连接 EG，要证明22222AEADDG，只需证四边形

7、 FAEG是平行四边形及 DGE 是等腰直角三角形 . 想法 2：延长 AD，GF 交于点 H，要证明22222AEADDG，只需证 DGH 是直角三角形 . 图 1 图 2 请你参考上面的想法，帮助小亮证明22222AEADDG. （一种方法即可）OFEDCBAAEBFCDO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 6 6 海淀28在锐角 ABC 中，AB=AC，AD 为 BC 边上的高， E 为 AC 中点（1）如图 1，过点 C 作

8、 CFAB 于 F 点，连接 EF若BAD=20，求AFE的度数；（2）若 M 为线段 BD 上的动点（点 M 与点 D 不重合），过点 C 作 CNAM于 N 点，射线 EN，AB 交于 P 点依题意将图 2 补全；小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有APE=2MAD小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：连接 DE，要证 APE=2MAD，只需证 PED=2MAD想法 2：设MAD= ，DAC= ，只需用 ，表示出PEC，通过角度计算得 APE=2 想法 3：在 NE 上取点 Q，使NAQ=2MAD，要证APE=2MAD，只需证NAQAP

9、Q请你参考上面的想法，帮助小宇证明APE =2MAD（一种方法即可）EFB D CAAEB D C图 1 图 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 7 7 怀柔28在 ABN 中， B =90，点 M是 AB上的动点（不与 A,B 两点重合），点C是 BN延长线上的动点（不与点N重合），且 AM=BC，CN=BM，连接 CM 与 AN交于点 P. （1）在图 1 中依题意补全图形 ; （2）小伟通过观察、实验，提出猜想: 在点 M

10、 ，N运动的过程中，始终有APM=45 .小伟把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的一种思路 : 要想解决这个问题， 首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形，证明线段相等，再构造平行四边形，证明线段相等，进而证明等腰直角三角形，出现45的角，再通过平行四边形对边平行的性质，证明APM=45 . 他们的一种作法是：过点M在 AB下方作 MD AB于点 M,并且使 MD=CN. 通过证明 AMD CBM, 得到 AD=CM, 再连接 DN ， 证明四边形 CMDN 是平行四边形，得到 DN=CM，进而证明 ADN 是等腰直角三角形， 得到 DNA=45 . 又由四边形 CMDN

11、 是平行四边形，推得 APM=45 . 使问题得以解决 . 请你参考上面同学的思路，用另一种方法证明APM=45 . 图 1 ABN备用图ABN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 8 8 石景山28已知在RtBAC中，90BAC，ABAC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CEBC于点C，且CEBD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED（1）如图，当点D在线段BC上时，请直接写出ADE的度数. （2）当点D在线段B

12、C的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（ 1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若2AB，直接写出CP的最大值图 1 图 2 备用图EABCDABCDPEABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 9 9 顺义28在 ABC中，AB=AC ，D 为线段 BC上一点， DB=DA ，E为射线 AD上一点，且 AE=CD ，连接 BE （1）如图 1，若 B=30 ，

13、AC =，请补全图形并求DE的长；（2）如图 2，若 BE= 2CD ，连接 CE并延长，交 AB于点 F，小明通过观察、实验提出猜想： CE= 2EF 小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法 1：过 A 作 AMBC交 CF的延长线于点 M，先证出 ABE CAD ，再证出 AEM是等腰三角形即可；想法 2：过 D作 DNAB交 CE于点 N，先证出 ABE CAD ，再证点 N为线段 CE的中点即可请你参考上面的想法，帮助小明证明CE= 2EF （一种方法即可）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

14、 - - - - - - - - - -第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 10 10 通州28 在ABC中， AB=BC ， ABC =90. 以 AB为斜边作等腰直角三角形ADB . 点P是直线 DB上一个动点，连接AP，作 PE AP交 BC所在的直线于点 E. （1）如图 1，点 P在 BD的延长线上， PE EC ，AD=1，直接写出 PE的长；（2）点 P在线段 BD上（不与 B，D 重合），依题意，将图2 补全，求证PA =PE ；（3）点 P在 DB的延长线上，依题意，将图3 补全，并判断 PA =PE是否仍然成立 . 图 1 图 2 图 3 PE

15、DCBADCBADCBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 11 11 西城28ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转 60得到线段 CD ， 连接 BD交 AC于点 O（1）如图 1， 求证： AC垂直平分 BD； 点 M 在 BC的延长线上，点 N 在线段 CO上，且 ND=NM，连接BN，判断 MND 的形状，并加以证明；（2）如图 2，点 M 在 BC的延长线上，点 N 在线段 AO上，且 ND=N

16、M，补全图 2求证： NA = MC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 12 2017二模 28 题汇编答案（几何压轴）1 昌平28. （1）依题意补全图形如图1： 2 分（2）判断：BDEG. 3 分证明：如图 2，BD，EG 交于 M，正方形 ABCD，AB=BC，DAE=DCB =90由旋转可得 ADECDF，DE=DF，AE=CFDCF = DAE =DCB =90点 B，C，F 在一条直线上 . 点 G 与点 F 关于

17、CD 的对称DCGDCF，DG=DF，CG=CFDE=DG，AE=CGBE=BG 4 分BDEG 于 M. 5 分（3）EDG 的正切值为43. 7 分2 朝阳28解：（ 1）105. （2）补全图形，如图所示 . 想法 1：如图，ACB =ADB =90，CAD +CBD =180. DBE +CBD =180，图1FGABCDE图2FGABCDEM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 13 CAD =DBE .DA=DB ，AC

18、 =BE ，ACD BED DC =DE ，ADC =BDE .CDE =90.CDE为等腰直角三角形 . AC =1，BC =3, CE =4. CD =2 2 . 想法 2：如图，ACB =ADB =90，CAD +CBD =180. DAG+CAD =180，CBD =DAG.DA=DB，DGA=DHB =90，BDH ADGDH=DG，BH=AG. DCH =DCG =45. CHD为等腰直角三角形 . AC =1，BC =3，CH =2. CD =2 2 . （3）2ACBCCD. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

19、 - - - - - - - -第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 14 3 东城28.（1）PBC是等边三角形 .证明：在正方形 ABCD 中，BC=CD，又 CD=CP，BC=CP，P 在 MN 上，PB=PC. PB=BC=PC . PBC 是等边三角形 . 2 分（2）补全图形如图所示 . 由 BA=BP，CBP=60，可求得 APB=75, 又BPC=60，可得 APC=135.根据对称性， APC=APC =135. 证法一：连 AC ，CC . 由可得 CPC =90. 由对称性可知 PC=PC ，从而可求得 AC=AC =CC =2 AB. 从而

20、 ACC 为等边三角形；由 AC =CC ，DA=DC，C D=C D，可证 AC DCC D，可得 AC D=CC D=30. 根据对称性AC C=ACC ， PC C=PCC ，从而 AC P=ACP，由ABC 为等腰直角三角形，可得ACB=45，由PBC 为等边三角形，可得 BCP=60，从而 ACP=AC P=15. 所以 PC D=AC DAC P=15.8 分证法二：连 AC ，CC . 由 BA=BP，CBP=60，可求得 APB=75, 又BAC=45，可得 CAP=30.根据对称性， CAP=C AP=30, 从而 CAC =60；由对称性可知AC=AC ，从而 ACC 为等

21、边三角形；以下同证法一 . CPNMBCAD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 15 ABCPMEFN45321PCBANFEM4 房山28. 解： （1） 连接 NB，1 分在 RtABC 中， ACB=90，AC=BC CAB =CBA =45=PBA点 P 关于直线 AB 的对称点为 N，关于直线 AC 的对称点为 M，NBA=PBA =45，NB=PB，MC=PC 2分MBN =PBN =90点 P 为 BC 的中点， B

22、C=2 MC=CP=PB=NB= 1，MB=3 tanM=13NBMB= 3 分(2) 连接 AP 点 P 关于直线 AC、AB 的对称点分别为 M、N，AP=AM=AN，1=2，3=4 4 分CAB =2+3 =45MAN=90AMN 为等腰直角三角形 5 分AMN 为等腰直角三角形5 =45AEF =5+1 =45+1EAF=CAB =45BAM =EAF +1 =45+1 AEF =BAM 6 分又 CBA=EAF=45AEFBAM 7 分5 丰台28.解：（ 1）相等，垂直. 2 分（2）依题意补全图形.3 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

23、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 16 4321GAEBFCDO法 1：证明：连接 GE. 由平移可得 AE=FG，AEFG，四边形 AEGF 是平行四边形. 4 分AF=EG，AFEG，1=2. 四边形 ABCD 是正方形，AD = AB，DAE=ABC= 90 . AE=BF，AEDBFA. 3=4，AF = DE. EG=DE. 5 分2+4=90 ，1+3=90 ，DEG=90 . 6 分22222DEEGDEDG. 又 222AEADDE，22222AEADDG. 7分法 2：证明：延长 AD

24、，GF 交于点 H，由平移可得 AE=FG，AEFG，H+DAB= 180四边形 ABCD 是正方形，DAB= 90 ，AD=DC. H =90 . 4 分222DHGHDG. HDC= DCF= 90 , 四边形 HDCF 是矩形 . HF=DC. HF=AD. HG=FG+HF,HG=AE+HF=AE+AD . 5 分易证 BF=AH 且 BF=AE,HD=AE AD. 6 分2222222AEADADAEADAEDG. 7 分GHAEBFCDO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页

25、，共 22 页 - - - - - - - - - - 17 6 海淀28（1）证明： AB=AC ，AD为 BC边上的高， BAD=20，BAC =2BAD=40- 1分CF AB，AFC =90E为 AC中点，EF =EA=12ACAFE =BAC =40- 2分（2）MPNECDBA画出一种即可- 3分证明：想法 1：连接 DEAB=AC ，AD为 BC边上的高，D 为 BC中点E为 AC中点，EDAB，1=APE - 4分ADC =90 ，E为 AC中点，12AEDECEAC同理可证12AENECEACAE=NE=CE =DEA，N，D，C在以点 E为圆心， AC为直径的圆上- 5分1

26、=2MAD- 6分APE =2MAD- 7分FEB D CAMPNECDBA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 18 想法 2：设 MAD= ，DAC = ，CN AM，ANC =90E为 AC中点，12AENEACANE =NAC=MAD+DAC = + - 4分NEC =ANE +NAC =2 +2 - 5 分AB=AC ，ADBC ，BAC =2DAC =2 APE =PEC BAC =2 - 6分APE =2MAD- 7分

27、想法 3：在 NE上取点 Q，使 NAQ=2MAD，连接 AQ，1=2AB=AC ，ADBC ，BAD =CAD BAD 1=CAD 2，即3=4- 4分3+NAQ=4+NAQ，即PAQ =EAN CN AM，ANC =90E为 AC中点，12AENEACANE =EAN - 5分PAQ =ANE AQP =AQP ，PAQ ANQ- 6分APE =NAQ=2MAD- 7分EDCBAPMN4321QNMPABCDE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 22 页 - - - - -

28、- - - - - 19 7 怀柔28（1）在图 1 中依题意补全图形 , 如图 1 所示：1 分（2）证明：如图 2，过点 A作 AD AB于点 A,并且使 AD=CN. 连接 DM,DC. 2 分AM=BC，DAM= MBC =90 ，DAM MBC. 3 分DM=CM, AMD= BCM. 4 分DAM=90 . AMD+ BMC =90 . DMC =90 . MCD =45 . 5 分AD CN,AD=CD, 四边形 ADCN 是平行四边形 . 6 分AN DC. MCD =45 . APM=45 . 7 分（其它方法相应给分）8 石景山28解：（ 1）45 1 分（2）补全图形，如

29、图1 所示2 分结论成立证明： 连接AE，如图 2在RtBAC中，90BAC，ABAC，145B?CEBC，90BCE?245?2B? 3 分又ABACBDCE，=，ABDACEVV 4 分ADAEBADCAE，=?90DAEBAC? 5 分ABCDPMN图 2 321EABCDEABCD图 1图 2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 20 GFECDBADAE是等腰直角三角形345? 6 分（3） 7 分9 顺义28（1）解：

30、DA=DB ，ABC= 30 ，BAD = ABC = 30 AB=AC ，C = ABC = 30 BAC = 120 CAD= 90 2 分AD=AC tan30=1，AE=CD= 2AD=2，DE=AE - AD=13 分（2）证明：如图，过 A 作 AGBC ，交 BF延长线与点 G，DB=DA ，AB=AC ，BAD= ABC ，ABC= ACB BAD= ACB AE=CD ，ABE CAD 4 分BE=AD BE= 2CD ，AD=2CD= 2AEAE=DE AGBC ，G=DCE ，GAE= CDE AGE DCE 5 分EG=CE ，AG=CD=AE AGE为等腰三角形GAF

31、= ABC= BADF为 GE的中点6 分CE=EG= 2EF 7 分ABDEC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 21 10通州28.解：（1）2 .(1分) （2）法过 P作 PMBD,交 AB于 M法过 P作PMBC 于点M, 过P作PNAB于点N法延长 AB,在AB的延长线上截取 PM=PA法过点 B作BMBD,截取BM=BP，连接CM. 法连接 AE,取 AE中点 M， 连接 BM， PM,四点共圆 . .(5 分) （

32、3）图正确，成立 .(7 分) 11 西城28证明： ABC是等边三角形，AB=BC =CA ， ABC =ACB =CAB =60（1） 以点 C为旋转中心将线段CA顺时针方向旋转 60得到线段 CDCD= CA = CB ，ACD =ACB =60 BO =DO，CO BDAC垂直平分 BD 2 分MND 是等边三角形如图 1， 由AC垂直平分 BD，NB =ND，CBD =12ABC =301=2BND =180-22ND=NM，NB=NM3=4BNM=180-24DNB =360-180+22- 180+24 =2(2+4) =60MND 是等边三角形 5 分（2）连接 AD， BN如

33、图 2，由题意可知， ACD是等边三角形，1=2，3=NBM，BND=180-22，BNM =180-2NBM精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - - 22 MND=BND- BNM MND=2(NBM -2) =60MDN 是等边三角形DN=DM，NDM=60 ADC =NDM NDA=MDC，NAD=MCD=60 ANDCMD- AN=MC 7 分精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - - -