2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第二章-9-第9讲-函数模型及其应用(共15页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上第9讲函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2.三种函数模型性质比较yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行

2、随n值变化而不同疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)幂函数增长比直线增长更快()(2)不存在x0，使ax0x1)的增长速度会超过并远远大于yxa(a1)的增长速度()(4)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度越来越快的形象比喻()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修1P107A组T1改编)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如表：x0.500.992.013.98y0.990.010.982.00则对x，y最适合的拟合函数是()Ay2xByx21Cy2x2 Dylog2x解析：选D.根据x0.50，y0.99，代入计算，可以排除

3、A；根据x2.01，y0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数ylog2x，可知满足题意2(必修1P102例3改编)某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A收入最高值与收入最低值的比是31B结余最高的月份是7月C1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D前6个月的平均收入为40万元解析：选D.由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是31，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为802060(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的

4、平均收入为(406030305060)45(万元)，故D错误3(必修1P107A组T4改编)用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设隔墙的长度为x(0xg(x)h(x) Bg(x)f(x)h(x)Cg(x)h(x)f(x) Df(x)h(x)g(x)解析：选B.由函数性质知，当x(4，)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)故选B.2生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)x22x20(万元)一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为_万件解析：利润L(

5、x)20xC(x)(x18)2142，当x18时，L(x)有最大值答案：183某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是_解析：由题意可得y答案：y应用所给函数模型解决实际问题 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170 pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进货支出)()A30元B60元C28 000元 D23

6、 000元【解析】设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)当p(0，30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0)模型角度一构建二次函数模型 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为(30R)万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A4，8 B6，10C4%，8% D6%，10%【解析】根据题意，要使附加税不少于128万元，需160R

7、%128，整理得R212R320，解得4R8，即R4，8【答案】A角度二构建指数函数、对数函数模型 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年 B2019年C2020年 D2021年【解析】根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列an，其中，首项a1130，公比q112%1.12，所以an130

8、1.12n1.由1301.12n1200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.【答案】B角度三构建分段函数模型 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单

9、位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0x20时，v(x)60；当20x200时，设v(x)axb，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当200)模型 要建造一个容积为2 400 m3，深为6 m的长方体无盖水池池底造价为100元/m2，池壁造价为80元/m2，则最低造价为_(元)【解析】设水池长为x，则宽为.则总造价y(12x)80400100960(x)40 000960240

10、00078 400(元)当且仅当x，即x20时，最低造价为78 400元【答案】78 400构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元，则该单位每月能否获利？

11、如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S，则S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因为400x600，所以当x400时，S有最大值40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损核心素养系列4数学建模函数建模在实际问题中的妙用 某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：年份2008200920102011投资成本x35917年利润y1234给出

12、以下3个函数模型：ykxb(k0)；yabx(a0，b0，且b1)；yloga(xb)(a0，且a1)(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型【解】(1)将(3，1)，(5，2)代入ykxb(k0)，得解得所以yx.当x9时，y4，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入yabx(a0，b0，且b1)，得解得所以y()x2.当x9时，y28，不符合题意；将(3，1)，(5，2)代入yloga(xb)(a0，且a1)，得解得所以ylog2(x1)当x9时，ylog283；当x17时，ylog2164.故可用来描述x，y之间的

13、关系(2)令log2(x1)6，则x65.因为年利润10%，所以该企业要考虑转型解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答 某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中p，q均为常数，且q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)4，f(2)6.求出所选函数f(x)的解析式

14、(注：函数定义域是0，5，其中x0表示8月1日，x1表示9月1日，以此类推)；为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)x(xq)2p.(2)对于f(x)x(xq)2p，由f(0)4，f(2)6，可得p4，(2q)21，又q1，所以q3，所以f(x)x36x29x4(0x5)因为f(x)x36x29x4(0x5)，所以f(x)3x212x9，令f(x)0，得1x3.所以函数f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海

15、鲜将在9月、10月两个月内价格下跌基础题组练1在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.992345.156.126y1.5174.041 87.51218.01A.y2x2 By(x21)Cylog2x Dylogx解析：选B.由题中表可知函数在(0，)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B.2某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()解析：选A

16、.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 20.301 0，lg 30.477 1)()A5.2 B6.6C7.1 D8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x年，则(110%)x，化简得0.9x，即xlog0.96.6(年)故选B.4某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费某职工某月缴水费16m

17、元，则该职工这个月实际用水为()A13 m3 B14 m3C18 m3 D26 m3解析：选A.设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y元，由题意得y则10m(x10)2m16m，解得x13.5.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A40万元 B60万元C120万元 D140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120620(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20240万元，乙4元时该商人买入乙商

18、品，可以买(12040)440(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40280万元，共获利4080120万元，故选C.6.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为()A2，4 B3，4C2，5 D3，5解析：选B.根据题意知，9(ADBC)h，其中ADBC2BCx，hx，所以9(2BCx)x，得BC，由得2x6.所以yBC2x(2x1，BC2x，又AB

19、y，ACy1，在ABC中，由余弦定理得，(y1)2y24x22y2xcos 60，所以y(x1)(2)M30(2y1)40x3040x，其中x1，设tx1，则t0，所以M3040(t1)160t2502250490，当且仅当t时等号成立，此时x.所以当x时，修建中转站和道路的总造价M最低综合题组练1某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是()A16小时 B20小时C24小时 D28小时解析：选C.由已知得192eb，4

20、8e22kbe22keb，将代入得e22k，则e11k，当x33时，ye33kbe33keb19224，所以该食品在33 的保鲜时间是24小时故选C.2某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元每提高一个档次，每件利润增加2元用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是()A7 B8C9 D10解析：选C.由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y82(k1)603(k1)6k2108k378(1k10，kN*)，配方可得y6(k9)2864，所以当k9时，获得利润最大选C.3拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(

21、单位：元)由f(m)1.06(0.5m1)给出，其中m0，m是不超过m的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为_元解析：因为m6.5，所以m6，则f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.244某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y14.1x0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y22x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是_万元解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16x)辆，所以可得利润y4.1x0.1x22(16

22、x)0.1x22.1x320.10.132.因为x0，16且xN，所以当x10或11时，总利润取得最大值43万元答案：435某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间解：(1)由题图，设y当t1时，由y4得k4，由4得a3.所以y(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5(小时)6食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥

23、的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5(万元)(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t，则t2，6，yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)取得最大值，f(x)max282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元专心-专注-专业