实变函数期末试题(共2页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上2006-2007学年第二学期04本实变函数期末试题一、填空：（共10分）1如果 则称是自密集，如果 则称是开集，如果则称是 ，称为的 .2设集合可表示为一列开集之交集：，则称为 . 若集合可表示为一列闭集之并集：，则称为 .3（Fatou引理）设是可测集上一列非负可测函数，则 .4设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使成一有界数集，则称为上的 ，并称这个数集的上确界为在上的 ，记为 .二、选择填空：（每题4分，共20分）1下列命题或表达式正确的是 A B C对于任意集合，有或 D2下列命题不正确的是 A若点集是无界集，则 B若点集是有界集，则C可数点集的外测度为零

2、 D康托集的测度为零3下列表达式正确的是 B D4下列命题不正确的是 A开集、闭集都是可测集 B可测集都是Borel集C外测度为零的集是可测集 D型集，型集都是可测集5下列集合基数为（可数集）的是 A康托集 BC设是整数， D区间中的无理数全体三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusin）定理的逆定理四、（20分）设，是上有限的可测函数，证明：存在定义在上的一列连续函数，使得于 五、（10分）证明 六、（10分）设是满足Lipschitz条件的函数，且于，则为增函数七、（10分）设是上的有界变差函数，证明也是上的有界变差函数20062007学年第二学期04本实变函数期末试题A类评分标准一、填空题：

3、（共10分）1、,（或） 闭集，闭包2、型集，型集3、 4、有界变差函数，全变差， 二、选择填空：（每小题4分，共20分）1、D 2、A 3、D 4、B 5、C三、（20分）定理：设有限于，若对于任意的，总有闭集，使，且在上连续，则是上的可测函数. （5分）证 对任意的正整数，存在闭集使，且在上连续，从而在上可测 （5分）设，则是可测集，且，于是 在上可测 （5分）由于，只须证在上可测，事实上，对任意的，是可测集在上可测在上可测 （5分）四、（20分）证明 在上可测，由Lusin定理，对任何正整数，存在的可测子集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当时有 （7分）所以对任意的，成立， （3分）因此 （5分）由F.Riesz定理，存在的子列，使于，记，则于 （5分）五、（10分）证明 设则在上连续，因而可积可积，且 （5分）取，则，而由Lebesgue有界收敛定理 （5分）六、（10分）证 因为满足Lipschitz条件，所以是绝对连续函数，对任意的，由牛顿莱布尼兹公式（1）（2） （5分）（2）（1）是上的单调函数 （5分）七、（10分） 证 是有界变差函数，因而是有界函数，于是， （3分）对的任意分划有 （5分）因此也是上的有界变差函数 （2分）专心-专注-专业